Теория игр - Математическое моделирование экономических процессов

Одна из задач теории оптимальных решений - принятие решения в условиях неопределенности. Для обоснования решений разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр. Теория игр принадлежит к наиболее молодым математическим дисциплинам. Ее возникновение относится к 1944 г., когда вышла в свет монография Неймана и Моргенштерна "Теория игр и экономического поведения". В дальнейшем теория игр превратилась самостоятельное математическое направление, имеющее практическое приложение.

Теория игр - это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации, в свою очередь, привела к возникновению теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников конфликта.

Чтобы исключить трудности, возникающие при анализе практических конфликтных ситуаций в результате наличия многих несущественных факторов, строится упрощенная модель ситуации. Такая модель называется игрой. Конфликтная ситуация в игровой моде развивается по определенным правилам. Естественной базой для анализа конфликтных ситуаций служат широко распространенные игры - шахматы, шашки, карточные игры. Поэтому теории игр свойственна следующая терминология: "игроки" (стороны, участвующие в конфликте), "выигрыш" (исход конфликта) и т. д.

Неопределенность результата игры вызывается различными причинами, которые можно разбить на три группы:

    1. Особенности правил игры вызывают такое разнообразие в ее развитии, что предсказать результат игры заранее невозможно. Источники неопределенности такого вида называются комбинаторными, а соответствующие игры - также комбинаторными. 2. Другим источником неопределенности является влияние случайных факторов. Игры, в которых исход оказывается неопределенным исключительно в результате случайных причин, называются азартными (игры в кости, игра, состоящая в отгадывании, какой стороной выпадет монета; рулетка). 3. Третий источник неопределенности состоит в отсутствии информации о действиях противника, о его стратегии. Игры такого рода называются стратегическими.

Рассмотрим эти игры более подробно. В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников. В первом случае игра называется парной, во втором - множественной. Так как наибольшее практическое значение имеют парные игры, то рассмотрим только их. Участников игры обозначим через А и В. При этом под игрой условимся понимать некоторую последовательность действий (ходов) игроков А и В, которая осуществляется в соответствии с четко сформулированными правилами.

Правила определяют возможные варианты действий игроков, объем информации каждой стороны о действиях другой, результат игры, к которому приводит соответствующая последовательность ходов. В большинстве игр предполагается, что интересу участников поддаются количественному описанию, т. е. результат игры (выигрыш) определяется некоторым числом. Ходом в теории игр называется выбор одного из предположенных правилами игры действий и его осуществление.

Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации. Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Тогда совокупность этих решений составляет его стратегию. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т. е. определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средней выигрыш.

Простейший вид стратегической игры - игра двух лиц с нулевой суммой (сумма выигрышей сторон равна нулю). Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий AI (i = 1, 2,.... m), а игрок В выбирает стратегию ВJ (j = 1, 2,..., n), причем каждый выбор производится при полном незнании выбору другого игрока.

Цель игрока А - максимизировать функцию ц (AI, BJ), в свою очередь, цель игрока В-минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий Ai, то это само по себе не может влиять да значение функции ц (AI, BJ).

Влияние Ai, на величину значения ц (AI, BJ) является неопределенным; определенность имеет место только после выбора, исходя из принципа минимизации ц (AI, BJ), другим игроком переменной BJ. При этом BJ определяется другим игроком. Пусть ц (AI, BJ)= aIj. Составим матрицу А:

Строки матрицы соответствуют стратегиям AI, столбцы - стратегиям BJ. Матрица А называется платежной или матрицей игры. Элемент aIj матрицы - выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию AI, а игрок В выбрал стратегию BJ.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию AI; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный min aIj. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш a:

А = max min aij

I j

Величина а - гарантированный выигрыш игрока А - называется нижней ценой игры. Стратегия АI0, обеспечивающая получение а, называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии ВJ его проигрыш не превысит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т. е. меньше или равен max aIj

Рассматривая множество max aIj для различных значений j, игрок В, естественно выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш в минимизируется:

В = min miax aIj

I j

Величина в называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу в стратегия Вj0 - минимаксной.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Если же эти выражения равны, т. е.

Max min aij = min max aij = u

I j j i

То выигрыш игрока А - вполне определенное число, игра называется вполне определенной, а выигрыш называется значением игры и равен элементу матрицы аi0j0. Элемент аi0j0 в матрице такой игры является одновременно минимальным в строке i0, максимальным в столбце j0 и называется Седловой точкой. Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков, их совокупность - это решение игры, которое обладает следующем свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого отклонение от его оптимальной стратегии не может быть выгодно.

Похожие статьи




Теория игр - Математическое моделирование экономических процессов

Предыдущая | Следующая