Зависимость информационной емкости технологической системы от ее информационных свойств - Методы информационного анализа материальных процессов

Для многоуровневой технологической иерархической системы важным является описание нижестоящего уровня как взаимодействие взаимосвязанных подсистем, каждая из которых обладает своими информационными свойствами. Поэтому при получении информационной оценки технологического совершенства основное внимание обращено на внутриуровневые и межуровневые взаимодействия системы.

Рассмотренный подход, на наш взгляд, полностью соответствует основным требованиям системного энтропийно-информационного анализа, так как обеспечивает при моделировании иерархической системы технологических процессов целостность ее рассмотрения за счет общетеоретических и методических концепций, позволяющих целиком удерживать в поле зрения всю систему в целом для решения задачи на всех уровнях. Кроме того, на основе учета основных элементов в системе и связей между ними обеспечивается полнота и всесторонность рассмотрения. Предложенный алгоритм упрощения при моделировании позволяет адекватно отразить реальный технологический процесс и учесть определяющие факторы в иерархической системе.

Теорема 2.7 Информационная емкость технологической системы зависит от информационных свойств системы на различных уровнях, принципа развития системы и определяется формулой:

, (2.55)

. (2.56)

Под подразумевается максимальное приращение информации.

Доказательство зависимости информационной емкости технологической системы от ее информационных свойств основано на том, что максимальное приращение информации технологической системы распределяется между детерминированной и стохастической составляющими таким образом, что выполнено равенство:

[33,34].

Теорема 2.8 Информационная емкость технологической иерархической системы (2.55) и N - ого уровня (2.56) определяются равенствами:

,бит/эл. (2.57)

, бит/эл. (2.58)

Где - максимально возможная энтропия системы.

Согласно закону сохранения, количество детерминированной информации рассчитывается как разность между максимально возможной энтропией технологической системы и некоторым текущим значением энтропии. Тогда:

, бит/эл. (2.59)

Из формулы (2.58) следует, что информационная емкость любого уровня технологической системы, за исключением нулевого, всегда меньше максимально возможного и не может превзойти некоторое определенное для каждого уровня значение [31].

Теорема 2.9 Информационная емкость технологической системы определяется по ее стохастической части:

, бит/эл. (2.60)

Очевидно, технологическую систему в целом должны характеризовать суммарные значения стохастической, детерминированной и максимальной информаций [32].

Для расчета системной и уровневой стохастических составляющих из условия на основании теоремы 2.8 применимы формулы (2.57), (2.58). Таким образом:

,бит/эл. (2.61)

, бит/эл. (2.62)

На основании равенства (2.59) с учетом и (2.61), (2.62) получим соотношения для определения уровневой и системной детерминированных составляющих:

, (2.63)

, бит/эл. (2.64)

Максимальная информация N - ого уровня с учетом формул (2.2) и (2.23) определяется следующим образом:

, бит/эл. (2.65)

Суммарное значение максимальной информации определим по формуле:

,бит/эл. (2.66)

На основании свойств аддитивности энтропии и информации и закона сохранения имеем:

(2.67)

,бит/эл. (2.68)

Для сравнения с реальными показателями по степени детерминации переделов технологической схемы через содержание или извлечение необходимо перейти от размерной информационной энтропии в бит/элемент к безразмерной, относительной, то есть деленной на максимальное значение энтропии. Для нахождения безразмерной степени детерминации идеальной или абстрактной технологической схемы выразим ее как:

, (2.69)

Где - системная детерминированная составляющая,

- системная максимальная информация.

Степень неустранимой стохастичности технологического передела выразим, используя теорему сложения вероятностей двух противоположных событий:

, (2.70)

Где - системная стохастическая составляющая, - системная максимальная информация.

Для предельных характеристик технологической системы степень детерминации равна коэффициенту избыточности, используемого в теории информации;- максимально возможная энтропия системы, - энтропия системы в рассматриваемый момент [31].

Для предельных характеристик технологической системы отношение равно коэффициенту стохастичности, используемого в теории информации; - реализованная информация, - энтропия системы в рассматриваемый момент, - коэффициент избыточности.

Величина, равная, дает более наглядное представление о возможностях непредсказуемого развития технологической системы, поэтому по аналогии с коэффициентом стохастичности ее можно назвать коэффициентом детерминированности.

При подстановке равенства (2.34) в (2.61) - (2.68) получим формулы для определения всех видов информации иерархической системы:

, (2.73)

, (2.74)

, (2.75)

, (2.76)

, бит/эл. (2.77)

, бит/эл. (2.78)

Из формул для детерминированной составляющей и максимальной информации технологической системы следует, что они не имеют конечных пределов при и являются неограниченными функциями. Относительно стохастической части информации (2.73), мы имеем сходящийся по признаку Даламбера числовой ряд.

Таким образом, доказанные в данном разделе теоремы показывают неразрывную связь детерминированной и стохастической составляющих, из которых первая является доминирующей и обеспечивающей устойчивость, а вторая определяет наиболее тонкие изменения и оптимальную информационную емкость материальных систем. В связи с этим заключаем, что энтропийно-информационный подход к изучению технологических систем является объективно необходимым [34].

В основу энтропийно-информационного анализа технологических переделов положен предложенный К. Шенноном метод исчислений количества стохастической (непредсказуемой) и детерминированной (предсказуемой) информации. Предложенный Шенноном метод исчисления количества информации и энтропии оказался настолько универсальным, что его применение не ограничивается теперь узкими рамками чисто технических приложений.

Детальное применение этой формулы (2.23) для характеристики неопределенности той или иной технологической операции представляет сложность ввиду необходимости учета всех без исключения элементов системы, поэтому при анализе ключевых технологических операций обычно ограничиваются только качественной оценкой неопределенности по явному ее убыванию, но без количественного выражения.

Если - вероятность обнаружения в продукте контролируемого элемента, то неожиданность или неопределенность этого обнаружения равна обратной величине от его определенной идентификации, то есть. Тогда, если может изменяться от нуля до единицы (от полного отсутствия до идеально полного обнаружения), то будет изменяться от бесконечности до единицы:

, .

Бесконечность характеризует неограниченную неопределенность при полном отсутствии элемента в системе. Но равенство неопределенности единице при 100 %-ном содержании элемента в чистом продукте (абсолютно без примесей) или при полном его переходе из одного состояния в другое не может быть характеристикой неопределенности такого продукта, так как она должна абсолютно отсутствовать, то есть быть равной нулю. Шенноном при выводе базовой формулы (2.23) был предложен простой математический выход из данного парадокса для оценки неожиданности достоверного события - рассмотреть логарифмическую функцию от переменной [35].

В этом случае, так как логарифмическая функция является непрерывной и возрастающей функцией, бесконечность остается бесконечностью, а логарифм единицы дает нуль:

, .

В нашем упрощенном варианте оценки неопределенности поведения только одного элемента технологической системы эта неопределенность выразится следующим образом:

. (2.79)

Для конкретного численного выражения степени детерминации и стохастичности рассмотрим формулу Р. Хартли, которая применительно к уровневой имеет вид:

, (2.80)

Где N - порядковый номер, рассматриваемого уровня, ; K - длина кода элементов на каждом уровне иерархической системы; - число элементов уровня технологической системы, принятого за начало отсчета n=0.

Рассмотрим материальную систему с длиной кода, то есть в данном случае это выборка из множества элементов - элемент и не элемент, содержащихся в продукте. Технологический смысл этого ограничения сводится к тому, что детерминация системы в первом приближении оценивается по одному какому-то элементу, главному и целевому, а остальные принимаются в каждом переделе как единый остаток, то есть не элемент. Тогда уравнение (2.80) примет вид:

.

На основании формулы (2.80) вычислим максимальную информацию на начальных 16-ти уровнях при :

. (2.81)

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

Принципиально важным преимуществом информационной оценки качества материальных продуктов или технологических операций является то, что предлагаемый показатель, как и любые энтропийно-информационные величины, можно суммировать, тем самым отображая всю систему по этому показателю. Данное свойство аддитивности имманентно присуще энтропии и информации и является основой для выражения закона сохранения их суммы.

Следовательно, технологическую неопределенность различных операций в пределах единой материальной системы можно выразить системным показателем неопределенности:

бит/эл., (2.82)

Или для начальных 16-ти уровней:

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Бит/эл.

Из формул для детерминированной и максимальной информации на основании теорем 2.1, 2.2 следует, что детерминированная составляющая информации определяется равенством:

Бит/эл.,

бит/эл., (2.83)

Откуда для начальных 16-ти уровней получим:

Бит/эл.,

бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

Бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.

Стохастическую составляющую информации технологической системы, используя теорему 3.3 и формулу (3.8), на каждом уровне определим следующим образом:

Материальный информация завершенность иерархический

бит/эл., (2.84)

Тогда для начальных 16-ти уровней имеем:

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

С дальнейшим уменьшением, так как:

.

Системная детерминированная составляющая информации на основании формулы (2.66) равна:

бит/эл.,

бит/эл., (2.85)

Следовательно, для начальных 16-ти уровней:

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

Бит/эл.,

бит/эл.,

Бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

бит/эл.,

Бит/эл. бит/эл.

бит/эл.

Определив степени детерминации и неустранимой стохастичности на каждом уровне иерархической системы по формулам:

, , (2.86)

Для начальных 16-ти уровней:

,

Вычислим их системные значения на основании формул (2.71) и (2.72) для этих начальных 16-ти уровней:

,

,

[31,32,34].

Результаты проведенных расчетов представлены в таблице 3.

Таблица 3

Расчетные оптимальные энтропийно-информационные характеристики в идеальной иерархической системе для случая,

0

0

1,0

0

0

1,0

0

1

1,0000

2,0

0,5000

1,0000

3,0

0,3333

2

3,3333

4,0

0,8333

4,3333

7,0

0,6190

3

7,6667

8,0

0,9583

12,0000

15,0

0,8000

4

15,8667

16,0

0,9917

27,8667

31,0

0,8989

5

31,9556

32,0

0,9986

59,8222

63,0

0,9496

6

63,9873

64,0

0,9998

123,8095

127,0

0,9749

7

127,9968

128,0

1,0

251,8063

255,0

0,9875

8

255,9993

256,0

1,0

507,8056

511,0

0,9937

9

511,9999

512,0

1,0

1019,8055

1023,0

0,9969

10

1024,000

1024,0

1,0

2043,8055

2047,0

0,9984

11

2048,000

2048,0

1,0

4091,8055

4095,0

0,9992

12

4096,000

4096,0

1,0

8187,805

8191,

0,9996

13

8192,000

8192,0

1,0

16379,80

16383,

0,9998

14

16384,00

16384,

1,0

32763,80

32767,

0,9999

15

32768,00

32768,

1,0

65531,80

65535,

1,0

16

65536,00

65536,

1,0

131067,8

131071

1,0

В данной таблице приведены значения максимальных информаций, значения детерминированных составляющих информаций, их системные значения, рассчитанные на каждый уровень идеальной технологической схемы, а также уровневая и системная степени детерминации. При детерминация отсутствует, и вся информационная емкость системы относится к стохастической части.

Нами установлено отличие системных данных от уровневых, которые могут быть подсчитаны подстановкой в формулы для не интегральных, а чисто уровневых значений, и. При этом интегральные величины детерминации меньше дифференцированных по уровням за счет включения в расчет информации предыдущих уровней, отличающихся большей стохастичностью.

Похожие статьи




Зависимость информационной емкости технологической системы от ее информационных свойств - Методы информационного анализа материальных процессов

Предыдущая | Следующая