ДАННЫЕ ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ, АЛГЕБРА МАТРИЦ - ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах

Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b

Таблица 1 - Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b

№

Вар

Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b системы линейных алгебраических уравнений

А11

А12

А13

А14

А21

А22

А23

А24

А31

А32

А33

А34

А41

А42

А43

А44

B1

B2

B3

B4

8

2,4

1,4

1,6

1,8

2,6

12

0,6

4,0

-0,8

0,85

0,1

0,2

0,4

1,2

1,0

1,5

0,1

0,2

-0,4

0,6
АЛГЕБРА МАТРИЦ

Использование матричных функций.

Собственные значения и векторы собственных значений матрицы.

А) Определение собственных значений с помощью характеристического уравнения.

Пусть X и Y - векторы. А - квадратная матрица, оператор преобразования Х в Y. Часто бывают случаи, когда необходимо найти вектор ? и значение скаляра л такие, что А? ? = л??. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений л1, л2,... и соответствующих им собственных векторов x1, х2,...Значение скаляра л носит название собственных значений квадратной матрицы А. Его можно получить из характеристического уравнения матрицы А.

Характеристическое уравнение матрицы имеет вид:

Его корни: называются собственными числами матрицы А.

Их сумма равна сумме диагональных элементов матрицы А (или следу матрицы А)

Исходная матрица:

Находим корни характеристического уравнения:

Функция identity (4) создает единичную матрицу размером 4*4

?лj =16

Б) Определение вектора, элементами которого являются собственные значения матрицы с помощью функций Mathcad.

Для решения задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:

Матрица вектор мathcad

Eigenvals(A) - вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А; По умолчанию Mathcad отобразит три знака после запятой. Если необходимо увеличить точность собственных чисел матрицы, то необходимо воспользоваться командами: Формат, Формат результата главного меню и указать в окошечке Число десятых доль-Displayed Precision (3) желаемое число знаков после запятой (от 0 до 15).

А) Вычисление матрицы, содержащей нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А

Нахождение матрицы векторов собственных значений матрицы.

Eigenvecs(A) - вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А;

N-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;

Для устранения ошибки округления увеличили точность до 8 знаков после запятой.

Б) Вычисление собственного вектора для матрицы А и заданного собственного значения л.

Данную функцию применим к действительным собственным значениям.

Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведена для значения л0 . Причем проверка правильности выражения Ах=лх проведена дважды - сначала на числовых значениях х и л, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.

Вычисление собственного вектора для матрицы А и л3.

Как мы видим, в этом случае собственные вектора и матрица собственных векторов матрицы А, имеют численные значения, отличающиеся знаками. Однако это не меняет общности поставленной задачи, так как речь идет о пространстве, в котором находятся собственные вектора матрицы А.

Приведение заданной матрицы к диагональному виду.

В Mathcad легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций, например:

Diag(v) - создаст диагональную матрицу, на диагонали которой находятся элементы вектора v;

Рассмотрим вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А.

Для квадратной матрицы А часто бывает необходимо найти, если это возможно, такую квадратную матрицу, чтобы выполнялось условие:Р-1 ?А?Р = L

Здесь L представляет собой квадратную матрицу diag (л1, л2....... лn) , где л1, л2...... лn являются собственными значениями матрицы А.

Найденная выше матрица Р содержит нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения.

Матрица векторов собственных значений матрицы А приводит ее к треугольному виду:

Похожие статьи




ДАННЫЕ ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ, АЛГЕБРА МАТРИЦ - ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах

Предыдущая | Следующая