Теорія простих чисел, Роль простих чисел у математиці - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна
Роль простих чисел у математиці
Кожне натуральне число, більше одиниці, ділиться принаймні на два числа: на 1 і на саме себе. Якщо ні на яке інше ціле натуральне число воно не ділиться, то називається простим, а якщо у нього є ще якісь цілі дільники, то складеним. Не про всяке число можна одразу сказати, просте воно чи складене. Візьмемо, наприклад, число 1999. Якщо немає під рукою спеціальних довідкових таблиць або помічника - комп'ютера, то доведеться згадати про старе, але надійне решето Ератосфена. Старовинний спосіб, придуманий ще в ІІІ ст. до н. е. Ератосфеном Кіренським, зберігачем знаменитої Олександрійської бібліотеки.
Випишемо кілька чисел поспіль, починаючи з 2. Двійку відберемо в свою колекцію, а інші числа, кратні 2, закреслимо. Найближчим не закресленим числом буде 3. Візьмемо до колекції і його, а всі інші числа, кратні 3, закреслимо. При цьому виявиться, що деякі числа вже були викреслені раніше, як, наприклад, 6, 12 та інші. Наступне найменше не закреслено число - це 5. Беремо п'ятірку, а інші числа, кратні 5, перекреслюємо. Повторюючи цю процедуру знову і знову, ми врешті-решт досягнемо того, що не закресленими залишаться одні лише прості числа - вони немов просіяні крізь решето. Тому такий спосіб і отримав назву решето Ератосфена.
Однак спосіб Ератосфена не зміг задовольнити вчених, і вони намагалися знайти формулу простих чисел. Протягом багатьох століть це зробити не вдавалося. У ряду простих чисел було знайдено багато цікаві закономірності, але поставлена задача залишалася без відповіді.
Припустимо, що існує якесь найбільше просте число P. Тоді перемножимо всі прості числа, починаючи з 2 і закінчуючи P, і збільшимо отримане число на одиницю: 2 3 5 7 ... P + 1 = M. Якщо число М складене, то вона повинна мати принаймні один простий дільник. Але цим дільником не може бути ні одне з простих чисел 2, 3, 5, ..., Р, оскільки при розподілі М на кожне з них отримуємо в залишку 1. Отже, число М або просте, або ділиться на просте число, більше Р. Значить, припущення, що існує найбільше просте число Р, напевно й безліч простих чисел, нескінченне.
Першу відому нам таблицю простих чисел склав італійський математик П'єтро Антоніо Катальді в 1603 р. Вона захоплювала всі прості числа від 2 до 743.
У 1770 р. німецький математик Йоганн Генріх Ламберт опублікував таблицю найменших дільників всіх чисел, не переважаючих 102000, які не діляться на 2, 3, 5. Вклавши в цю працю воістину колосальні зусилля, Ламберт гарантував безсмертя тому, хто доведе таблицю дільників до мільйона. На його заклик відгукнулися багато обчислювачів.
До середини ХІХ століття вже були складені таблиці найменших дільників не тільки першого мільйона, а й наступних дев'яти. В цей же час в пресі з'явилися повідомлення, що подавалися абсолютно фантастичними: у Віденську академію надійшло 7 великих томів рукописних таблиць "Великий канон дільників всіх чисел, які не діляться на 2, 3 і 5, і простих чисел між ними до 100 330 201". Автором цієї праці був Якоб Філіп Кулик, професор вищої математики Празького університету.
У подальшому пошуку простих чисел вже не носили характеру масового полювання, з якою можна порівняти складання таблиць, а перетворилися на цілеспрямований відбір окремих представників. У мисливців за числами найбільш популярними є прості числа Мерсена. Вони названі на честь французького вченого Марена Мерсенна, що зіграв у XVIII ст. значну роль у становленні європейської науки.
Деякі уявлення про розподіл простих чисел мали вже стародавні греки. З доказів Евкліда випливає, наприклад, що вони не зібрані разом, а розкидані по всій числовій осі. У 1845 р. французький математик Жозеф Бертан, досліджуючи таблицю простих чисел у проміжку від 1 до 6000000, виявив, що між числами n і n2 - 2, де n > 3, міститься принаймні одне просте число. Надалі ця властивість отримала назву постулати Бертрана, хоча самому Бертану обгрунтувати його так і не вдалося. Довів його в 1852 р. російський математик Пафнутій Львович Чебишев. З результату Чебишева випливала і більш точна оцінка. Таким чином, навіть серед дуже великих чисел прості числа не так вже й рідкісні.
