Результат решения задачи - Методика оценки устойчивости линейных динамических систем по критерию В. И. Зубова

Из данной матрицы А необходимо вычислить матрицу В по формуле. Результат решения приведен ниже

А=

Действия при вычислении формулы: вычитаем из единичной матрицы Е исходную матрицу А. Обозначим как матрица G

G=- =

Находим матрицу обратную полученной при помощи ее определителя. Нахождение определителя приведено ниже;

=1,9*-3,1*+

+0,2*=31,447

Находим дополнение для каждого элемента полученной матрицы.

G11==19,15

G 12==1,88

G 13==4,45

G 21==13,01

G 22==8,01

G 23==0,56

G 31==9,22

G 32==6,16

G 33==7,89

Получаем матрицу из дополнений.

GV=

Транспонируем ее и делим каждый ее элемент на определитель исходной матрицы G, тем самым получаем обратную матрицу. Проверка верности нахождения обратной матрицы осуществлена в приложении 4.

(GV)Т=

=G-1 ==

Вычитаем из единичной матрицы обратную умноженную на число 2. Тем самым получаем формулу искомую матрицу B.

В=-2*=

После нахождения матрицы В необходимо вычислить ее нормы по формулам приведенным в теоретическом описании.

А) Максимальная по сумме элементов строка.

=0,2179+0,8274+0,5864=1.6317

Б) Максимальный по сумме элементов столбец.

=0,8274+0,4906+0,0356=1.4764

В) Квадратный корень из суммы квадратов элементов матрицы

= 1.0686

Г) Максимальное значение элемента матрицы В

=0,5864

Условием асимптотической устойчивости системы является условие

,

Которое наблюдается в одном случае.

=0,5864 <1

Но для надежности возведем в квадрат каждый элемент матрицы В и заново вычислим нормы.

В^2=

А) Максимальная по сумме элементов строка.

=0,0783+0,3535+0,3173=0,7491

Б) Максимальный по сумме элементов столбец.

=0,1598+0,3173+0,4281= 0,9052

В) Квадратный корень из суммы квадратов элементов матрицы

= 0,5813

Г) Максимальное значение элемента матрицы В

=0,4281

В данном случае все нормы матрицы меньше единицы, что является условием асимптотической устойчивости системы.

Полученные выше значения выражений, вычислены в математической программе MatLab. Исходный код представлен в приложении 3. Эти значения могут отличатся от полученных в результате любого другого способа вычисления в связи с тем, что MatLab более профессионально решает даные выражения. В написанной мной программе в независимости от того, что алгоритм решения соблюдался, были замечены некоторые несоответствия, однако они не повлияли на определение окончательного результата исследования. Итоговые данные приведены на рисунках 1-3.

Рисунок 1 Первое действие

Рисунок 2 Нахождение обратной матрицы

Рисунок 3 Окончательные вычисления

Список литературы

1. Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования.- М: Наука, 1972. - 767 с. 2. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1981.-312с. 3. Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Методы теории автоматического управления. - М.: Наука, 1971. - 743с. 4. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматического управления. - М.: Наука, 1977. - 559с. 5. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970. - 659с.

Приложение 1

Описание процедур.

Модуль Skoba. pas

Procedure tform1.norm1;

Данная процедура вычисляет первую норму матрицы. Локальные переменные приведены ниже в таблице 1.

Алгоритм.

Переменной n1 присваиваем сумму элементов первой строки.

Переменной n2 присваиваем сумму элементов второй строки.

Переменной n3 присваиваем сумму элементов третьей строки.

Далее попарно сравниваем суммы элементов строк и при условии, что одна из них больше других двух выводим ее значение в текстовое поле.

Таблица 1 Локальные переменные

Идентификатор	Тип	Назначение
N1	Extended	Сумма элементов первой строки
N2	Extended	Сумма элементов второй строки
N3	Extended	Сумма элементов третьей строки

Procedure tform1.norm2;

Данная процедура вычисляет вторую норму матрицы. Локальные переменные приведены ниже в таблице 2.

Алгоритм. Переменной n1 присваиваем сумму элементов первого столбца. Переменной n2 присваиваем сумму элементов второго столбца.

Переменной n3 присваиваем сумму элементов третьего столбца.

Далее попарно сравниваем суммы элементов столбцов и при условии, что одна из строк больше других двух выводим ее значение в текстовое поле.

Таблица 2 Локальные переменные

Идентификатор	Тип	Назначение
N1	Extended	Сумма элементов первого столбца
N2	Extended	Сумма элементов второго столбца
N3	Extended	Сумма элементов третьего столбца

Procedure tform1.norm3;

Данная процедура вычисляет третью норму матрицы. Локальная переменная приведена ниже в таблице 3.

