Отображения и функции, Отображения и их свойства., Функция и обратная функция - Теория множеств в теории систем

Отображения и их свойства.

Пусть X и Y - некоторые множества и ГXY, причем Пр1Г=X. Тройка множеств (X, Y, Г) определяет некоторое соответствие, обладающее, однако, тем свойством, что его область определения Пр1Г совпадает с областью отправления. Такое всюду определенное соответствие называется отображением X в Y и записывается как

Г: XY.

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых свойств отображения. Пусть AX. Для любого xA образом x будет множество Гх=Y. Совокупность всех элементов Y, являющихся образами Гх для всех xA, назовем образом множества A и будем обозначать ГА. Согласно этому определению

?

Если A1 и А2 - подмножества X, то

Однако соотношение

Справедливо только в том случае, если отображение Г: XY является однозначным. В общем же случае

.

Функция и обратная функция

Рассмотрим некоторое отображение f: XY. Это отображение называют функцией, если оно однозначно, то есть для любых пар (x1y1)f и (x2y2)f из x2=x1 следует y2=y1. Формальное определение:

Понятие обратной функции применимо для такого отображения f: XY, которое, во-первых, является однозначным, то есть для любых (x1, y1)f и (x2, y2)f из x2=x1 следует y2=y1, и, во-вторых, является взаимно однозначным, то есть из x2x1 следует y2y1. При выполнении этих условий отображение f: XY является однозначным, то есть определяет функцию y=f(x) Обратное отображение f-1: YX также является однозначным и определяет функцию x=f-1(y), называемую обратной по отношению к y=f(x).

Похожие статьи




Отображения и функции, Отображения и их свойства., Функция и обратная функция - Теория множеств в теории систем

Предыдущая | Следующая