З іншого боку, існують проміжки, що включають тисячі, мільйони, мільярди, і взагалі, яку завгодно велику кількість натуральних чисел, серед яких не можна знайти жодного простого. Справді, задавшись довільним великим натуральним числом к, побудуємо ряд чисел к! +2, К! +3, ..., К! + К (тут до! = 1 * 2 * 3 * ... * к). Кожне з цих чисел складене. Наприклад, число к! + М ділиться на м, оскільки до! ділиться на м і саме м ділиться на м.
Прості числа, що діляться тільки на одиницю і на самих себе (2,3,5,7,11,13,17, ...), з давніх часів привертають увагу математиків. Більше двох тисяч років тому великий давньогрецький математик Евклід довів, що ряд простих чисел нескінченний. Прості числа слідують одне за одним по закону, який ще не знайдений. Ці числа то на довго зникають з натурального ряду, то часто в ньому присутні, а іноді й по сусідству: 11,13; 5971847,5971849.
У 1750 р. Леонард Ейлер встановив, що число 2 і№ - 1 є простим. Воно залишалося найбільшим з відомих простих чисел більше ста років. У 1876 р. Французький математик Лукас встановив, що величезна кількість 2127 - 1=170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105727 також просте. Воно містить 39 цифр.
Для його обчислення були механічні настільні рахункові машини. У 1957 р. було знайдено наступне просте число: 23217 - 1. А просте число 244 497 - 1 складається з 13 000 цифр.
Похожие статьи
-
Вступ - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна
Виникнення чисел у житті не випадковість. Важко уявити собі спілкування без використання чисел. Історія чисел захоплююча й загадкова. Людство встановило...
-
10 2 4 8 16 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 10 2 2 2 3 11 3 3 3 4 100 10 4 4 5 101 11 5 5 6 110 12 6 6 7 111 13 7 7 8 1000 20 10 8 9 1001 21 11 9 10 1010 22 12 A...
-
Висновок - Інтернет, як сучасний метод збору первинної інформації
Отже, роблячи висновок даної курсової роботи, можна запевнити про значну необхідність та ефективність використання первинної інформації при маркетингових...
-
Среднее число исполнителей Чu, участвующих в разработке рассчитывается по формуле: Чu= , (10) Где Fд - полезный (действительный фонд времени одного...
-
Панель формул - Розрахунок значень функцій на заданому інтервалі в OpenOffice. org Calc
З лівого боку Панелі формул розташовано невелике текстове поле - Область листа, в якому знаходиться поєднання букви і цифри, наприклад D7. Це літера...
-
Таким образом, от общей проблемы математического анализа изображений мы перешли к проблеме проверки на плагиат графической информации. Для этого нами...
-
Спочатку ведеться пошук клітини з найменшою вартістю по стовпцю починаючи з першого. Потім змінній в цій клітині присвоюється найбільше значення, що...
-
Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП "Проектный...
-
Собственные числа и собственные векторы матрицы Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые будут...
-
ДД-код Константа16 ДД-код Константа16 1111 1111 FF 0000 0000 00 0011 0101 35 1111 0100 F4 0101 0111 57 1001 1010 9A 1000 1101 8D 0000 0111 07 1000 0000...
-
В цьому розділі я описую яку послідовність необхідно витримати при створенні інтерфейсу головного вікна програми для того, щоб створити форму та...
-
Создать_вектор В1 Создать_вектор В2 Вычислить_оценку О1 Сохранить_вктор В1 Установить_параметры В1 Случайный_вектор В2 Модификация_вектора В2, 0, 1...
-
Детальніше про Moodle - Порівняльна характеристика навчальних платформ Moodle та Codecademy
Розглянемо більш детально навчальну платформу. В системі можна крім навчальних курсів, невеличкий неструктуровані сайти. Приклад цього можна побачити на...
-
Завдання 1. "Основні прийоми та способи побудови тривимірних моделей у графічному редакторі Компас 3D LT 5.11" Завдання 1 А) Побудувати модель втулки,...
