Функции от матриц, Степени матриц, Теоремы о функциях от матриц - Матричный формализм в теории систем

Степени матриц

Произведение матриц AAA...A, где A - квадратная матрица порядка n, можно записать в виде Ak, где k означает число сомножителей, входящих в произведение. Это произведение называется k-й степенью матрицы A. Оно обладает свойствами

Те же правила справедливы при возведении матрицы в отрицательную степень при условии, что матрица неособенная, то есть существует обратная матрица. Имеем

Подобные правила применяются и в случае вычисления дробной степени матрицы. Так, если Am=B, то A является корнем m-й степени B. Не существует общего правила определения, каким количеством корней степени m обладает матрица B, - число корней зависит от вида матрицы.

Функции от матриц

Матричный многочлен - это выражение вида

Разложение на множители этого многочлена, или факторизация матричного многчлена, имеет вид

Бесконечный ряд матриц:

Геометрический ряд:

Экспоненциальная функция

Можно показать, что этот ряд сходится равномерно и абсолютно. Произведение матричных экспонент:

EAeB=eA+B

Синусоидальная функция:

Косинусоидальная функция:

, где комплексная экспонента определяется как

Гиперболический синус

Гиперболический косинус

Теоремы о функциях от матриц

Теорема Кэли-Гамильтона: матрица A удовлетворяет собственному характеристическому уравнению. Этот результат можно записать в виде:

На основе этой теоремы можно представить многочлен n-го порядка от матрицы A в виде линейной комбинации I, A, A2, ..., An-1 или многочлена n-й степени относительно A.

Теорема Сильвестра: если N(A) - матричный многочлен от A и если квадратная матрица A содержит n различных характеристических чисел, то многочлен от A можно записать в виде

Можно показать, что

Где P() - характеристический многочлен A, а потому теорема Сильвестра может быть записана в виде

Если матрица A содержит кратные характеристические корни, то необходимо использовать так называемую вырожденную форму теоремы Сильвестра. Пусть характеристический корень имеет порядок s. Тогда член суммы, соответствующий кратному корню i, можно представить в виде

Похожие статьи




Функции от матриц, Степени матриц, Теоремы о функциях от матриц - Матричный формализм в теории систем

Предыдущая | Следующая