Методика дослідження, Процесс побудови математичної моделі за допомогою методу кінцевих різниць - Застосування комп'ютерно-інтегрованих систем в технології лиття

Процесс побудови математичної моделі за допомогою методу кінцевих різниць

У цій методиці дослідження ми опишемо один з найбільш універсальних методів вирішення графічних завдань. Метод кінцевих різниць - це один з найпоширеніших методів рішення. Цей метод часто використовують для задач в основі яких лежить диференціальне рівняння. Сама велика перевага цих методів в тому, що диференціальні рівняння до вирішення систем алгебраїчних рівнянь по відношенню використовуваної функції. У такому випадку це буде вироблено шляхом заміни похідних.

У даній роботі ми маємо лінійне диференціальне рівняння другого порядку, яке розглянемо за допомогою методу кінцевих різниць.

Де P(x),q(x),f(x) - відомі функції;

Таким чином граничні умови в загальному вигляді виражаються:

- задані постійні, причому виконується умова

.

Необхідно виконати наступні дії, щоб вирішити завдання (2.1) (2.2) (2.3) методом кінцевих різниць.

Для побудови сітки на відрізки (a, b) будуеться:

Вивести де - вузли сітки, I=0,1,...,n; точки и - це граничні вузли сітки, всі інші кути називаються внутрішніми. Потрібно замінити область безперервної зміни дискретною безліччю точок. Для вирішення завдання кількості та рішення вузлів сітки вибираємо в залежності від необхідної точності.

Величина I=0,1,...,n-1 називаеться кроеом сітки.

В даному випадку сітка вибирається рівномірно і крок сітки в цьому випадку вибирається як H=(b-a)/n.

Для того, щоб вирішити систему алгебраїчних рівнянь знадобиться замінити диференціальні рівняння (2.1) і граничні умови (2.2) (2.3) різницевими рівняннями:

1. Для цього, в кожному вузлів сітки i, визначимо сіткову функцію, також замінити значення похідної методом кінцевих різниць. Переходимо від безперервного диференціального рівняння, до різницевої задачі щодо сіткової функції ; які в підсумку замінюють граничну задачу (2.1) - (2.3) систем алгебраїчний рівнянь.

2. Необхідно вирішити систему алгебраїчних рівнянь щодо сіткової функції тим самим знайти таблицю значень цієї сіткової функції, що є наближеним рішенням вихідної крайової задачі. Необхідно вирішити систему алгебраїчних рівнянь щодо сіткової функції і тим самим знайти таблицю значень цієї сіткової функції, що є наближеним рішенням вихідної крайової задачі.

Є різні способи побудови кінцево - різницевих систем, але найпростішим з них з них є заміна функції у вузлах сітки.

Розкладань функції u (x) в ряд Тейлора можуть бути отримані такі співвідношення як: права різницева схема і ліва різницева схема з першим порядком апроксимації по h; центрально-різницева схема з другим порядком апроксимації по h.

У i-том вузлі сітки, похідну замінимо формулою другого різницевої похідної, з другим порядком апроксимації по h. (2.7)

Опис формули наведені для рівномірної сітки. Порядок апроксимуючих виразів буде залежати від розподілу вузлів сітки. Можемо припустити, що, для цього виберемо довільний вузол з номером i = 1,2, ..., n-1 і скористаємося співвідношеннями (2.6) і (2.7). Запишемо рівняння (2.1)

Наводимо подібні:

Де,

Для цього ми розповсюдили різницеве рівняння на всі внутрішні вузли сітки, так як вузол сітки вибирався довільно. для апроксимації другого порядку точності вибиралися звичайно-різницеві співвідношення, тобто. Припустимо, що, тобто апроксимуємо функцію правій частині. Для цього зобов'язані записати кінцево-різницеву апроксимацію для граничних умов (2.2) - (2.3).

Зі співвідношень (2.4) - (2.5), отримуємо:

Перетворимо:

Звідси і. Можемо відкинути похибка апроксимації Ri, i = 0,1,2, ..., n при досить малих h і отримаємо кінцево-різницеву схему першогопорядку апроксимації по h.

Розглядаючи диференціальні рівняння (2.1) - (2.3) прийшли до рішення, що це система алгебраїчних рівнянь (2.15) - (2.17). Така система може бути як лінійної, так і нелінійної, залежно від того, яке вихідне диференціальне рівняння.

За нормою вектора судимо про близькості завдання (2.15)-(2.17) до вихідної задачі (2.1) - (2.3). Кажуть, що побудована різницева схема (2.15) - (2.17) апроксимує вихідну крайову задачу (2.1) - (2.3), якщо норма цього вектора || R || ®0 при H®0. Також при цьому виконується умова, тоді різницева задача (2.15) - (2.17) апроксимує вихідну диференціальну задачу (2.1) - (2.3). Маючи похибка першого порядку, граничні умови замінялися співвідношеннями першого порядку апроксимації по h. Досить замінити першу похідні на кінцях відрізка і для підвищення порядку апроксимації. Виходячи з цього, використовуємо наступні формули:

Для того, щоб знайти наближене рішення вихідні завдання (2.1) - (2.3) потрібно вирішити систему (2.15) - (2.17) які надають собою систему алгебраїчних рівнянь.

При використанні методу сіток алгоритм яких ми розглянемо, виникають часто такі питання:

    1. Якими методами варто знаходити це рішення. 2. Якщо рішення системи алгебраїчних рівнянь, які ми описали (2.15) - (2.17).

Існує єдине рішення системи (2.15) - (2.17) так як вихідна задача (2.1) - (2.3) є лінійною, а система (2.15) (2.17) є трьох діагональною матрицею і при виконанні умови діагонального переважання рішення самої системи, існує і є єдиним, а таке рішення системи називається методом прогону.

Граничні умови є крайовими умовами першого роду, то при h>0 різницеве рішення рівномірно сходиться до точного зі швидкістю, так як Q(x)=0, а P(x), f(x) є двічі безперервно диференційованими функціями.

Дуже важливо провести розрахунки для різних значень кроку, не менше 3, після цього переконатися в тому, що в одних і тих же вузлах значення близькі між собою. ливарний комп'ютерний виливка корпус

На основі звичайного диференціального рівняння другого порядку для нелінійної задачі розглядається питання її апроксимації, також досліджується питання про похибки такої апроксимації, порядку. Для того щоб не виникало труднощів з розрахунками то потрібно провести розрахунок на декількох сітках з різними кроками. Якщо різницеві рішення близькі між собою, то це є свідченням гарної стійкості.

Похожие статьи




Методика дослідження, Процесс побудови математичної моделі за допомогою методу кінцевих різниць - Застосування комп'ютерно-інтегрованих систем в технології лиття

Предыдущая | Следующая