Квадратичная форма - Матричный формализм в теории систем
Квадратичной формой называется выражение:
Этой квадратичной форме соответствует матрица
Сделаем следующее преобразование с каждым членом квадратичной формы:
A12x1x2+a21x2x1=x1x2(a12+a21)=0.5(a12+a11)x1x2+0.5(a12+a11)x1x2
Как видно, матрица, соответствующая этой квадратичной форме, является симметрической. Квадратичную форму можно представить в матричном виде:
Квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных, то есть
Ей соответствует диагональная матрица A=diag(I). Следовательно, чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить над ней такое преобразование, которое приведет матрицу, соответствующую ей, к каноническому виду, например, диагонализацию матрицы.
Если над квадратичной формой сделано некоторое линейное преобразование, то первоначальная и полученная квадратичные формы называются конгруэнтными.
Пусть над квадратичной формой сделано преобразование вида:
Или короче Y=BX, где B=[bij]. Тогда квадратичная форма после преобразования принимает вид
F(Y)=YTAY
F(X)=(BX)TABX=XTBTABX=XTCX, где C=BTAB.
Квадратичная форма в независимости от выбора базиса в каноническом виде имеет одинаковое количество положительных и отрицательных коэффициентов.
Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого xR
F(X, X)>0
И отрицательно определенной, если для любого xR
F(X, X)<0.
В случае нестрогого неравенства квадратичная форма называется положительно полуопределенной и отрицательно полуопределенной соответственно.
Чтобы определить положительность квадратичной формы, служит критерий Сильвестра: квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы, соответствующей этой квадратичной форме, положительны. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда угловые миноры матрицы, соответствующей этой квадратичной форме, будут чередоваться по знакам, начиная с отрицательного.
Похожие статьи
-
Если в определителе |A| вычеркнуть i-ю строку и j-ый столбец, то оставшиеся n-1 строк и столбцов образуют определитель |Mij|, называемый минором элемента...
-
Матрица B эквивалентна матрице А в том случае, если существуют такие две неособенные матрицы P и Q, что B=PAQ. Преобразование подобия Рассмотрим линейное...
-
Понятие матрицы Матрицей А размером mn или просто (mn)-матрицей называют прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов, элементами которой...
-
Собственные числа и собственные векторы матрицы Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые будут...
-
Диагонализация матриц. - Матричный формализм в теории систем
Для матрицы A, имеющей n различных характеристических чисел, преобразование вида M-1AM приводит к диагональной матрице D, где M называется модальной...
-
Действия над матрицами - Матричный формализм в теории систем
Суммой двух матриц A и B одной и той же размерности mn называется матрица C размерности mn, элементы которой находятся из условия cij=aij+bij....
-
Степени матриц Произведение матриц AAA...A, где A - квадратная матрица порядка n, можно записать в виде Ak, где k означает число сомножителей, входящих в...
-
Если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют...
-
Отображения и их свойства. Пусть X и Y - некоторые множества и ГXY, причем Пр1Г=X. Тройка множеств (X, Y, Г) определяет некоторое соответствие,...
-
Нормалізація таблиць бази даних - перший крок на шляху проектування структури реляційної бази даних. Нормалізація - це процес організації даних в базі...
-
Аналитический обзор литературы по различным формам обученияв условиях компьютерного класса Методическая система обучения информатике, как и любому...
-
Любая информация, включая экономическую, требует материального воплощения, что и достигается ее представлением (фиксацией) в форме определенных сигналов...
-
Конструювання таблиць і форм - Система керування базами даних Access
Основою реляційної бази даних є таблиці. Тому з їх побудови доречно почати створення бази даних. Режими створення таблиць Таблиці бази даних описують...
-
Выбор интерфейса Пользовательский интерфейс представляет собой совокупность программных и аппаратных средств, обеспечивающих взаимодействие пользователя...
-
Упорядоченное множество Наряду с понятием множества как совокупности элементов важным понятием является понятие упорядоченного множества или кортежа....
-
Некоторые сведения из теории графов - Алгоритмы нескольких махов
Приведенные ниже определения взяты из [1,2,7-9], теоремы из [6]. Граф, или обыкновенный граф G -- это упорядоченная пара G := (V, E), где V -- это...
