Расчет толстостенных цилиндров - Расчет толстостенных цилиндров
В тонкостенных цилиндрических резервуарах, подвергнутых внутреннему давлению, вполне возможно при вычислениях считать напряжения равномерно распределенными по толщине стенки. Это допущение мало отзывается на точности расчета.
В цилиндрах, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, подобное предположение повело бы к большим погрешностям. Расчет таких цилиндров дан Ляме и Гадолиным в 1852 -- 1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготовляют орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.
На Рис.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом, внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению.
Рис.1. Расчетная схема толстостенного цилиндра.
Напряжение тонкостенный цилиндрический резервуар
Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра. Толщину кольца обозначим. Пусть АВ изображает небольшую часть этого кольца, соответствующую центральному углу.
Размер выделенного элемента, перпендикулярный к плоскости чертежа, возьмем равным единице. Пусть и будут напряжения, действующие по внутренней и наружной поверхностям элемента АВ, a -- напряжения по его боковым граням. По симметрии сечения цилиндра и действующей нагрузки элемент АВ перекашиваться не будет, и касательные напряжения по его граням будут отсутствовать. По граням элемента AB, совпадающим с плоскостью чертежа, будет действовать третье главное напряжение, вызванное давлением на днище цилиндра. Это напряжение можно считать постоянным по всем точкам поперечного сечения цилиндра.
На элемент AB действуют в плоскости чертежа две силы составляющие между собой угол, и радиальная сила, равная
Эта сила направлена в сторону наружной поверхности. Уравновешиваясь, эти три силы составляют замкнутый треугольник abc (Рис.2).
Рис.2. Условия равновесия элемента кольца
Из него следует, что радиальная сила, изображаемая отрезком ab, связана с силой (отрезок са) соотношением
;
Пренебрегая малыми высшего порядка, получаем:
;
Отсюда
(1)
Условие равновесия дало только одно уравнение для нахождения двух неизвестных напряжений. Задача статически неопределима, и необходимо обратиться к рассмотрению деформаций. Деформация цилиндра будет заключаться в его удлинении и в радиальном, перемещении всех точек его поперечных сечений. Назовем радиальное перемещение точек внутренней поверхности рассматриваемого элемента через u (Рис.3). Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на другую величину ; таким образом, толщина dr выделенного элемента увеличится на du, и относительное удлинение материала в радиальном направлении будет
Рис.3. Геометрическая модель деформации элемента кольца
В направлении напряжений относительное удлинение будет равно относительному удлинению дуги ab, занявшей положение cd; так как относительное удлинение дуги таково же, как относительное удлинение радиуса r, то. По закону Гука
(2)
Так как и определяются одной и той же функцией и то они связаны условием совместности. Дифференцируем по r:
(3)
Это и будет условие совместности деформаций; заменяя в нем значения и по (2), получим второе уравнение, связывающее и :
(4)
Подставляя в это уравнение значение разности из (32.1), находим:
(5)
Для совместного решения уравнений (1) и (5) продифференцируем первое по и подставим в него значение из второго; получим:
Отсюда дифференциальное уравнение задачи:
(6)
Интеграл этого уравнения будет
(7)
Что можно проверить подстановкой.
Постоянные А и В определятся из условий на внутренней и наружной поверхностях цилиндра:
(8)
Знак минус в правых частях этих формул поставлен потому, что положительными мы приняли растягивающие напряжения (Рис.1).
Из условий (8) получаем:
Пользуясь этими значениями и уравнением (7), получаем окончательные формулы для и :
(9)
Как видно из этих формул, сумма (не зависит от r, т. е. относительная деформация вдоль оси цилиндра во всех точках сечения одинакова (так как и одинаково), и сечение остается плоским
Представляет очень большой практический интерес случай когда имеет место только одно внутреннее давление ; тогда
(10)
График, изображающий распределение напряжений по толщине цилиндра в случае, дан на Рис.3. Так как по абсолютной величине продольное растягивающее напряжение обычно значительно меньше и то прочность цилиндра определяется этими последними. Применяя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), получаем, что наибольшая разность главных напряжений, равная (для случая )
(11)
Рис.3. Распределение напряжений по толщине цилиндра при
Будет иметь место в точках внутренней поверхности цилиндра и всегда будет по абсолютной величине значительно больше внутреннего давления.
