Полный факторный эксперимент типа 2n - Теория планирования эксперимента
На начальных этапах оптимизации для определения градиента применяют неполные полиномы второго порядка или линейные полиномы. Вычисление оценок коэффициентов таких полиномов осуществляется на основе обработки результатов реализации наиболее простых планов, в которых каждый фактор принимает только два значения VI, min или VI, max, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня или центра плана по данному фактору. Значения уровней варьирования выбирает исследователь, исходя из возможного диапазона изменения каждого фактора и возможности применения линейной аппроксимации функции отклика в выбранном диапазоне изменений параметра. Без ограничения общности можно считать, что кодированные значения XI принимают значения - 1 и +1 соответственно (или просто - или +). Множество всех точек в K-мерном пространстве, координаты которых являются комбинациями "+" и "-", называется полным факторным планом или планом Полного факторного эксперимента типа 2K (ПФЭ). Количество точек в этом плане N =2N.
Для примера возьмем полный факторный эксперимент с тремя независимыми переменными X1, Х2 и X3, табл. 1.
Таблица 1
Матрица планирования |
Вектор результатов | |||||||
X0 |
X1 |
X2 |
X3 |
X1 x2 |
X1 X3 |
X2 X3 |
X1 X2 X3 |
Y |
+ |
- |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
Y1 |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
Y2 |
+ |
- |
+ |
- |
- |
+ |
- |
+ |
Y3 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
- |
Y4 |
+ |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
+ |
Y5 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
- |
Y6 |
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
- |
- |
Y7 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Y8 |
Второй, третий и четвертый столбцы таблицы соответствуют собственно плану экспериментов, пятый - восьмой столбцы содержит значения произведений независимых переменных. Фиктивная переменная X0 =1 (первый столбец) введена для единообразия записи расчетных формул коэффициентов полинома. Строки соответствуют опытам, например, первая строка характеризует эксперимент, в котором все независимые переменные находятся на нижнем уровне.
Существует несколько способов построения подобных матриц планирования. В частности можно воспользоваться приемом, характерным для записи последовательности двоичных чисел. В столбце последней переменной X3 знаки меняются поочередно, в столбце предпоследней переменной X2 - чередуются через два элемента, третьей справа переменной X1 - через четыре элемента. Аналогично строится матрица для любого количества переменных, порядок перечисления переменных не играет роли. Столбцы с произведениями переменных вычисляются путем умножения значений элементов в соответствующих столбцах простых переменных.
Из анализа матрицы планирования легко видеть, что полный факторный эксперимент обладает свойствами:
Ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных
Симметричности. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого, равна нулю, например
Нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для I-й переменной
Первые два свойства обеспечивают независимость оценок коэффициентов модели и допустимость их физической интерпретации. Нарушение этих свойств приводит к взаимной зависимости оценок и невозможности придания смысла коэффициентам.
Включение в матрицу планирования переменных вида XI2 приведет к появлению единичных столбцов, совпадающих друг с другом и со столбцом X0. Следовательно, нельзя будет определить, за счет чего получено значение X0. Поэтому планы ПФЭ 2N не применимы для построения функции отклика в виде полного полинома второй степени.
Похожие статьи
-
Полный факторный эксперимент - Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа
В факторных экспериментах, в отличие от классических, происходит одновременное варьирование всеми независимыми переменными. Эксперимент, в результате...
-
Дробный факторный эксперимент - Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа
В полном факторном эксперименте число опытов соответствует N= 2N. Поэтому при большом числе факторов n реализация ПФЭ становится практически невозможной....
-
Основные понятия и определения планирования и организации эксперимента Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения...
-
1. Ознакомиться с методами регрессионного анализа и планирования эксперимента; 2. Определить коэффициенты статистической характеристики объекта...
-
Постановка задачи оптимизации - Теория планирования эксперимента
Поиск оптимальных значений параметров является одной из важных задач, решаемых при создании новых технических систем, управлении производством или...
-
Составляется матрица численных значений базисных функций, соответствующая расширенной матрице спектра плана Вычисляется информационная матрица...
-
Введение - Теория планирования эксперимента
Экспериментальные исследования являются основным источником получения достоверных сведений об объектах реального мира. Такие исследования проводятся с...
-
Задание 4 Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости У=а 0 +а 1 *х 1 +а 2 *х 2 +а 12 *х 1 *х 2 ,и проверить регрессионную зависимость на...
-
Для того чтобы можно было составить план проведения численных экспериментов, необходимо определиться с выходными параметрами объекта, которые можно...
-
После проведения регрессионного анализа получается модель объекта исследований в виде некоторой функции. В простейшем случае линейной регрессии она имеет...
-
Математическим ожиданием случайной величины х (М[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности...
-
События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)*Р(В). Пусть например бросаются две монеты; А-выпадение "герба" при первом бросании, В-выпадение...
-
Задание. Рассматривается вычислительная система состоящая из n вычислительных машин. Имеется n задач. Задана матрица T определяющая время решения i-й...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
Основная теория сезонности временного ряда - Методы изучения сезонных колебаний. Примеры расчетов
Основными составляющими временного ряда являются тренд и сезонная компонента. Составляющие этих рядов могут представлять собой либо тренд, либо сезонную...
-
ДОПУЩЕНИЯ МОДЕЛИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА, ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ - Многомерный статистический анализ
Регрессионная модель при оценке параметров и проверке значимости исходит из ряда допущений: 1. Ошибочный член уравнения регрессии (остаточный компонент)...
-
Опыт индикативного планирования во Франции - Формализованные методы прогнозирования
Позитивные сдвиги в развитии экономики Франции во многом являются результатом применения на практике стратегического планирования. Французская система...
-
Как известно, человечество в своем стремительном развитии старается все более расширить сферы своей деятельности, сталкиваясь при этом с множеством новых...
-
Чтобы убедиться в адекватности применяемых моделей СМО, воспользуемся статистическим критерием, который служит для проверки однородности двух независимых...
-
Исследование проблем экономической динамики Н. Д. Кондратьевым - Основы экономической теории
Николай Дмитриевич Кондратьев (1892-1938) был универсальным исследователем. Проживая в стране, где подавляющее большинство населения составляли...
-
Комментарии к третьему разделу курсовой работы В третьем разделе курсовой работы студенту предлагается определить оптимальную стратегию заказа в условиях...
-
Теория игр - Математическое моделирование экономических процессов
Одна из задач теории оптимальных решений - принятие решения в условиях неопределенности. Для обоснования решений разработаны специальные математические...
-
Теория оптимального программирования - Оптимальное программирование
Оптимальное программирование [optimal programming] -- применение в экономике методов математического программирования. Часто эти термины определяют как...
-
Вычислительный эксперимент - Компьютерное моделирование химико-технологических процессов
Увеличив в сотни миллионов раз скорость выполнения арифметических и логических операций и повысив тем самым производительность интеллектуального труда...
-
Последовательность организации эксперимента - Основы научных исследований
Для всех видов физических экспериментов последовательность их организации стандартизована и состоит из следующих этапов: 1. Аналитический (литературный)...
-
Создание теории химического строения - Русский ученый А. М. Бутлеров
Первое публичное выступление А. М. Бутлерова по теоретическим вопросам органической химии относится к концу 50-х годов: его доклад на заседании...
-
Рассмотрим конечные матричные игры, в которых нет седловой точки, т. е. . Нетрудно доказать, что. Если игра одноходовая, то по принципу минимакса игроку...
-
Задача регрессии. Метод наименьших квадратов Ищу функцию регрессии в виде (1*). Оценки коэффициентов нахожу с помощью Метода Наименьших Квадратов (МКВ),...
-
Как и каждый достаточно ярко выраженный класс экономико-математических моделей, совокупность моделей календарного планирования обладает рядом...
-
Теория алгоритмов. Основные результаты, Программы как данные - Рекурсивные функции
Вместо предисловия . Сверх-идеей любой научной теории можно считать перевод знания из сферы подсознательного, интуитивногов осознанную, точную и...
-
Теория затрат - Линейное программирование в экономике
Затраты - это сумма средств (материальных, трудовых, финансовых), использованных в процессе производства. Часто понятие затрат заменяют понятием...
-
Моделирование системы в условиях неопределенности - Основы теории систем и системного анализа
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета "состояний природы" -- воздействий...
-
Задача линейного программирования - Основы экономико-математического моделирования
Предприятие планирует выпуск продукции I и II видов, на производство которых расходуется три вида сырья А , В И С . Потребность A Ij I -го вида сырья для...
-
Пусть требуется разыграть испытания в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью 1-р [4]. Заменим...
-
Модели теории игр. Основные определения и термины В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто...
-
Предварительное сокращение размерности, Факторный анализ - Кластерный анализ
Рассмотрим пример. Есть база данных клиентов фирмы, которых следует разбить на однородные группы. Каждый клиент описывается при помощи 25 переменных....
-
Ценностная окраска ситуационных образов, возникающих в сознании членов человеческого сообщества, является основным движущим стимулом, формирующим их...
-
Зарядовые процессы (в том числе в гетероструктурах) как разновидность физического процесса, согласно [32], являются движущейся материей и характеризуются...
-
Сущность балансового метода. Виды балансов Прежде чем приступить к рассмотрению балансового метода планирования целесообразно дать определение таким...
-
Общая характеристика планирования - Планирование деятельности предприятия в условиях рынка
Планирование - это определение целей и задач предприятия на определенную перспективу, анализ способов их реализации и ресурсного обеспечения. Основные...
Полный факторный эксперимент типа 2n - Теория планирования эксперимента