Алгоритм.

Переменной n присваиваем значение формулы, по которой вычисляется данная матрица.

Выводим ее значение в текстовое поле.

Таблица 3 Локальные переменные

Идентификатор	Тип	Назначение
N	Extended	Квадратный корень из суммы квадратов элементов матрицы

Procedure tform1.norm4;

Данная процедура вычисляет четвертую норму матрицы. Локальные переменные приведены ниже в таблице 4.

Алгоритм. Заносим значения элементов матрицы в двумерный массив n. Производим сортировку массива и наименьшее значение выводим в текстовое поле.

Таблица 4 Локальные переменные

Идентификатор	Тип	Назначение
Max	Extended	Элемент матрицы
N	Array[0..2,0..2] of extended;	Двумерный массив применяемый для сортировки элементов

Procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

Процедура запускается при создании окна и прописывает в элементах StringGrid1 и StringGrid3 начальную матрицу и единичную, необходимую при решении, соответственно. Процедура содержит входную переменную Sender - тип tobject, этот параметр определяет, какой объект программы вызывает данную процедуру.

Procedure TForm1.RadioGroup1Click(Sender: TObject);

Данная процедура управляет появлением или исчезанием элементов интерфейса необходимых при решении формулы по действиям. Следующее действие можно выполнить только при условии выполнения предыдущего. Также в этой процедуре реализовано нахождение дополнений к матрице и прописывание в элементе StringGrid5 транспонированной матрицы дополнений из полученной, необходимую для вычисления обратной матрицы.

Procedure TForm1.Button6Click(Sender: TObject);

Процедура закрывает программу при подтверждении появляющегося сообщения.

Procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

Процедура вычисляет разность единичной и начальной матрицы.

Procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

Процедура вычисляет обратную матрицу, путем деления каждого элемента матрицы полученной в процедуре RadioGroup1Click на определитель исходной матрицы.

Procedure TForm1.Button5Click(Sender: TObject);

Вычисляет определитель матрицы.

Procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

Умножает на число 2 обратную матрицу.

Procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);

Вычитает из единичной матрицы, матрицу, полученную в приведенных выше вычислениях. Тем самым вычисляем необходимую формулу.

Procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

Данная процедура производит все предыдущие действия сразу при нажатии на одну кнопку. То есть из начальной сразу получаем необходимую.

Procedure TForm1.Button7Click(Sender: TObject);

Возводит каждый член матрицы в квадрат. При повторном нажатии возводит каждый член полученной матрицы в квадрат и так далее.

Procedure TForm1.SpeedButton2Click(Sender: TObject);

Процедура вычисляет нормы матрицы и выводит итог исследования.

Алгоритм.

Запускаем по очереди все процедуры вычисления норм.

Если хотя бы одна из них по модулю меньше единицы в текстовом поле появляется запись о том, данная система асимптотически устойчива.

В обратном случае выводится сообщение, данная система асимптотически не устойчива. Необходимо возвести в квадрат каждый член матрицы и вычислить нормы по новой, до тех пор пока хотя бы одна не станет меньше единицы.

Procedure TForm1.Image1Click(Sender: TObject);

Procedure TForm1.Image2Click(Sender: TObject);

Procedure TForm1.Image3Click(Sender: TObject);

Procedure TForm1.Image4Click(Sender: TObject);

Процедуры приведенные выше сходны по своему значению. Каждая из них при на нажатии на картинку выводит норму матрицы, изображенную на ней в текстовое поле напротив.

Глобальные переменные, используемы в программе, приведены в таблице 5.

Таблица 5 Глобальные переменные

Идентификатор	Тип	Назначение
Form1	TForm1	Идентификатор формы приложения
X	Integer	Номер строки матрицы
Y	Integer	Номер столбца матрицы
G11	Extended	Дополнение первого элемента матрицы (Е-А)
G12	Extended	Дополнение второго элемента матрицы (Е-А)
G13	Extended	Дополнение третьего элемента матрицы (Е-А)
G21	Extended	Дополнение четвертого элемента матрицы (Е-А)
G22	Extended	Дополнение пятого элемента матрицы (Е-А)
G23	Extended	Дополнение шестого элемента матрицы (Е-А)
G31	Extended	Дополнение седьмого элемента матрицы (Е-А)
G32	Extended	Дополнение восьмого элемента матрицы (Е-А)
G33	Extended	Дополнение девятого элемента матрицы (Е-А)

Приложение 2

Листинг программы.

