Теория игр - Математическое моделирование экономических процессов
Одна из задач теории оптимальных решений - принятие решения в условиях неопределенности. Для обоснования решений разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр. Теория игр принадлежит к наиболее молодым математическим дисциплинам. Ее возникновение относится к 1944 г., когда вышла в свет монография Неймана и Моргенштерна "Теория игр и экономического поведения". В дальнейшем теория игр превратилась самостоятельное математическое направление, имеющее практическое приложение.
Теория игр - это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации, в свою очередь, привела к возникновению теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников конфликта.
Чтобы исключить трудности, возникающие при анализе практических конфликтных ситуаций в результате наличия многих несущественных факторов, строится упрощенная модель ситуации. Такая модель называется игрой. Конфликтная ситуация в игровой моде развивается по определенным правилам. Естественной базой для анализа конфликтных ситуаций служат широко распространенные игры - шахматы, шашки, карточные игры. Поэтому теории игр свойственна следующая терминология: "игроки" (стороны, участвующие в конфликте), "выигрыш" (исход конфликта) и т. д.
Неопределенность результата игры вызывается различными причинами, которые можно разбить на три группы:
- 1. Особенности правил игры вызывают такое разнообразие в ее развитии, что предсказать результат игры заранее невозможно. Источники неопределенности такого вида называются комбинаторными, а соответствующие игры - также комбинаторными. 2. Другим источником неопределенности является влияние случайных факторов. Игры, в которых исход оказывается неопределенным исключительно в результате случайных причин, называются азартными (игры в кости, игра, состоящая в отгадывании, какой стороной выпадет монета; рулетка). 3. Третий источник неопределенности состоит в отсутствии информации о действиях противника, о его стратегии. Игры такого рода называются стратегическими.
Рассмотрим эти игры более подробно. В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников. В первом случае игра называется парной, во втором - множественной. Так как наибольшее практическое значение имеют парные игры, то рассмотрим только их. Участников игры обозначим через А и В. При этом под игрой условимся понимать некоторую последовательность действий (ходов) игроков А и В, которая осуществляется в соответствии с четко сформулированными правилами.
Правила определяют возможные варианты действий игроков, объем информации каждой стороны о действиях другой, результат игры, к которому приводит соответствующая последовательность ходов. В большинстве игр предполагается, что интересу участников поддаются количественному описанию, т. е. результат игры (выигрыш) определяется некоторым числом. Ходом в теории игр называется выбор одного из предположенных правилами игры действий и его осуществление.
Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации. Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Тогда совокупность этих решений составляет его стратегию. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т. е. определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средней выигрыш.
Простейший вид стратегической игры - игра двух лиц с нулевой суммой (сумма выигрышей сторон равна нулю). Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий AI (i = 1, 2,.... m), а игрок В выбирает стратегию ВJ (j = 1, 2,..., n), причем каждый выбор производится при полном незнании выбору другого игрока.
Цель игрока А - максимизировать функцию ц (AI, BJ), в свою очередь, цель игрока В-минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий Ai, то это само по себе не может влиять да значение функции ц (AI, BJ).
Влияние Ai, на величину значения ц (AI, BJ) является неопределенным; определенность имеет место только после выбора, исходя из принципа минимизации ц (AI, BJ), другим игроком переменной BJ. При этом BJ определяется другим игроком. Пусть ц (AI, BJ)= aIj. Составим матрицу А:
Строки матрицы соответствуют стратегиям AI, столбцы - стратегиям BJ. Матрица А называется платежной или матрицей игры. Элемент aIj матрицы - выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию AI, а игрок В выбрал стратегию BJ.
Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию AI; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный min aIj. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш a:
А = max min aij
I j
Величина а - гарантированный выигрыш игрока А - называется нижней ценой игры. Стратегия АI0, обеспечивающая получение а, называется максиминной.
Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии ВJ его проигрыш не превысит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т. е. меньше или равен max aIj
Рассматривая множество max aIj для различных значений j, игрок В, естественно выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш в минимизируется:
В = min miax aIj
I j
Величина в называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу в стратегия Вj0 - минимаксной.
Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Если же эти выражения равны, т. е.
Max min aij = min max aij = u
I j j i
То выигрыш игрока А - вполне определенное число, игра называется вполне определенной, а выигрыш называется значением игры и равен элементу матрицы аi0j0. Элемент аi0j0 в матрице такой игры является одновременно минимальным в строке i0, максимальным в столбце j0 и называется Седловой точкой. Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков, их совокупность - это решение игры, которое обладает следующем свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого отклонение от его оптимальной стратегии не может быть выгодно.
