Прості числа Мерсенна, досконалі числа - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна

Серед простих чисел особливу роль відіграють прості числа Мерсенна - числа виду 1) МР = 2Р -1, де р - просте число. Вони називаються простими числами Мерсенна за іменем французького ченця Марена Мерсенна (1588-1648), одного із засновників Паризької академії наук, друга Декарта і Ферма. Так як М2 = 3, М3 = 7, М5 = 31, М7 = 127, то це - прості числа Мерсенна. Однак, число 2) М11 = 2047 = 23Ч89 простим не є. До 1750 року було знайдено всього 8 простих чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. Те, що М31 - просте число, довів в 1750 році Л. Ейлер. У 1876 році французький математик Едуард Люк встановив, що число

3) М127 = 170141183460469231731687303715884105727 - просте.

У 1883 р. сільський священик Пермської губернії І. М. Первушин без всяких обчислювальних приладів довів, що число М61 = 2305843009213693951 є простим. Пізніше було встановлено, що числа М89 і М107 - прості. Використання ЕОМ дозволило в 1952-1964 роках довести, що числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 - прості. До теперішнього часу відомо вже більше 30 простих чисел Мерсенна, одне з яких М216091 має 65050 цифр. Послідовність чисел Мерсенна починається так: 1, 3, 7, 15 , 31, 63, 127, 255, 511, 1023 , ...

Іноді числами Мерсенна називають числа MP з простими індексами p. Ця послідовність починається так: 3, 7, 31 , 127, 2047 , 8191 , 131 071 , 524 287 , 8388607 , ...

Великий інтерес до простих чисел Мерсенна викликаний їх тісним зв'язком з досконалими числами.

Натуральне число Р називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх дільників крім Р.

Евклід довів, що якщо р і 2Р-1 - прості числа, то число 4) РР = 2Р-1(2Р-1) = 2Р-1МР є досконалим. Дійсно, дільниками такого числа, включаючи саме це число, є 1,2, ... , 2Р-1, МР, 2МР, ... , 2Р-1МР.

Їх сума SP = (1+2+ ... +2Р-1)(МР+1) = (2Р-1) . 2Р = 2 . 2Р-1 МР. Віднімаючи з S саме число РР, переконуємося, що сума всіх дільників числа РР дорівнює цьому числу, отже РР - досконале число.

Числа Р2 = 6 і Р3 = 28 були відомі ще піфагорійцям. Числа Р5 = 496 і Р7 = 8128 знайшов Евклід. Використовуючи інші прості числа Мерсенна і формулу, знаходимо такі досконалі числа: Р13 = 33550336, Р17 = 8589869056, Р19 = 137438691328, Р31 = 2305843008139952128.

Для всіх інших чисел Мерсенна числа РР мають дуже багато цифр.

Досі залишається загадкою, як Мерсенн зміг висловити правильне твердження, що числа Р17, Р19, Р31 Є досконалими. Пізніше було виявлено, що майже за сто років до Мерсенна числа Р17, Р19 Знайшов італійський математик Катальді - професор університетів Флоренції і Болоньї. Вважалося, що божественне провидіння передбачило своїм обранцям правильні значення цих скоєних чисел. Якщо врахувати, що ще піфагорійці вважали першим досконале число 6 символом душі, що друге досконале число 28 відповідало числу членів багатьох вчених товариств, що навіть у ХІІ ст. церква вчила: для спасіння душі досить вивчати досконалі числа і тому, хто знайде нове божественне досконале число, уготовано вічне блаженство, то стає зрозумілим винятковий інтерес до цих чисел.

Однак і з математичної точки зору парні досконалі числа по-своєму унікальні. Всі вони - трикутні.

Сума величин, зворотних всім дільникам числа, включаючи саме число, завжди дорівнює двом. Залишок від ділення досконалого числа, крім 6, на 9 дорівнює 1. У двійковій системі досконале число РР починається р одиницями, потім слідують р-1 нулів, наприклад: 7) Р2 = 110, Р3 = 11100, Р5 = 111110000, Р7 = 1111111000000 і т. д.

Остання цифра парного досконалого числа або 6, або 8, причому, якщо 8, то їй передує 2.

Леонард Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають вигляд 2Р-1 . МР, де МР - просте число Мерсенна. Проте до цих пір не знайдено жодного непарного досконалого числа. Висловлено припущення (Брайен Такхерман, США), що якщо таке число існує, то воно повинно мати не менше 36 знаків.

Похожие статьи




Прості числа Мерсенна, досконалі числа - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна

Предыдущая | Следующая