Функции от матриц, Степени матриц, Теоремы о функциях от матриц - Матричный формализм в теории систем
Степени матриц
Произведение матриц AAA...A, где A - квадратная матрица порядка n, можно записать в виде Ak, где k означает число сомножителей, входящих в произведение. Это произведение называется k-й степенью матрицы A. Оно обладает свойствами
Те же правила справедливы при возведении матрицы в отрицательную степень при условии, что матрица неособенная, то есть существует обратная матрица. Имеем
Подобные правила применяются и в случае вычисления дробной степени матрицы. Так, если Am=B, то A является корнем m-й степени B. Не существует общего правила определения, каким количеством корней степени m обладает матрица B, - число корней зависит от вида матрицы.
Функции от матриц
Матричный многочлен - это выражение вида
Разложение на множители этого многочлена, или факторизация матричного многчлена, имеет вид
Бесконечный ряд матриц:
Геометрический ряд:
Экспоненциальная функция
Можно показать, что этот ряд сходится равномерно и абсолютно. Произведение матричных экспонент:
EAeB=eA+B
Синусоидальная функция:
Косинусоидальная функция:
, где комплексная экспонента определяется как
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
Теоремы о функциях от матриц
Теорема Кэли-Гамильтона: матрица A удовлетворяет собственному характеристическому уравнению. Этот результат можно записать в виде:
На основе этой теоремы можно представить многочлен n-го порядка от матрицы A в виде линейной комбинации I, A, A2, ..., An-1 или многочлена n-й степени относительно A.
Теорема Сильвестра: если N(A) - матричный многочлен от A и если квадратная матрица A содержит n различных характеристических чисел, то многочлен от A можно записать в виде
Можно показать, что
Где P() - характеристический многочлен A, а потому теорема Сильвестра может быть записана в виде
Если матрица A содержит кратные характеристические корни, то необходимо использовать так называемую вырожденную форму теоремы Сильвестра. Пусть характеристический корень имеет порядок s. Тогда член суммы, соответствующий кратному корню i, можно представить в виде
Похожие статьи
-
Собственные числа и собственные векторы матрицы Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые будут...
-
Действия над матрицами - Матричный формализм в теории систем
Суммой двух матриц A и B одной и той же размерности mn называется матрица C размерности mn, элементы которой находятся из условия cij=aij+bij....
-
Понятие матрицы Матрицей А размером mn или просто (mn)-матрицей называют прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов, элементами которой...
-
Диагонализация матриц. - Матричный формализм в теории систем
Для матрицы A, имеющей n различных характеристических чисел, преобразование вида M-1AM приводит к диагональной матрице D, где M называется модальной...
-
Квадратичная форма - Матричный формализм в теории систем
Квадратичной формой называется выражение: Этой квадратичной форме соответствует матрица Сделаем следующее преобразование с каждым членом квадратичной...
-
Матрица B эквивалентна матрице А в том случае, если существуют такие две неособенные матрицы P и Q, что B=PAQ. Преобразование подобия Рассмотрим линейное...
-
Если в определителе |A| вычеркнуть i-ю строку и j-ый столбец, то оставшиеся n-1 строк и столбцов образуют определитель |Mij|, называемый минором элемента...
-
Отображения и их свойства. Пусть X и Y - некоторые множества и ГXY, причем Пр1Г=X. Тройка множеств (X, Y, Г) определяет некоторое соответствие,...
-
Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b Таблица 1 - Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b № Вар Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора...
-
Функции, возвращающие специальные характеристики матриц - Массивы, векторы и матрицы
Следующие функции возвращают специальные характеристики матриц: Cols(M) Возвращает число столбцов матрицы M Rows(M) Возвращает число строк матрицы M...
-
При формулировании задачи в одном из пространств возникает необходимость перехода к тождественной постановки в другом. К сожалению, не всегда...
-
Описание модулей программы Проект приложения содержит следующие модули. Модуль UnitCollection. pas содержит описание классов для работы с коллекцией и...
-
Среди бурно развивающихся систем компьютерной математики СКМ, в первую очередь ориентированных на численные расчеты, особо выделяется матричная...
-
Линейная замкнутая система Рассмотрим линейную стационарную непрерывную управляемую систему: (1.1) - вектор состояния системы, - управление, - выход...
