Асимптотическая относительная эффективность - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели

Вычисление АОЭ рангового метода по отношению к МНК и МНМ позволяет сделать выводы о том, какой метод лучше применять для оценки параметров в моделях с большим объемом выборки.

Согласно Т. Хеттманспергеру Т. Хеттманспергер "Статистические выводы, основанные на рангах", М.: Финансы и статистика,1987, с. 249, АОЭ одного метода по отношению к другому определяется как корень степени p обратного отношения обобщенных дисперсий оценок параметров, полученных этими методами. Под обобщенной дисперсией вектора оценок параметров понимается определитель матрицы ковариаций оценок параметров, p - число параметров в модели. Если полученное число меньше единицы, то альтернативный метод эффективнее. Иначе более эффективным считается данный метод.

Ковариационная матрица МНК-оценки, согласно Дж. Себеру Дж. Себер "Линейный регрессионный анализ", М.: Мир, 1980, с.54, имеет вид

,

Где X - матрица плана, а у2 - дисперсия шумов модели. В случае, когда предполагается, что вектор шумов имеет гауссовское n-мерное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей у2 IN (диагональная, на диагонали - дисперсии у2), можно утверждать Дж. Себер "Линейный регрессионный анализ", М.: Мир, 1980, с.59, что вектор МНК-оценок параметров регрессии имеет гауссовское m-мерное распределение с математическим ожиданием и - вектором реальных значений параметров, и ковариационной матрицей.

В книге Т. Хеттманспергера Т. Хеттманспергер "Статистические выводы, основанные на рангах", М.: Финансы и статистика,1987, с. 247 приведена следующая теорема:

Пусть - любая точка, минимизирующая функцию D(Y-Xи). Тогда, если вектор и содержит истинные значения параметров и выполняются следующие предположения:

    - в функции D(Y-Xи) используются веса, - матрица [1X] (со столбцом из единиц) имеет полный столбцовый ранг, - матрица n-1[1X]T[1X] сходится к положительно определенной матрице, и матрица n-1XTX сходится к положительно определенной матрице У,

То вектор по распределению сходится к величине, имеющей m-мерное гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей

,

Где f(x) - плотность распределения шума.

В статье D. Pollard, Asymptotics for lest absolute deviation regression estimators, Econometric Theory, 7, 1991, p. 189 Д. Полларда приведена теорема о распределении МНМ-оценок параметров регрессионной модели:

Пусть шумы еI независимы, одинаково распределены, с нулевой медианой и непрерывной, положительной функцией плотности f(.) в окрестности нуля. Пусть {xI} - детерминированная последовательность, для которой матрица имеет положительно определенный квадратный корень VN. Если при, то вектор имеет асимптотическое многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей.

Условия на {xI} выполняются, если существует положительно определенная матрица V, такая что. Тогда вектор имеет m-мерное гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей.

Тогда АОЭ рангового метода по отношению к МНК выражается как

,

Где у2 - дисперсия шума, f(x) - плотность его распределения, p - число параметров модели.

АОЭ рангового метода по отношению к МНМ имеет вид

.

В таблице 3.1 приведены результаты вычислений АОЭ для различных распределений шумов регрессионной модели. Интегралы для распределений Стьюдента с различными степенями свободы, распределения Коши и логистического распределения были вычислены численно в среде Matlab, остальные были взяты аналитически.

Таблица 3.1

ОАЭ рангового метода к МНК

ОАЭ рангового метода к МНМ

Нормальное распределение

3/р ? 0,9549

1,5

Распределение Лапласа

1,5

0,75

Распределение Коши

?

0,75

Распределение Стьюдента с 2 степенями свободы

?

1,0416

Распределение Стьюдента с 3 степенями свободы

1,8998

1,1725

Распределение Стьюдента с 5 степенями свободы

1,2412

1,3553

Распределение Стьюдента с 13 степенями свободы

1,0252

1,4162

Распределение Стьюдента с 18 степенями свободы

1,0023

1,438

Распределение Стьюдента с 19 степенями свободы

0,9993

1,4417

Треугольное распределение

8/9 ? 0,8889

4/3 ? 1,3333

Логистическое распределение

Р2/9 ? 1,0966

4/3 ? 1,3333

Распределение Тьюки с г = 0,1, у12 = 100, у22 = 1

7,2804

1,267

Из полученных данных следуют такие выводы:

    - Ранговый метод уступает МНК в моделях с шумами, имеющими распределение Гаусса, Стьюдента с не менее чем 19 степенями свободы и треугольное распределение. - Ранговый метод уступает МНМ в моделях с шумами, имеющими распределения Лапласа и Коши.

Итак, в этой главе были рассмотрены и приведены результаты вычисления АОЭ рангового метода по отношению к МНК и МНМ. Так же были сделаны выводы об эффективности рангового метода по отношению к рассматриваемым альтернативным ему методам.

Похожие статьи




Асимптотическая относительная эффективность - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели

Предыдущая | Следующая