Модуль Skoba. pas

Unit Skoba;

Interface

Uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Grids, StdCtrls, Buttons, ExtCtrls, jpeg;

Type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox1: TGroupBox;

StringGrid1: TStringGrid;

GroupBox2: TGroupBox;

StaticText1: TStaticText;

GroupBox3: TGroupBox;

StringGrid2: TStringGrid;

SpeedButton1: TSpeedButton;

Bevel1: TBevel;

RadioGroup1: TRadioGroup;

Edit1: TEdit;

Label1: TLabel;

GroupBox4: TGroupBox;

Button1: TButton;

StringGrid4: TStringGrid;

GroupBox5: TGroupBox;

GroupBox6: TGroupBox;

GroupBox7: TGroupBox;

StringGrid5: TStringGrid;

StringGrid6: TStringGrid;

Button2: TButton;

GroupBox8: TGroupBox;

StringGrid7: TStringGrid;

Button3: TButton;

GroupBox9: TGroupBox;

StringGrid8: TStringGrid;

Button4: TButton;

StringGrid3: TStringGrid;

GroupBox10: TGroupBox;

StringGrid9: TStringGrid;

Button5: TButton;

Bevel2: TBevel;

Label2: TLabel;

Image1: TImage;

Image2: TImage;

Image3: TImage;

Image4: TImage;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit5: TEdit;

SpeedButton2: TSpeedButton;

Label3: TLabel;

Button6: TButton;

Memo1: TMemo;

Memo2: TMemo;

Button7: TButton;

Bevel3: TBevel;

Label4: TLabel;

Procedure FormCreate(Sender: TObject);

Procedure RadioGroup1Click(Sender: TObject);

Procedure Button6Click(Sender: TObject);

Procedure Button1Click(Sender: TObject);

Procedure Button2Click(Sender: TObject);

Procedure Button5Click(Sender: TObject);

Procedure Button3Click(Sender: TObject);

Procedure Button4Click(Sender: TObject);

Procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);

Procedure SpeedButton2Click(Sender: TObject);

Procedure Image3Click(Sender: TObject);

Procedure norm1;

Procedure norm2;

Procedure norm3;

Procedure norm4;

Procedure Image4Click(Sender: TObject);

Procedure Image1Click(Sender: TObject);

Procedure Image2Click(Sender: TObject);

Procedure Button7Click(Sender: TObject);

Private

{ Private declarations }

Public

{ Public declarations }

End;

Var

Form1: TForm1;

X, y:integer;

G11,g12,g13,g21,g22,g23,g31,g32,g33:extended;

Implementation

{$R *.dfm}

Procedure tform1.norm1;

Var

N1,n2,n3:extended;

Begin

N1:=abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,0]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,0]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,0]));

N3:=abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,2]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,2]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,2]));

N2:=abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,1]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,1]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,1]));

If (n1>n2) and (n1>n3) then

Edit2.Text:=floattostr(n1);

If (n2>n1) and (n2>n3) then

Edit2.Text:=floattostr(n2);

If (n3>n2) and (n3>n1) then

Edit2.Text:=floattostr(n3);

End;

Procedure tform1.norm2;

Var

N1,n2,n3:extended;

Begin

N1:=abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,0]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,1]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,2]));

N3:=abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,0]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,1]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,2]));

N2:=abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,0]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,1]))+abs(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,2]));

If (n1>n2) and (n1>n3) then

Edit3.Text:=floattostr(n1);

If (n2>n1) and (n2>n3) then

Edit3.Text:=floattostr(n2);

If (n3>n2) and (n3>n1) then

Edit3.Text:=floattostr(n3);

End;

Procedure tform1.norm3;

Var

N:extended;

Begin

N:=sqrt(sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,0]))+sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,1]))+sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[0,2]))+

Sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,0]))+sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,1]))+sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[1,2]))+

Sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,0]))+sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,1]))+sqr(strtofloat(stringgrid2.Cells[2,2])));

Edit4.Text:=floattostr(n);

End;

Procedure tform1.norm4;

Var

Max:extended;

N:array[0..2,0..2] of extended;

Begin

For x:=0 to StringGrid2.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid2.RowCount-1 do

N[x, y]:=strtofloat(StringGrid2.Cells[x, y]);

Max:=n[0,0];

For x:=0 to StringGrid2.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid2.RowCount-1 do

If max<n[x, y] then

Max:=n[x, y];

Edit5.Text:=floattostr(max);

End;

-------------

Procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

Begin

StringGrid1.Cells[0,0]:='-0,9';

StringGrid1.Cells[1,0]:='3,1';

StringGrid1.Cells[2,0]:='-0,2';

StringGrid1.Cells[0,1]:='-0,4';

StringGrid1.Cells[1,1]:='-2,5';