-
Функции СУБД: 1. ведение БД: ввод, корректир, сортировка, обработка, поиск данных, обработка по запросу. 2. обеспечение безопасности и целостности данных...
-
Оператор векторизации - Массивы, векторы и матрицы
Большинство приведенных операторов достаточно известны из математического аппарата матричных вычислений. Под понятием векторизации подразумевается...
-
Устойчивость - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления
Перейдем от общих понятий к формализации данного свойства в интересующей нас сфере. В случае нестационарных систем существует множество различных...
-
Понятие функционала, Понятие оператора - Теория множеств в теории систем
Говоря об отображении f: XY как о функции с вещественными значениями, мы не накладывали на характер элементов множества X каких-либо особых ограничений....
-
Матрицы типа "функции-данные" являются внутренним инструментом описания бизнес-процессов в организации ООО "РН-Информ" и являются вариацией CRUD-матриц....
-
Так как матрица типа "функции-данные" является подвидом CRUD-матриц, сначала необходимо разобраться, что из себя представляет данный метод; затем...
-
Цель Работы - изучить основные способы работы с пользовательским типом данных "класс", его объектами, методами и способы доступа к ним. - Теоретические...
-
Введение - Программа анализа матриц типа "функции-данные" и интерпретации деревьев бизнес-процессов
В настоящее время трудно представить организацию, не использующую в своей деятельности информационные системы, начиная от простых электронных таблиц и...
-
Назначение и функции программной системы Разработанная база данных "Библиотека" предназначена для использования в учреждениях библиотек. Основной...
-
Под семантической устойчивостью модели [64] нами понимается ее свойство давать малое различие в прогнозе при замене одних факторов, другими, мало...
-
Упорядоченное множество Наряду с понятием множества как совокупности элементов важным понятием является понятие упорядоченного множества или кортежа....
-
Анализ модели архитектуры данных организации является важной и трудоемкой задачей, позволяющей выявить существующие недостатки архитектуры. Также такой...
-
Выходные данные для работы программы представляют собой матрицу типа "функции-данные", где связь бизнес-функций и элементов данных описывается большим...
-
Для разделения действительной и мнимой частей передаточной функции умножим числитель и знаменатель передаточной функции на комплексно сопряженное число...
-
Если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют...
-
Воспользуемся теперь для поиска решения функционалом (2.13). Пространство операторов В рассматриваем примере добавка (2.12) может быть представлена:...
-
Ввод элементов векторов и матриц - Массивы, векторы и матрицы
Векторы и матрицы можно задавать путем ввода их элементов - индексированных переменных. Для указания подстрочных индексов после имени переменной вводится...
-
Составление частотного уравнения методом последовательного расщепления Рисунок 3.1 - Исходная модель. Расщепим ее на массе 2 Рисунок 3.2 - Расщепление на...
-
Вывод шаблонов матриц и векторов - Массивы, векторы и матрицы
Команда Matrices... (Матрицы) меню Insert (Вставка) обеспечивает задание векторов или матриц. Как известно, матрица является именованным объектом в виде...
-
ОСНОВНЫЕ ПРОГРАММЫ АРХИВАТОРЫ И ИХ ФУНКЦИИ - Архивация информации и программы-архиваторы
Назначение программ-архиваторов заключается в экономии места на диске за счет сжатия (упаковки) одного или нескольких файлов в архивный файл....
-
Задание: 1. Выбрать предметную область. 2. Изучить предметную область. 3. Представление фактов и правил предметной области. 4. Построение дерева решений....
-
Оптимизация запросов к базе данных - Теория экономических информационных систем
Возможности оптимизатора запросов в значительной мере определяют способности сервера эффективно обрабатывать SQL-операторы, затрагивающие несколько...
-
Функционально-структурная организация персонального компьютера. Персональные компьютеры используют в домашних условиях. Их основное назначение:...
-
Основные термины теории баз данных - БД (База данных) - совокупность специальным образом организованных данных, хранимых в памяти вычислительной системы...
-
Основные функции UNIX системы, init - Операционная система Linux
В этом разделе достаточно поверхностно рассматриваются некоторые наиболее важные функции UNIX системы. Более подробно они рассмотрены в следующих главах....
-
Требования к функциональным характеристикам система должна обеспечивать выполнение следующих функций: - Актуальная информативность Исходные данные:...
Функции от матриц, Степени матриц, Теоремы о функциях от матриц - Матричный формализм в теории систем