Прості числа Мерсенна, досконалі числа - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна
Серед простих чисел особливу роль відіграють прості числа Мерсенна - числа виду 1) МР = 2Р -1, де р - просте число. Вони називаються простими числами Мерсенна за іменем французького ченця Марена Мерсенна (1588-1648), одного із засновників Паризької академії наук, друга Декарта і Ферма. Так як М2 = 3, М3 = 7, М5 = 31, М7 = 127, то це - прості числа Мерсенна. Однак, число 2) М11 = 2047 = 23Ч89 простим не є. До 1750 року було знайдено всього 8 простих чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. Те, що М31 - просте число, довів в 1750 році Л. Ейлер. У 1876 році французький математик Едуард Люк встановив, що число
3) М127 = 170141183460469231731687303715884105727 - просте.
У 1883 р. сільський священик Пермської губернії І. М. Первушин без всяких обчислювальних приладів довів, що число М61 = 2305843009213693951 є простим. Пізніше було встановлено, що числа М89 і М107 - прості. Використання ЕОМ дозволило в 1952-1964 роках довести, що числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 - прості. До теперішнього часу відомо вже більше 30 простих чисел Мерсенна, одне з яких М216091 має 65050 цифр. Послідовність чисел Мерсенна починається так: 1, 3, 7, 15 , 31, 63, 127, 255, 511, 1023 , ...
Іноді числами Мерсенна називають числа MP з простими індексами p. Ця послідовність починається так: 3, 7, 31 , 127, 2047 , 8191 , 131 071 , 524 287 , 8388607 , ...
Великий інтерес до простих чисел Мерсенна викликаний їх тісним зв'язком з досконалими числами.
Натуральне число Р називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх дільників крім Р.
Евклід довів, що якщо р і 2Р-1 - прості числа, то число 4) РР = 2Р-1(2Р-1) = 2Р-1МР є досконалим. Дійсно, дільниками такого числа, включаючи саме це число, є 1,2, ... , 2Р-1, МР, 2МР, ... , 2Р-1МР.
Їх сума SP = (1+2+ ... +2Р-1)(МР+1) = (2Р-1) . 2Р = 2 . 2Р-1 МР. Віднімаючи з S саме число РР, переконуємося, що сума всіх дільників числа РР дорівнює цьому числу, отже РР - досконале число.
Числа Р2 = 6 і Р3 = 28 були відомі ще піфагорійцям. Числа Р5 = 496 і Р7 = 8128 знайшов Евклід. Використовуючи інші прості числа Мерсенна і формулу, знаходимо такі досконалі числа: Р13 = 33550336, Р17 = 8589869056, Р19 = 137438691328, Р31 = 2305843008139952128.
Для всіх інших чисел Мерсенна числа РР мають дуже багато цифр.
Досі залишається загадкою, як Мерсенн зміг висловити правильне твердження, що числа Р17, Р19, Р31 Є досконалими. Пізніше було виявлено, що майже за сто років до Мерсенна числа Р17, Р19 Знайшов італійський математик Катальді - професор університетів Флоренції і Болоньї. Вважалося, що божественне провидіння передбачило своїм обранцям правильні значення цих скоєних чисел. Якщо врахувати, що ще піфагорійці вважали першим досконале число 6 символом душі, що друге досконале число 28 відповідало числу членів багатьох вчених товариств, що навіть у ХІІ ст. церква вчила: для спасіння душі досить вивчати досконалі числа і тому, хто знайде нове божественне досконале число, уготовано вічне блаженство, то стає зрозумілим винятковий інтерес до цих чисел.
Однак і з математичної точки зору парні досконалі числа по-своєму унікальні. Всі вони - трикутні.
Сума величин, зворотних всім дільникам числа, включаючи саме число, завжди дорівнює двом. Залишок від ділення досконалого числа, крім 6, на 9 дорівнює 1. У двійковій системі досконале число РР починається р одиницями, потім слідують р-1 нулів, наприклад: 7) Р2 = 110, Р3 = 11100, Р5 = 111110000, Р7 = 1111111000000 і т. д.
Остання цифра парного досконалого числа або 6, або 8, причому, якщо 8, то їй передує 2.
Леонард Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають вигляд 2Р-1 . МР, де МР - просте число Мерсенна. Проте до цих пір не знайдено жодного непарного досконалого числа. Висловлено припущення (Брайен Такхерман, США), що якщо таке число існує, то воно повинно мати не менше 36 знаків.
Похожие статьи
-
Роль простих чисел у математиці Кожне натуральне число, більше одиниці, ділиться принаймні на два числа: на 1 і на саме себе. Якщо ні на яке інше ціле...
-
Вступ - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна
Виникнення чисел у житті не випадковість. Важко уявити собі спілкування без використання чисел. Історія чисел захоплююча й загадкова. Людство встановило...
-
10 2 4 8 16 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 10 2 2 2 3 11 3 3 3 4 100 10 4 4 5 101 11 5 5 6 110 12 6 6 7 111 13 7 7 8 1000 20 10 8 9 1001 21 11 9 10 1010 22 12 A...
-
Среднее число исполнителей Чu, участвующих в разработке рассчитывается по формуле: Чu= , (10) Где Fд - полезный (действительный фонд времени одного...
-
ТИПЫ ДАННЫХ, ПРОСТЫЕ ТИПЫ - Типы данных в программе Турбо Паскаль
Любые данные, т. е. константы, переменные, значения функций или выражения, в Турбо Паскале характеризуются своими типами. Тип определяет множество...
