Метод наименьших квадратов - Анализ методов прогнозирования

Расчет параметров af b для конкретной функциональной зависимости осуществляется с помощью метода наименьших квадратов (МНК) и его модификаций. Суть МНК состоит в отыскании параметров модели, минимизирующих отклонения расчетных значений от соответствующих значений эмпирического ряда, т. е. искомые параметры должны удовлетворять условию.

Расчет значений параметров зависимости осуществляйся путем решения системы нормальных уравнений, поучаемой дифференцированием функции S по а и Ь. В случае однофакторной линейной зависимости она имеет вид МНК применим и для расчета параметров нелинейных зависимостей. Для формирования системы нормальных уравнений эти зависимости необходимо свести к линейному виду путем преобразования (введения новых переменных).

Выбор модели осуществляется с помощью специально разработанных программ. Есть программы, предусматривающие возможность моделирования экономических рядов по 16 функциям: линейной, гиперболической различных типов, экспоненциальной, степенной, логарифмической и др. Каждая из них может иметь свою специфическую область применения при прогнозировании экономических явлений.

Так, линейная функция (у = ах + Ъ) применяется для описания процессов, равномерно развивающихся во времени. Параметр а (коэффициент регрессии) показывает скорость изменения прогнозируемого у при изменении х.

Гиперболы хорошо описывают процессы, характеризующиеся насыщением, когда существует фактор, сдерживающий изменение прогнозируемого показателя.

Модель выбирается, во-первых, визуально, на основе сопоставления вида кривой, ее специфических свойств и качественной характеристики тенденции экономического явления; во-вторых, исходя из значения критерия выбора лучшей зависимости. В качестве критерия чаще всего используется сумма квадратов отклонений S и корреляционное отношение Ц. Из совокупности функций выбирается та, которой соответствует минимальное значение S и максимальное значение Л *

Прогноз предполагает продление тенденции прошлого, выражаемой выбранной функцией, в будущее, т. е. экстраполяцию динамического ряда. Программным путем на ЭВМ определяется значение прогнозируемого показателя. Для этого в формулу, описывающую процесс, подставляется прогнозное значение фактора. Например, если зависимость линейная (у = ах + Ъ) и рассчитанные значения параметров а = 0,7и&; = 1,2,то при прогнозном значении фактора х = 7,2 прогнозируемый показатель будет равен: у =0,7- 7,2 + 1,2 = 6,24; в случае нелинейной зависимости вида у = ахъ при а = 1,6, &; = 0,5 и прогнозном значении фактора х =7 прогнозируемый показатель будет равен: у = 1,6-7°'5= 4,234.

МНК используется также при расчете параметров многофакторных линейных и нелинейных зависимостей.

В связи с тем, что метод подбора функций исходит из инерционности экономических явлений и предпосылок, что общие условия, определяющие развитие в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем, его целесообразно использовать при разработке краткосрочных прогнозов обязательно в сочетании с методами экспертных оценок.

Экстраполяция методом подбора функций учитывает все данные исходного ряда с одинаковым "весом". Классический метод наименьших квадратов предполагает равноценность исходной информации в модели. Однако, как показывает опыт, экономические показатели имеют тенденцию "старения". Влияние более поздних наблюдений на развитие процесса в будущем существеннее, чем более ранних. Проблему "старения" данных динамических рядов решает метод экспоненциального сглаживания с регулируемым трендом. Он позволяет построить такое описание процесса, при котором более поздним наблюдениям придаются большие "веса" по сравнению с более ранними, причем "веса" наблюдений убывают по экспоненте. В результате создается возможность получить оценку параметров зависимости, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения.

Скорость старения данных характеризует параметр сглаживания а. Он изменяется в пределах 0 < а < 1.

В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по-разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше а, тем больше вклад последних наблюдений в формирование зависимости, а влияние начальных условий быстро убывает. При малом а прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более "старой" информации происходит медленно, т. е. чем меньше а, тем данные более стабильны, и наоборот.

В области экономического прогнозирования наиболее употребимы пределы 0,05 < а < 0,3. Значение а в общем случае должно зависеть от срока прогнозирования: чем меньше срок, тем большим должно быть значение параметра.

Этот метод реализуется на ЭВМ с помощью специально разработанных программ.

Похожие статьи




Метод наименьших квадратов - Анализ методов прогнозирования

Предыдущая | Следующая