-
Виходячи з таблиці істинності функції, запишемо стовпчик ДДНФ (К0). 1) Розіб'ємо КІ на групи по наявності аргументів. 2) Розіб'ємо кожну групу по...
-
XHTML - Гнучка система інформаційної підтримки підвищення кваліфікації персоналу ДП №9
HTML, ймовірно, найбільш успішна мова розмітки документів у всьому світі. Проте, коли світові представили XML, було вирішено створити нову версію HTML,...
-
Ідея цього методу полягає у відшуканні ненульових коефіцієнтів при кожній імпліканті. Рівняння для знаходження коефіцієнтів представимо таблицею (таблиця...
-
Вариант №1 1. Выбрать и обосновать наиболее эффективный метод решения задачи. 2. Разработать алгоритм и программу для решения задачи в общем виде. 3....
-
До сих пір ми торкалися лише імпортних продуктів в Internet. А як же складаються справи з нашими? Чесно кажучи, поки що туговато. Напрочуд необмежені...
-
Для оценки возможности выполнения проекта имеющимся в распоряжении разработчика штатным составом исполнителей, нужно рассчитать их среднее количество,...
-
В предприятие поступило за год заявок от физических лиц за 2015 год. В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Функционирование...
-
Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП "Проектный...
-
Кодирование по методу Хэмминга - Кодирование информации
Код Хэмминга - систематический код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, расположенных по строго определенной системе, имеющих...
-
Кодирование по методу четности / нечетности - Кодирование информации
Для контроля правильности передачи информации, а также как средство шифрования информации используются различные коды. Коды, использующие для передачи...
-
Использование программы StudyProgram для усвоения учебного материала по кодированию информации методом четности и методом Хэмминга Программа StudyProgram...
-
Формирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения
Лабораторная работа Тема: Формирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения Цель: освоение методов генерации...
-
Стандарт ЕЦП DSS/DSА - Розробка електронного цифрового підпису
У 1991 р NIST (National Institute of Standards and Technology) запропонував для обговорення проект стандарту ЕЦП DSS (Digital Signature Standard),...
-
ВИСНОВКИ - Розробка електронного цифрового підпису
Схема цифрового підпису Ель Гамаля має ряд переваг у порівнянні зі схемою цифрового підпису RSА: Ѕ при заданому рівні стійкості алгоритму цифрового...
-
Технические требования Техническое задание данной работы требует разработать программу для визуального редактирования HTML-кода. Программа должна быть...
-
Принцип метода линейного предсказания - Вокодеры с линейным предсказанием
Вокодер информация кодирование синтезатор В вокодерах с линейным предсказанием при анализе речевого сигнала в передающем устройстве определяются...
-
Шестой метод - построение суффиксных деревьев. Среди большого количества методов анализа текста метод аннотированного суффиксного дерева выделяется тем,...
-
Первый способ нахождения обесцененной лексики в текстах является самым простым. Данный способ - это простой поиск по совпадению, то есть мы берем слово...
-
Липредеры на основе ковариационного метода - Вокодеры с линейным предсказанием
Одними из видов липредеров с низкой скоростью передачи являются липредеры на основе ковариационного метода. Атал и Ханауэр в работах и впервые...
-
Методы и системы принятия решений
Методы и технологии искусственного интеллекта в управлении. Методы и технологии разработки решений в условиях неопределенности А) Технология управления...
-
Обоснование выбранного метода При дизайне системы согласно требованиям или при оптимизации существующей необходимо ввести модель, позволяющую не только...
-
Поскольку в проекте ИИС "Шлаковые расплавы" используется реляционная модель в ходе проведения исследования были выделены и рассмотрены следующие РСУБД:...
-
Считывание сложноструктурированных данных При разработке программного обеспечения был выбрано построковое считывание данных, ввиду использования...
-
Рисунок 10. Архитектура программы В структуре программы обработки сложноструктурированных данных для научного эксперимента в ИИС "Шлаковые расплавы"...
-
Функциональные требования: - Поиск и обработка информации в текстовых файлах при появлении файлов в соответствующей директории по запросу администратора...
-
Рассмотрим два программных продукта наиболее схожих по функциям и назначению с программным обеспечением "Программа обработки сложноструктурированных...
Теорія простих чисел, Роль простих чисел у математиці - Арифметичний метод побудови великих простих чисел. Числа Мерсенна