-
Первый способ нахождения обесцененной лексики в текстах является самым простым. Данный способ - это простой поиск по совпадению, то есть мы берем слово...
-
Пусть в сборку входит n монтажников, Тогда - множество монтажников, участвующих в одном этапе - рабочие, участвующие в выполнении одной операций -...
-
В предприятие поступило за год заявок от физических лиц за 2015 год. В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Функционирование...
-
Собственные числа и собственные векторы матрицы Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые будут...
-
ДД-код Константа16 ДД-код Константа16 1111 1111 FF 0000 0000 00 0011 0101 35 1111 0100 F4 0101 0111 57 1001 1010 9A 1000 1101 8D 0000 0111 07 1000 0000...
-
Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП "Проектный...
-
Создать_вектор В1 Создать_вектор В2 Вычислить_оценку О1 Сохранить_вктор В1 Установить_параметры В1 Случайный_вектор В2 Модификация_вектора В2, 0, 1...
-
Спочатку ведеться пошук клітини з найменшою вартістю по стовпцю починаючи з першого. Потім змінній в цій клітині присвоюється найбільше значення, що...
-
Кодирование по методу Хэмминга - Кодирование информации
Код Хэмминга - систематический код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, расположенных по строго определенной системе, имеющих...
-
Для оценки возможности выполнения проекта имеющимся в распоряжении разработчика штатным составом исполнителей, нужно рассчитать их среднее количество,...
-
Вариант №1 1. Выбрать и обосновать наиболее эффективный метод решения задачи. 2. Разработать алгоритм и программу для решения задачи в общем виде. 3....
-
Кодирование по методу четности / нечетности - Кодирование информации
Для контроля правильности передачи информации, а также как средство шифрования информации используются различные коды. Коды, использующие для передачи...
-
Использование программы StudyProgram для усвоения учебного материала по кодированию информации методом четности и методом Хэмминга Программа StudyProgram...
-
Формирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения
Лабораторная работа Тема: Формирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения Цель: освоение методов генерации...
-
Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП "Проектный...
-
Таким образом, от общей проблемы математического анализа изображений мы перешли к проблеме проверки на плагиат графической информации. Для этого нами...
-
Блок - схема алгоритму, Опис алгоритму - Розробка гри в С# "Корови та бики"
Рисунок 2.1 - Блок - схема алгоритму роботи програми Рисунок 2.1 (продовження) Опис алгоритму 3.1. Робота програми розпочинається з виділення пам'яті під...
-
Машинная арифметика с плавающей точкой - Представление и хранение информациии в ЭВМ
Число с плавающей точкой: X=±Mx-S±px Здесь: M - мантисса; S - порядок. 0.314 101 0.0314 102 Машинные числа. Машинными называются числа, допускающие...
-
Стандарт ЕЦП DSS/DSА - Розробка електронного цифрового підпису
У 1991 р NIST (National Institute of Standards and Technology) запропонував для обговорення проект стандарту ЕЦП DSS (Digital Signature Standard),...
-
Формирование области многокритериального выбора вариантов Стоит задача о выборе марки автомобиля с их известными особенностями и характеристиками....
-
Принцип метода линейного предсказания - Вокодеры с линейным предсказанием
Вокодер информация кодирование синтезатор В вокодерах с линейным предсказанием при анализе речевого сигнала в передающем устройстве определяются...
-
Технические требования Техническое задание данной работы требует разработать программу для визуального редактирования HTML-кода. Программа должна быть...
-
Прямое использование предсказания позволяет воспроизводить звук, но с плохим качеством. Поэтому этот метод имеет много различных разновидностей,...
-
Шестой метод - построение суффиксных деревьев. Среди большого количества методов анализа текста метод аннотированного суффиксного дерева выделяется тем,...
-
Если полистать подшивки журналов конца 1990-х - начала 2000-х годов, можно обнаружить, что статей, описывающих борьбу со спамом, в них нет. Пик...
-
Создание простого отчета - Информационные технологии в юридической деятельности
В Access можно создавать самые разные отчеты -- от простых до сложных. Но независимо от того, какой отчет создается, действуют определенные правила....
-
Обоснование выбранного метода При дизайне системы согласно требованиям или при оптимизации существующей необходимо ввести модель, позволяющую не только...
-
Поскольку в проекте ИИС "Шлаковые расплавы" используется реляционная модель в ходе проведения исследования были выделены и рассмотрены следующие РСУБД:...
-
При запуске программы с входными параметрами {"-makexls" "filename. xls" "температурная_точка" "отклонение" "элемент"} происходит извлечение результатов...
-
Для администратора проекта ИИС "MD_SLAGMELT" разработано средство логирования. После завершения выполнения программы, в случае возникновения...
-
Метод конечных элементов (МКЭ) жесткости возник в аэрокосмической отрасли. Исследователи рассматривали различные подходы к анализу сложных частей...
-
Задание 1 Разработать программу, которая на отрезке [-1,1] по формуле функции f(x) строит интерполяционную таблицу размерности n +1 с неравномерным шагом...
-
Считывание сложноструктурированных данных При разработке программного обеспечения был выбрано построковое считывание данных, ввиду использования...
-
Рисунок 10. Архитектура программы В структуре программы обработки сложноструктурированных данных для научного эксперимента в ИИС "Шлаковые расплавы"...
-
Функциональные требования: - Поиск и обработка информации в текстовых файлах при появлении файлов в соответствующей директории по запросу администратора...
Прості числа Мерсенна, досконалі числа - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна