Обзор существующих методов исчисления количества информации и энтропии, Энтропия по Клаузиусу. Формулы Больцмана и Планка - Методы информационного анализа материальных процессов

Энтропия по Клаузиусу. Формулы Больцмана и Планка

Во второй половине XX века произошли два события, которые в значительной мере определяют дальнейшие пути развития науки, научного постижения мира, теоретического и практического совершенства любых объектов. Речь идет о создании теории информации, установлении свойств информационных мер и о начале анализа механизмов энтропийно-информационных закономерностей, для изучения которых синергетика привлекает все новейшие достижения неравновесной термодинамики, теории информации и общей теории систем. Стремление к детерминированному описанию реальных процессов неизбежно приводит к субъективному или объективному идеализму и тем самым вносит в процесс и результат познания - стохастичность, связанную с различием точек зрения, трактовок и версий разных авторов. Возникновение теории информации тесно связано с именем К. Шеннона, предложившего решение основной проблемы о нахождении скорости передачи информации, которую можно достичь при оптимальном методе кодирования и декодирования так, чтобы вероятность ошибки при передаче информации была как угодно мала. Теорию кодирования отличает то, что наряду со статистическими методами она использует для построения конкретных кодов глубокие алгебраические и комбинаторные идеи. Активно разрабатываются теория семантической информации, которая решает проблемы количественной оценки информации с учетом ее смысла, теория прагматической информации с учетом ее ценности [4].

Слово "энтропия" было впервые использовано в 1864г. Рудольфом Клаузиусом для названия величины, характеризующей процессы перехода тепловой энергии в механическую, и в термодинамике оно сохранило именно это значение. В своем главном научном труде, трехтомной монографии "Механическая теория тепла", Рудольф Клаузиус подробно объясняет целесообразность введения этого совершенно особого нового понятия ссылкой на выполнение при так называемых обратимых круговых процессах следующего уравнения:

, (1.1)

Где - элементарное количество теплоты; - абсолютная температура.

Под энергией понимается общая мера различных процессов и видов взаимодействия. Для выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты. Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно. На основании теоретического анализа установлено, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю. Из равенства нулю интеграла (1.1), следует, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути интегрирования. Таким образом:

. (1.2)

Проинтегрируем обе части равенства (1.2):

, (1.3)

Где - элементарное количество теплоты; - абсолютная температура; - энтропия.

Уравнение (1.3) дает еще одно выражение второго начала механической теории теплоты, очень удобное во многих исследованиях [5,6].

Предложенная Клаузиусом формула энтропии (1.3) не раскрывала внутренних механизмов процессов, приводящих к возрастанию энтропии. Данная проблема была решена Л. Больцманом (1872г.), предложившим формулу, связывающую энтропию с логарифмом вероятности состояний системы:

, (1.4)

Где - постоянная Больцмана; - математическая энтропия.

Согласно Больцману, величина определяется:

(1.5)

Где - общее число молекул газа; - число молекул, движущихся со скоростями, соответствующими I-ой ячейке, .

Данное условие означает, что все молекул распределены по соответствующим ячейкам пространства скоростей, в количествах, учитываемых уравнением (1.5). Согласно (1.5), применяя свойства логарифмической функции, заключаем, что перестановка молекул, находящихся внутри каждой из ячеек, не влияет на величину . Отсюда следует, что рассчитанная по формуле (1.5) математическая энтропия соответствует числу возможных микросостояний системы, при котором макросостояние системы остается неизменным [7]. М. Планк преобразовал формулу Больцмана (1.5), применяя для этого асимптотическое представление Стирлинга:

. (1.6)

В результате подстановки (1.6) в (1.5) получается соотношение:

.

С учетом условия выражение для математической энтропии приводится к виду:

. (1.7)

Далее Планк ввел в рассмотрение вероятности различных состояний молекул, определив их по формуле:

, (1.8)

Где и - соответственно доля и число частиц с энергией ; - общее число частиц; - число учитываемых энергетических уровней.

Используя формулу (1.8), второе слагаемое в правой части (1.7) можно представить в виде суммы:

. (1.9)

С учетом известного из теории вероятностей условия нормировки подстановка (1.9) в (1.7) приводит выражение для математической энтропии Больцмана к виду:

. (1.10)

Выражение (1.10) соответствует полной энтропии системы [8]. Поделив подсчитанную по формуле (1.10) величину на, можно определить усредненную величину энтропии, относящуюся к одному элементу рассматриваемой системы:

. (1.11)

Для перехода к физической энтропии математическая энтропия умножается на постоянную Больцмана и на число частиц :

. (1.12)

Постоянная Больцмана относится к одной частице размерностью. Отсюда следует, что математическая - энтропия Больцмана, не зависит от общего числа частиц, поскольку оно не фигурирует ни под знаком суммы, ни в пределах суммирования. Тогда перемножение величин и является некорректным, так как если подставить в (1.11) значение, получим:

.

Откуда из свойств логарифмической функции следует при.

Похожие статьи




Обзор существующих методов исчисления количества информации и энтропии, Энтропия по Клаузиусу. Формулы Больцмана и Планка - Методы информационного анализа материальных процессов

Предыдущая | Следующая