StringGrid1.Cells[2,1]:='3,2';

StringGrid1.Cells[0,2]:='1,1';

StringGrid1.Cells[1,2]:='-1,5';

StringGrid1.Cells[2,2]:='-3,1';

StringGrid3.Cells[0,0]:='1';

StringGrid3.Cells[1,0]:='0';

StringGrid3.Cells[2,0]:='0';

StringGrid3.Cells[0,1]:='0';

StringGrid3.Cells[1,1]:='1';

StringGrid3.Cells[2,1]:='0';

StringGrid3.Cells[0,2]:='0';

StringGrid3.Cells[1,2]:='0';

StringGrid3.Cells[2,2]:='1';

End;

Procedure TForm1.RadioGroup1Click(Sender: TObject);

Begin

Case RadioGroup1.ItemIndex of

0: begin

GroupBox4.Visible:=true;

GroupBox5.Visible:=true;

Stringgrid4.Visible:=true;

Button1.Visible:=true;

GroupBox6.Visible:=false;

GroupBox7.Visible:=false;

Button2.Visible:=false;

GroupBox8.Visible:=false;

GroupBox9.Visible:=false;

Button3.Visible:=false;

Button4.Visible:=false;

GroupBox10.Visible:=false;

Edit1.Visible:=false;

Button5.Visible:=false;

Label1.Visible:=false;

Memo1.Visible:=false;

End;

1:begin

Try

------------------------------Вычисляем дополнения ----------------------------------

G11:=strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2]);

G12:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G13:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G21:=strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2]);

G22:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G23:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G31:=strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,1]);

G32:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,1]);

G33:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,1]);

------------------------------Вычислили дополнения ----------------------------------

StringGrid5.Cells[0,0]:=floattostr(g11);

StringGrid5.Cells[1,0]:=floattostr(-g21);

StringGrid5.Cells[2,0]:=floattostr(g31);

StringGrid5.Cells[0,1]:=floattostr(-g12);

StringGrid5.Cells[1,1]:=floattostr(g22);

StringGrid5.Cells[2,1]:=floattostr(-g32);

StringGrid5.Cells[0,2]:=floattostr(g13);

StringGrid5.Cells[1,2]:=floattostr(-g23);

StringGrid5.Cells[2,2]:=floattostr(g33);

If stringGrid5.cells[1,1]='' then

MessageBox(0,'Сделайте предыдущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

Memo1.visible:=true;

Memo1.Clear;

Memo1.lines. Add('Для того, чтобы вычислить обратную матрицу, необходимо разделить каждый член полученной транспонированой матрицы на определитель исходной');

GroupBox6.Visible:=true;

GroupBox7.Visible:=true;

Button2.Visible:=true;

GroupBox4.Visible:=false;

GroupBox5.Visible:=false;

Stringgrid4.Visible:=false;

Button1.Visible:=false;

GroupBox8.Visible:=false;

GroupBox9.Visible:=false;

Button3.Visible:=false;

GroupBox10.Visible:=false;

Button4.Visible:=false;

Edit1.Visible:=true;

Button5.Visible:=true;

Label1.Visible:=true;

Except

MessageBox(0,'Сделайте предыдущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End

End;

2: begin

GroupBox8.Visible:=true;

GroupBox9.Visible:=true;

Button3.Visible:=true;

GroupBox10.Visible:=false;

Button4.Visible:=false;

Edit1.Visible:=false;

Button5.Visible:=false;

Label1.Visible:=false;

If stringGrid7.cells[1,1]='' then

MessageBox(0,'Сделайте предидущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

Memo1.visible:=false;

End;

3: begin

GroupBox4.Visible:=true;

Button4.Visible:=true;

GroupBox9.Visible:=true;

GroupBox5.Visible:=false;

GroupBox6.Visible:=false;

GroupBox8.Visible:=false;

GroupBox10.Visible:=true;

Edit1.Visible:=false;

Button5.Visible:=false;

Label1.Visible:=false;

If stringGrid8.cells[1,1]='' then

MessageBox(0,'Сделайте предидущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

Memo1.visible:=false;

End;

End;

End;

Procedure TForm1.Button6Click(Sender: TObject);

Var

Btn:integer;

Begin

Btn:=messageBox(0,'Закрыть программу.','Внимание',mb_YESNO);

If btn=IDYes then

Close;

End;

{вычитание матриц вывод E-A}

Procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

Begin

For x:=0 to StringGrid4.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid4.RowCount-1 do

StringGrid4.Cells[x, y]:=floattostr(strtofloat(StringGrid3.Cells[x, y])-strtofloat(StringGrid1.Cells[x, y]));

End;

Procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

Begin

If edit1.text='' then

MessageBox(0,'Сначала вычислите определитель матрицы.','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation)

Else

Try

For x:=0 to StringGrid6.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid6.RowCount-1 do

StringGrid6.Cells[x, y]:=floattostr( strtofloat(StringGrid5.Cells[x, y])/(strtofloat(stringgrid4.Cells[0,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])) -

Strtofloat(stringgrid4.Cells[1,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2])) +

Strtofloat(stringgrid4.Cells[2,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]))));

Except

MessageBox(0,'Сделайте предидущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

For x:=0 to StringGrid7.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid7.RowCount-1 do

StringGrid7.Cells[x, y]:=StringGrid6.Cells[x, y];

End;

{определитель матрицы}

Procedure TForm1.Button5Click(Sender: TObject);

Begin

Try

Edit1.Text:= floattostr(strtofloat(stringgrid4.Cells[0,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-

Strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])) -

Strtofloat(stringgrid4.Cells[1,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-

Strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2])) +

Strtofloat(stringgrid4.Cells[2,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])-

Strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2])));

Except

MessageBox(0,'Нет матрицы. Сделайте предидущее действие.','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

Begin

Try

For x:=0 to StringGrid8.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid8.RowCount-1 do

StringGrid8.Cells[x, y]:=floattostr(strtofloat(StringGrid7.Cells[x, y])*2);

Except

MessageBox(0,'Сделайте предидущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);

Begin

Try

For x:=0 to StringGrid9.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid9.RowCount-1 do

StringGrid9.Cells[x, y]:=floattostr(strtofloat(StringGrid3.Cells[x, y])-strtofloat(StringGrid8.Cells[x, y]));

Except

MessageBox(0,'Сделайте предидущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

Begin

For x:=0 to StringGrid4.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid4.RowCount-1 do

StringGrid4.Cells[x, y]:=floattostr(strtofloat(StringGrid3.Cells[x, y])-strtofloat(StringGrid1.Cells[x, y]));

------------------------------Вычисляем дополнения ----------------------------------

G11:=strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2]);

G12:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G13:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G21:=strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2]);

G22:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G23:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]);

G31:=strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,1]);

G32:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,1]);

G33:=strtofloat(stringgrid4.cells[0,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,0])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,1]);

------------------------------Вычислили дополнения ----------------------------------

StringGrid5.Cells[0,0]:=floattostr(g11);

StringGrid5.Cells[1,0]:=floattostr(-g21);

StringGrid5.Cells[2,0]:=floattostr(g31);

StringGrid5.Cells[0,1]:=floattostr(-g12);

StringGrid5.Cells[1,1]:=floattostr(g22);

StringGrid5.Cells[2,1]:=floattostr(-g32);

StringGrid5.Cells[0,2]:=floattostr(g13);

StringGrid5.Cells[1,2]:=floattostr(-g23);

StringGrid5.Cells[2,2]:=floattostr(g33);

For x:=0 to StringGrid7.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid7.RowCount-1 do

StringGrid7.Cells[x, y]:=floattostr( strtofloat(StringGrid5.Cells[x, y])/(strtofloat(stringgrid4.Cells[0,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])) -

Strtofloat(stringgrid4.Cells[1,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[2,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[2,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2])) +

Strtofloat(stringgrid4.Cells[2,0])*(strtofloat(stringgrid4.cells[0,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[1,2])-strtofloat(stringgrid4.cells[1,1])*strtofloat(stringgrid4.cells[0,2]))));

For x:=0 to StringGrid8.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid8.RowCount-1 do

StringGrid8.Cells[x, y]:=floattostr(strtofloat(StringGrid7.Cells[x, y])*2);

For x:=0 to StringGrid9.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid9.RowCount-1 do

StringGrid2.Cells[x, y]:=floattostr(strtofloat(StringGrid3.Cells[x, y])-strtofloat(StringGrid8.Cells[x, y]));

End;

Procedure TForm1.SpeedButton2Click(Sender: TObject);

Begin

Try

Norm1;

Norm2;

Norm3;

Norm4;

Button7.Visible:=true;

Memo2.Visible:=true;

If (abs(strtofloat(edit3.Text))<1) or (abs(strtofloat(edit3.Text))<1) or (abs(strtofloat(edit4.Text))<1) or (abs(strtofloat(edit5.Text))<1) then

Begin

Memo2.Clear;

Memo2.lines. Add('Данная система асимптотически устойчива.');

End

Else

Begin

Memo2.Clear;

Memo2.lines. Add('Данная система асимптотически не устойчива. Необходимо возвести в квадрат каждый член матрицы и вычислить нормы по новой, до тех пор пока хотя бы одна не станет меньше единицы.');