Похожие статьи
-
Пусть у игроков А и В соответственно M и N чистых стратегий, которые обозначим через и. Выбор игроками любой пары стратегий и однозначно определяет исход...
-
Рассмотрим конечные матричные игры, в которых нет седловой точки, т. е. . Нетрудно доказать, что. Если игра одноходовая, то по принципу минимакса игроку...
-
В условиях рыночной экономики возникают ситуации, в которых сталкиваются интересы двух и более сторон. Такие ситуации относятся к конфликтным. Например,...
-
При решении экономических задач часто анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные...
-
Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных...
-
Модели теории игр. Основные определения и термины В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто...
-
Комментарии к третьему разделу курсовой работы В третьем разделе курсовой работы студенту предлагается определить оптимальную стратегию заказа в условиях...
-
Экономико-математические методы представляют собой совокупность математических методов (математического программирования, теории вероятностей, теории...
-
Задание. Рассматривается вычислительная система состоящая из n вычислительных машин. Имеется n задач. Задана матрица T определяющая время решения i-й...
-
Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа,...
-
Балансовые модели - Математическое моделирование экономических процессов
Балансовые модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельного предприятия до...
-
Известно, что проблема замены старого парка машин новыми, устаревших орудий -- современными -- одна из основных проблем индустрии. Оборудование со...
-
Как известно, человечество в своем стремительном развитии старается все более расширить сферы своей деятельности, сталкиваясь при этом с множеством новых...
-
Объем выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция . Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти...
-
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели - Основы теории систем и системного анализа
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость...
-
Ответ: В педагогических исследованиях прикладная направленность математики, понимается как содержательная и методическая связь курса математики с...
-
Пусть { , , ..., } - множество возможных состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться только в одном...
-
Математическое моделирование экономических явлений и процессов с целью оптимизации процессов управления - область научно-практической деятельности,...
-
Задача Джонсона о двух станках Рассмотрим задачу последовательной обработки на двух машинах N различных деталей, если известно время Ai и Bi обработки...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
К числу приближенных методов оптимизации задач календарного планирования относятся: частичный и направленный перебор, метод Монте-Карло,...
-
Календарный производственный программирование однооперационный Все существующие методы решения задач календарного планирования3 по степени достижения...
-
Методы классификации - неотъемлемая часть математических методов исследования, интересная теоретически и важная практически. Обзоры этой научной области...
-
Завод по изготовлению телевизоров, находясь в состоянии 1, может увеличить спрос путем организации рекламы. Это требует добавочных затрат и уменьшает...
-
Конкретные модели процессов управления в социальных и экономических системах исходят из общей методологии, которую и формулируем в настоящей статье....
-
Изучив основные вопросы, связанные с календарным планированием, подведем итог. Задачи календарного планирования отражают процесс распределения во времени...
-
Табличное представление цен действий и состояний задачи имеет естественные ограничения по масштабируемости задачи на большую размерность. В дискретных...
-
1. Универсальность - характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта. 2. Адекватность - способность отражать нужные...
-
После получения матриц спектра плана, проведем 70 опытов в каждой точке. По полученным параметрам построим регрессионную модель второго порядка,...
-
Модели и моделирование. Классификация моделей - Моделирование экономических систем
Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство, объект, который в определенных ситуациях заменял другой объект. Например, манекен в...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
Моделирование поведения: от стохастического к нечеткому автомату Крылова
Моделирование поведения: от стохастического к нечеткому автомату Крылова Данная работа посвящена разработке новых автоматных моделей. Их прообразом...
-
Рассмотрим две проблемы сравнительной оценки эффективности различных подходов к оптимизации управления экономическими системами. Сравнение по...
-
Понятие календарного планирования В условиях оживления и развития отечественной промышленности существенно возрастает интерес к проблемам организации...
-
Как и каждый достаточно ярко выраженный класс экономико-математических моделей, совокупность моделей календарного планирования обладает рядом...
-
Математическое моделирование процесса запаздывания нарастания мощности автономного источника энергии от мощности потребителя Сегодня существует...
-
Экономико-математическое моделирование транспортных процессов
В первом разделе курсовой работы необходимо максимизировать прибыль некоторого предприятия, для чего требуется сформулировать и решить общую задачу...
-
Математическим ожиданием случайной величины х (М[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности...
-
Программное управление Относительно просто может быть сформулирована так называемая задача программного управления. В ней предполагается, что управляющие...
-
Заключение - Шулеры, или Математическое исследование одной карточной игры
В результате нашего исследования полностью изучена игра ( N, k ) для одного игрока: получены условия простоты игры (теорема 1), полностью рассмотрены...
Теория игр - Математическое моделирование экономических процессов