Теорія простих чисел, Роль простих чисел у математиці - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна

Роль простих чисел у математиці

Кожне натуральне число, більше одиниці, ділиться принаймні на два числа: на 1 і на саме себе. Якщо ні на яке інше ціле натуральне число воно не ділиться, то називається простим, а якщо у нього є ще якісь цілі дільники, то складеним. Не про всяке число можна одразу сказати, просте воно чи складене. Візьмемо, наприклад, число 1999. Якщо немає під рукою спеціальних довідкових таблиць або помічника - комп'ютера, то доведеться згадати про старе, але надійне решето Ератосфена. Старовинний спосіб, придуманий ще в ІІІ ст. до н. е. Ератосфеном Кіренським, зберігачем знаменитої Олександрійської бібліотеки.

Випишемо кілька чисел поспіль, починаючи з 2. Двійку відберемо в свою колекцію, а інші числа, кратні 2, закреслимо. Найближчим не закресленим числом буде 3. Візьмемо до колекції і його, а всі інші числа, кратні 3, закреслимо. При цьому виявиться, що деякі числа вже були викреслені раніше, як, наприклад, 6, 12 та інші. Наступне найменше не закреслено число - це 5. Беремо п'ятірку, а інші числа, кратні 5, перекреслюємо. Повторюючи цю процедуру знову і знову, ми врешті-решт досягнемо того, що не закресленими залишаться одні лише прості числа - вони немов просіяні крізь решето. Тому такий спосіб і отримав назву решето Ератосфена.

Однак спосіб Ератосфена не зміг задовольнити вчених, і вони намагалися знайти формулу простих чисел. Протягом багатьох століть це зробити не вдавалося. У ряду простих чисел було знайдено багато цікаві закономірності, але поставлена задача залишалася без відповіді.

Припустимо, що існує якесь найбільше просте число P. Тоді перемножимо всі прості числа, починаючи з 2 і закінчуючи P, і збільшимо отримане число на одиницю: 2 3 5 7 ... P + 1 = M. Якщо число М складене, то вона повинна мати принаймні один простий дільник. Але цим дільником не може бути ні одне з простих чисел 2, 3, 5, ..., Р, оскільки при розподілі М на кожне з них отримуємо в залишку 1. Отже, число М або просте, або ділиться на просте число, більше Р. Значить, припущення, що існує найбільше просте число Р, напевно й безліч простих чисел, нескінченне.

Першу відому нам таблицю простих чисел склав італійський математик П'єтро Антоніо Катальді в 1603 р. Вона захоплювала всі прості числа від 2 до 743.

У 1770 р. німецький математик Йоганн Генріх Ламберт опублікував таблицю найменших дільників всіх чисел, не переважаючих 102000, які не діляться на 2, 3, 5. Вклавши в цю працю воістину колосальні зусилля, Ламберт гарантував безсмертя тому, хто доведе таблицю дільників до мільйона. На його заклик відгукнулися багато обчислювачів.

До середини ХІХ століття вже були складені таблиці найменших дільників не тільки першого мільйона, а й наступних дев'яти. В цей же час в пресі з'явилися повідомлення, що подавалися абсолютно фантастичними: у Віденську академію надійшло 7 великих томів рукописних таблиць "Великий канон дільників всіх чисел, які не діляться на 2, 3 і 5, і простих чисел між ними до 100 330 201". Автором цієї праці був Якоб Філіп Кулик, професор вищої математики Празького університету.

У подальшому пошуку простих чисел вже не носили характеру масового полювання, з якою можна порівняти складання таблиць, а перетворилися на цілеспрямований відбір окремих представників. У мисливців за числами найбільш популярними є прості числа Мерсена. Вони названі на честь французького вченого Марена Мерсенна, що зіграв у XVIII ст. значну роль у становленні європейської науки.

Деякі уявлення про розподіл простих чисел мали вже стародавні греки. З доказів Евкліда випливає, наприклад, що вони не зібрані разом, а розкидані по всій числовій осі. У 1845 р. французький математик Жозеф Бертан, досліджуючи таблицю простих чисел у проміжку від 1 до 6000000, виявив, що між числами n і n2 - 2, де n > 3, міститься принаймні одне просте число. Надалі ця властивість отримала назву постулати Бертрана, хоча самому Бертану обгрунтувати його так і не вдалося. Довів його в 1852 р. російський математик Пафнутій Львович Чебишев. З результату Чебишева випливала і більш точна оцінка. Таким чином, навіть серед дуже великих чисел прості числа не так вже й рідкісні.

З іншого боку, існують проміжки, що включають тисячі, мільйони, мільярди, і взагалі, яку завгодно велику кількість натуральних чисел, серед яких не можна знайти жодного простого. Справді, задавшись довільним великим натуральним числом к, побудуємо ряд чисел к! +2, К! +3, ..., К! + К (тут до! = 1 * 2 * 3 * ... * к). Кожне з цих чисел складене. Наприклад, число к! + М ділиться на м, оскільки до! ділиться на м і саме м ділиться на м.

Прості числа, що діляться тільки на одиницю і на самих себе (2,3,5,7,11,13,17, ...), з давніх часів привертають увагу математиків. Більше двох тисяч років тому великий давньогрецький математик Евклід довів, що ряд простих чисел нескінченний. Прості числа слідують одне за одним по закону, який ще не знайдений. Ці числа то на довго зникають з натурального ряду, то часто в ньому присутні, а іноді й по сусідству: 11,13; 5971847,5971849.

У 1750 р. Леонард Ейлер встановив, що число 2 і№ - 1 є простим. Воно залишалося найбільшим з відомих простих чисел більше ста років. У 1876 р. Французький математик Лукас встановив, що величезна кількість 2127 - 1=170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105727 також просте. Воно містить 39 цифр.

Для його обчислення були механічні настільні рахункові машини. У 1957 р. було знайдено наступне просте число: 23217 - 1. А просте число 244 497 - 1 складається з 13 000 цифр.

Похожие статьи




Теорія простих чисел, Роль простих чисел у математиці - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна

Предыдущая | Следующая