End

Except

MessageBox(0,'Сначала вычислите матрицу.','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.Image3Click(Sender: TObject);

Begin

Try

Norm1;

Except

MessageBox(0,'Сначала вычислите матрицу.','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.Image4Click(Sender: TObject);

Begin

Try

Norm2;

Except

MessageBox(0,'Сначала вычислите матрицу.','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.Image1Click(Sender: TObject);

Begin

Try

Norm3;

Except

MessageBox(0,'Сначала вычислите матрицу.','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.Image2Click(Sender: TObject);

Begin

Try

Norm4;

Except

MessageBox(0,'Сначала вычислите матрицу.','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

Procedure TForm1.Button7Click(Sender: TObject);

Begin

Try

For x:=0 to StringGrid2.ColCount-1 do

For y:=0 to StringGrid2.RowCount-1 do

StringGrid2.Cells[x, y]:=floattostr(sqr(strtofloat(StringGrid2.Cells[x, y])));

Except

MessageBox(0,'Сделайте предидущее действие','Внимание',MB_OK or MB_iconinformation);

End;

End;

End.

Приложение 3

Листинг вычисления в программе MatLab.

>> A=[-0.9 3.1 -0.2; -0.4 -2.5 3.2; 1.1 -1.5 -3.1]

A =

-0.9000 3.1000 -0.2000 -0.4000 -2.5000 3.2000 1.1000 -1.5000 -3.1000

>> C=E-A

C =

1.9000 -3.1000 0.2000 0.4000 3.5000 -3.2000 -1.1000 1.5000 4.1000

>> q=det(C)

Q =

31.4470

>> A12=[C(2,1) C(2,3); C(3,1) C(3,3)]

A12 =

0.4000 -3.2000 -1.1000 4.1000

>> A13=[C(2,1) C(2,2); C(3,1) C(3,2)]

A13 =

0.4000 3.5000 -1.1000 1.5000

>> A21=[C(1,2) C(1,3); C(3,2) C(3,3)]

A21 =

-3.1000 0.2000 1.5000 4.1000

>> A22=[C(1,1) C(1,3); C(3,1) C(3,3)]

A22 =

1.9000 0.2000 -1.1000 4.1000

>> A23=[C(1,1) C(1,2); C(3,1) C(3,2)]

A23 =

1.9000 -3.1000 -1.1000 1.5000

>> A31=[C(1,2) C(1,3); C(2,2) C(2,3)]

A31 =

-3.1000 0.2000 3.5000 -3.2000

>> A32=[C(1,1) C(1,3); C(2,1) C(2,3)]

A32 =

1.9000 0.2000 0.4000 -3.2000

>> A33=[C(1,1) C(1,2); C(2,1) C(2,2)]

A33 =

1.9000 -3.1000 0.4000 3.5000

>> G=[det(A11) - det(A12) det(A13); - det(A21) det(A22) - det(A23); det(A31) - det(A32) det(A33)]

G =

19.1500 1.8800 4.4500 13.0100 8.0100 0.5600 9.2200 6.1600 7.8900

>> T=[G(1,1) G(2,1) G(3,1); G(1,2) G(2,2) G(3,2); G(1,3) G(2,3) G(3,3)]

T =

19.1500 13.0100 9.2200 1.8800 8.0100 6.1600 4.4500 0.5600 7.8900

>> O=T/q {Обратная матрица}

O = 0.6090 0.4137 0.2932 0.0598 0.2547 0.1959 0.1415 0.0178 0.2509

>> B=E-2*O

B =

-0.2179 -0.8274 -0.5864 -0.1196 0.4906 -0.3918 -0.2830 -0.0356 0.4982

>> norm(B,1)

Ans =

1.4764

>> norm(B)

Ans =

1.0686

>> norm(B, inf)

Ans =

1.6317

>> W=B^2 ///Возводим в квадрат

W =

0.3124 -0.2047 0.1598 0.0783 0.3535 -0.3173 -0.0751 0.1990 0.4281

>> norm(W,1)

Ans =

0.9052

>> norm(W)

Ans =

0.5813

>> norm(W, inf)

Ans =

0.7491

>> O*C

Ans =

1.0000 0.0000 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000

Приложение 4

Проверка нахождения обратной матрицы

Для того чтобы проверить правильность нахождения обратной матрицы необходимо получить единичную матрицу при умножении начальной матрицы на ее обратную.