-
Построение реляционной схемы БД - Банки и базы данных. Системы управления базами данных
В основе реляционной модели БД лежит понятие отношения. Под отношением в этой модели понимается двумерная таблица данных. Строки таблицы называются...
-
Классификация ИС. Жизненный цикл ИС и его модели - Теория экономических информационных систем
Классификация по масштабу По масштабу информационные системы подразделяются на следующие группы 1. одиночные;2. групповые;3. корпоративные. Одиночные...
-
Функции СУБД: 1. ведение БД: ввод, корректир, сортировка, обработка, поиск данных, обработка по запросу. 2. обеспечение безопасности и целостности данных...
-
Понятие функционала, Понятие оператора - Теория множеств в теории систем
Говоря об отображении f: XY как о функции с вещественными значениями, мы не накладывали на характер элементов множества X каких-либо особых ограничений....
-
Основные термины теории баз данных - БД (База данных) - совокупность специальным образом организованных данных, хранимых в памяти вычислительной системы...
-
Количество учебных часов Практичес Самостоят Наименование темы Основные понятия правовой информатики Проблема доступа к правовой информации и роль...
-
Методология RAD - Теория экономических информационных систем
Одним из возможных подходов к разработке ПО в рамках спиральной модели ЖЦ является получившая в последнее время широкое распространение методология...
-
Оптимизация запросов к базе данных - Теория экономических информационных систем
Возможности оптимизатора запросов в значительной мере определяют способности сервера эффективно обрабатывать SQL-операторы, затрагивающие несколько...
-
Пересмотр теорий высказываний - Система отслеживания истинности предположений
Систему отслеживания истинности предположений, разработанную Мак-Аллестером [McAllester, 1980], нельзя отнести к самым первым, но ее, пожалуй, лучше...
-
Графическое отображение нелокальной нейронной сети в системе "Эйдос" Математический метод СК-анализа в свете идей интервальной бутстрепной робастной...
-
MATLAB - высокоуровневая система программирования, позволяющая резко сократить затраты труда при проверке алгоритмов и проведении прикидочных расчетов....
-
Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит и множеству Y. Это определение может быть сформулировано и в...
-
Наиболее распространенная форма - ЭВМ. Раньше чаще использовались вычислительные центры (ВЦ). Вычислительный центр - организуется и специализируется на...
-
Наиболее распространенная форма - ЭВМ. Раньше чаще использовались вычислительные центры (ВЦ). Вычислительный центр - организуется и специализируется на...
-
По заданному значению выбираем длину линии и удельное сопротивление линии. = 50 км; Марка провода ЛЭП: АС - 240 1.2 Расчет параметров модели...
-
Среди бурно развивающихся систем компьютерной математики СКМ, в первую очередь ориентированных на численные расчеты, особо выделяется матричная...
-
Логические функциональные блоки могут объединяться с блоком управления устройством, образуя базу для интегрированного управления. Предоставляемые блоки...
-
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДАННЫХ ИМД основана на понятии деревьев, состоящих из вершин и ребер. Вершине дерева ставится в соответствие совокупности атрибутов...
-
Даний розділ один з найбільш об'ємних, в зв'язку з різноманіттям функцій створення, коригування, трансформування координат і друку багатьох звітних форм....
-
Инфологические и даталогические модели данных - Теория экономических информационных систем
СУБД должна предоставлять доступ к данным любым пользователям, включая и тех, которые практически не имеют и (или) не хотят иметь представления о: -...
-
Объектно-ориентированные СУБД Несмотря на большую популярность реляционных СУБД, развитие технологии появления данными на них не остановилось. Развитие...
-
Рассмотрим произвольное звено коррекции: (1.5) Соотношение между и обусловлено требованием строгой реализуемости проектируемого звена как необходимого...
-
Дана система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными: В матричной форме записи система (1) имеет вид: (2) Где : n - порядок системы; - матрица...
-
Отслеживание зависимостей - Система отслеживания истинности предположений
В главе 15 рассказывалось о том, что в экспертной системе VT для фиксации зависимостей между решениями, принимаемыми в процессе проектирования,...
Квадратичная форма - Матричный формализм в теории систем