Решение экономических задач - Моделирование издержек и прибыли предприятия

Дана производственная функция некоторого предприятия, которая имеет вид:

Также мы имеем:

    - P(цена единицы продукции)=10 денежных единиц - функция издержек линейна - (стоимость аренды единицы производственных фондов)=5 денежных единиц - (ставка заработной платы)=10 денежных единиц на человека

Необходимо найти:

    1. Оптимальное распределение ресурсов и соответствующую ему прибыль от производства одного вида продукции в долгосрочном периоде, если предприятие может неограниченно увеличивать затраты ресурсов. 2. Оптимальное распределение ресурсов и соответствующую ему прибыль от производства одного вида продукции в краткосрочном периоде, если затраты ресурсов ограничены величинойденежных единиц. 3. Рыночную цену единицы продукции.

Решение.

Формула функции прибыли и издержек данной задачи имеет следующий вид:

,

, (4.2)

Где П-прибыль,

P-цена единицы продукции,

К-капитал,

L-труд,

    -стоимость аренды единицы производственных фондов, -ставказаработнойплаты,

C-величина затрат ресурсов.

1. Найдем решение оптимального распределения ресурсов и максимум функции прибыли П(K, L) на множестве Х в условиях неограниченных затрат ресурсов:

, (4.3)

Где

Далее находим частные производные первого порядка прибыли:

,

. (4.4)

Записываем необходимое условие существования локального экстремума и находим стационарные точки функции:

При P=10, , , получаем единицы, единицы.

Вычисляем частные производные второго порядка:

,

,

. (4.6)

Для проверки достаточного условия существования локального экстремума вычисляем определитель:

Значение определителя в точке(, )=(4;2) равно, следовательно, локальный экстремум существует. При этом:

,

Следовательно, точка ( является точкой локального максимума, значение функции прибыли в которой равно:

денежных единиц.

2. Находим оптимальное распределение и соответствующую ему прибыль при условии. Производственная функция является выпуклой вверх. Так как функция издержек линейна, то подмножество множества X, точки которого удовлетворяют неравенству, являются выпуклым. Следовательно, нужно найти условный экстремум функциипри условии

Составляем функцию Лагранжа, записываем для нее необходимое условие существования экстремума и находим решение полученной системы уравнений:

При, , получаем оптимальное распределение ресурсовединиц, единиц, соответствующая ему прибыль:

денежных единиц.

Так как П(10;5)<П(4;2), то предприятию выгоднее уменьшить объем выпуска, так как затраты ресурсов единиц, единиц слишком велики.

3. Из системы (4.8), то рыночная цена единицы продукции составит:

Денежных единиц.

По условию цена единицы продукции, денежных единиц, следовательно, предприятие продает свою продукцию по заниженной цене.

(4.8)

Ответ. При отсутствии ограничения на затраты ресурсов их оптимальное распределениеединицы, единицы, прибыль П(4;2)=20 денежных единиц.

При ограничении затрат ресурсов величиной денежных единиц оптимальное распределение ресурсов единиц, единиц, прибыль денежных единиц.

Рыночная цена единицы продукции денежных единиц.

Похожие статьи




Решение экономических задач - Моделирование издержек и прибыли предприятия

Предыдущая | Следующая