G*G-1=E

* =

Алгоритм умножения матриц таков: умножаем первую строчку первой матрицы на первый столбец второй матрицы по формуле:

Сij=Ai1*B1j+ Ai2*B2j+ Ai3*B3j+ . . . + Ain*Bnj

1,9*0,609-3,1*0,058+0,2*0,1415=1 1,9*0,4137-3,1*0,2547+0,2*0, 0178=0 1.9 *0.2932-3.1*0.1959+0.2*0.2509=0 0.4 *0.609+3.5*0.0598-3.2*0.1415=0 0.4 *0.4137+3.5*0.2547-3.2*0.0178=1 0.4 *0.2932+3.5*0.1959-3.2*0.2509=0 -1.1*0.609+1.5*0.0598+4.1*0.1415=0 -1.1*0.4137+1.5*0.2547+4.1*0.0178=0 -1.1*0.2932+1.5*0.1959+4.1*0.2509=1

Похожие статьи

• Порядок выполнения работы, Алгоритм метода - Методика оценки устойчивости линейных динамических систем по критерию В. И. Зубова

  Из данной матрицы А необходимо вычислить матрицу В по формуле . Вычисляем поэтапно данное выражение. Вычитаем из единичной матрицы Е исходную матрицу А...

• Проверка решения двойственной задачи табличным Симплекс-методом - Методика решения двойственных задач линейного программирования

  Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо неравенства преобразовать в равенства, с добавлением дополнительных переменных....

• Решение двойственной задачи симплексным методом (с использованием симплексной таблицы) - Методика решения двойственных задач линейного программирования

  Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. Определим максимальное значение целевой...

• Составить двойственную задачу и найти ее оптимальное решение по теореме равновесия, Решение двойственной задачи - Методика решения двойственных задач линейного программирования

  Известно оптимальное решение X*=(0;0;1;1) задачи линейного программирования: Составьте двойственную задачу и найдите ее оптимальное решение по теореме...

• Динамическое программирование (ДП) - Методики решения задач линейного и нелинейного программирования

  Динамическими называются задачи экономики, организации и управления, в которых необходимо распределять ресурсы на каждом этапе какого - либо промежутка...

• Алгебраические дополнения, Обратная матрица, войства обратных матриц. - Методы решения системы линейных уравнений

  Определение . Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его Дополнительный минор , умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и...

• Решение задачи нелинейного программирования - Методики решения задач линейного и нелинейного программирования

  Метод кусочно-линейной аппроксимации. В нашей задаче есть такая величина, как коэффициент увеличения затрат при нагрузке, который не использовался нами...

• Процедура решения задач минимизации издержек - Модель оценки издержек в системе складского комплекса

  Пусть Z есть вектор, компонентами которого являются все переменные, по которым проводится оптимизация, то есть все компоненты вектора Z . В соответствии...

• Автоматизированное решение транспортной задачи линейного программирования, Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала., С помощью полученных в результате реализации модели отчетов сделать рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции. - Определение оптимальной стратегии рыночного поведения с использованием макроэкономических методов и моделей

  В разделе 1 курсовой работы требуется: Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала....

• Нелинейное программирование - Методики решения задач линейного и нелинейного программирования

  Задача математического программирования называется нелинейной, если нелинейны ограничения или целевая функция. Задачи нелинейного программирования бывают...

• Целочисленное линейное программирование - Методики решения задач линейного и нелинейного программирования

  При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного...

• Особенности постановки и решения общей задачи линейного программирования - Определение оптимальной стратегии рыночного поведения с использованием макроэкономических методов и моделей

  Второй раздел курсовой работы посвящен особенностям постановки и решения общей задачи линейного программирования, а именно, транспортной задаче (ТЗЛП)....

• Симплексный метод решения задач ЛП - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  Вид сырья Запас сырья Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции P1 P2 P3 P4 S1 4 1 1 1 3 S2 18 2 4 6 1 Прибыль от единицы...

• Определители (детерминанты) - Методы решения системы линейных уравнений

  Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: Det A = , где (1) М1к -...

• Матрицы и определители - Методы решения системы линейных уравнений

  Определение. Матрицей размера mn, где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа...

• Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП) - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  Задачей линейного программирования (ЛП) называется задача минимизации или максимизации линейного функционала при линейных ограничениях. В литературе...

• Паспорт проектной деятельности - Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

  1. Название проекта: "Математические модели в экономике". 2. Руководитель: учитель математики Тыкоцкая Л. И. 3. Учебные предметы: математика, экономика....

• Базовые понятия экономики, используемые в проекте - Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

  Наша группа работала над учебным межпредметным проектом "Математические модели в рыночной экономике". Мы покажем применение в экономике систем уравнений....

• Линейное программирование, Симплекс - метод - Методики решения задач линейного и нелинейного программирования

  Основная задача линейного программирования: Найти неотрицательное решение системы ограничений обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции. Чтобы...

• Презентация проекта - Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

  Руководитель проекта сообщает тему и цель проекта, знакомит с исполнителями проекта. Акцентирует внимание учащихся на том, что проект носит обучающий...

• Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

  По продаже системного блока компьютера на базе процессора Celeron в одном из магазинов фирмы N за месяц сложилась следующая ситуация: Цена (тыс. рублей)...

• Закон спроса, Закон предложения - Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

  При неизменности всех прочих факторов снижение цены ведет к соответствующему увеличению спроса и, наоборот, при прочих равных условиях увеличение цены...

• Проверка: Исследование функции на экстремум - Методика решения двойственных задач линейного программирования

  Исследуем на экстремум функцию: 1. С помощью необходимого существования экстремума, т. е. из системы Найдем координаты стационарных (критических) точек:...

• Графическое решение задачи нелинейного программирования - Методика решения двойственных задач линейного программирования

  Так как целевая функция не является линейной, то эта задача является задачей нелинейного программирования. Найдем ее решение, используя геометрическую...

• Решить графически задачу нелинейного программирования, Математическая модель задачи нелинейного программирования (ЗНП) - Методика решения двойственных задач линейного программирования

  Математическая модель задачи нелинейного программирования (ЗНП) (*) Для ЗНП в отличие от Задачи Линейного Программирования (ЗЛП) нет единого метода...

• Обоснование проекта - Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

  Уравнение графический спрос равновесие С позиций воспитательного аспекта целью данного проекта является помощь учащимся в понимании жизненной...

• РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОММИВОЯЖЕРЕ МЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ: ОСНОВНАЯ СХЕМА - Задача коммивояжера

  Пусть - конечное множество и - вещественно-значная функция на нем; требуется найти минимум этой функции и элемент множества, на котором этот минимум...

• Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. - Методы решения системы линейных уравнений

  Любая правильная рациональная дробь P(x)/Q(x) может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого прежде...

• Основные формулы интегрирования (табличные интегралы) - Методы решения системы линейных уравнений

  1. ?dx = x+C 2. ?xNDx = (xN+1/(n+1))+C (n?-1) 3. ?(dx/x) = ln(x)+C 4. ?aXDx = aXLn(a)+C 5. ?eXDx = eX +C 6. ?sin(x)dx = -...

• Элементарные преобразования, Миноры - Методы решения системы линейных уравнений

  Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к...

• Признаки оптимальности при решении задачи линейного программирования методом потенциалов - Методы линейного программирования. Прогнозирование покупательского спроса

  Покупательский спрос математический программирование Математическое программирование -- область математики, разрабатывающая теорию и численные методы...

• Свойства операции умножения матриц - Методы решения системы линейных уравнений

  1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА...

• Литература - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  1. Карпелович Ф. И., Садовский Л. Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. - М.: Физматгиз, 1963. 2. Коротков М., Гаврилов М. "Основы...

• Системы линейных уравнений - Методы решения системы линейных уравнений

  Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида Где aIj и bI (i=1,...,m; b=1,...,n) - некоторые известные числа, а x1,...,xN -...

• Принципы построения программ с автоматическим выбором шага, Решение задачи, Блок-схема программы, Результаты решения - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  При написании программ численного интегрирования желательно, чтобы для любой функции распределение узлов являлось оптимальным или близким к нему. Однако...

• Транспортная задача и ее решение методом потенциалов - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

  Математическая модель транспортной задачи: F = ??cIjXIj, (1) При условиях: ?xIj = aI, i = 1,2,..., m, (2) ?xIj = bJ, j = 1,2,..., n, (3)...

• Анализ чувствительности оптимального решения ЗЛП к введению нового ограничения - Исследование чувствительности оптимального решения задачи линейного программирования к вариациям ее параметров и введению нового ограничения

  Необходимость введения нового ограничения может возникнуть, например, когда первоначально для сокращения затрат машинного времени некоторые интуитивно...

• Оптимальное решение модели. - Методика решения задачи целочисленного программирования

  Рис. 1 Шаг 1. Исходную задачу 1 заносим в дерево задач. В качестве исходного допустимого решения берем: x1=x2=x3=0. Соответствующее значение целевой...

• Решение систем линейных уравнений

  Постановка задачи Решить Систему линейных уравнений при помощи метода Гаусса и через метод Крамера (вариант 82- 2) Теоретическая часть Матрица -- Таблица...

• Порядок составления базисного плана при решении задач симплексным методом - Методы линейного программирования

  Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве позволяют решать большой круг задач, связанных с оптимизацией территориальной...

Результат решения задачи - Методика оценки устойчивости линейных динамических систем по критерию В. И. Зубова

Предыдущая | Следующая