Таким образом, остаточные деформации появятся прежде всего у внутренней поверхности цилиндра, когда будет равно пределу текучести материала; борьба с их появлением путем увеличения наружного радиуса практически безнадежна, -- с увеличением растут и числитель, и знаменатель формулы (11); поэтому разность главных напряжений хотя и убывает, но очень медленно. Однако момент появления пластических деформаций у внутренней поверхности цилиндра далеко не соответствует исчерпанию грузоподъемности конструкции; для правильной оценки прочности цилиндра необходимо перейти к расчету по допускаемым нагрузкам.
Рис.4. Динамика зоны текучести по толщине цилиндра
Полное исчерпание грузоподъемности произойдет тогда, когда кольцевая пластическая зона, распространяясь от внутренней поверхности цилиндра, дойдет до наружной; состояние разрушения наступит тогда, когда материал у наружной поверхности достигнет состояния, при котором произойдет разрыв. На фиг. 544 показано отношение внутреннего давления, при котором пластическая зона охватывает все сечение, к давлению, соответствующему началу пластических деформаций. Оказывается, что действительная грузоподъемность значительно выше получаемой при обычном методе расчета.
Упругая грузоподъемность толстостенных цилиндров может быть поднята путем создания начальных напряжений. Для этого необходимо изготовить цилиндр, составленный из двух цилиндров, вставленных один в другой; наружный диаметр внутреннего цилиндра делается несколько больше внутреннего диаметра наружного цилиндра; после одевания наружного цилиндра в нагретом состоянии на внутренний и его остывания по поверхности соприкасания возникнут реакция, сжимающие внутренний и растягивающие внешний цилиндры. Наличие этих начальных напряжений улучшает работу составного цилиндра при внутреннем давлении, как видно из приведенного ниже расчета.
На Рис.5 изображен составной цилиндр после остывания. Напряжения в тангенциальном направлении будут равны: для наружного цилиндра (растяжение)
Для внутреннего цилиндра (сжатие)
Рис.5. модель составного цилиндра после остывания.
Установим, какую разницу в радиусах надо дать, чтобы осуществить желательное начальное усилие ; -- это начальный наружный радиус внутреннего цилиндра, а -- начальный внутренний радиус наружного цилиндра.
При остывании наружной трубы происходит выравнивание этих радиусов за счет уменьшения на, и увеличения на ; сумма абсолютных величин этих деформаций должна быть равна :
Относительное тангенциальное удлинение материала на внутренней поверхности наружного цилиндра равно
В эту формулу вместо подставлена величина общего для обоих цилиндров радиуса, так как -- малая величина и такая замена вводит очень небольшую погрешность. Относительное увеличение радиуса будет тоже ; поэтому
Относительное тангенциальное сжатие материала на наружной поверхности внутренней трубы равно:
Укорочение радиуса будет равно:
Сумма абсолютных величин и равна по предыдущему
Таким образом, чтобы обеспечить наличие = принятого нами начального усилия необходимо дать разницу диаметров, равную
Минимальная температура, до которой надо нагреть наружный цилиндр при надевании его на внутренний, определяется уравнением
(при наших числовых данных : ).
Похожие статьи
-
Цель расчета Целью расчета является определение размеров основных элементов аппарата, исходя из условий прочности и устойчивости. Расчет ведется согласно...
-
Расчет обмотки возбуждения - Расчет электродвигателей малой мощности
Расчет обмотки возбуждения электродвигателя постоянного тока заключается в определении числа витков, приходящихся на один полюс, сечения провода, а также...
-
Задание 3. - Расчет теплообменного аппарата
Задача 1. Определить температуру наружной поверхности теплоизоляции аппарата. Толщина изоляции дст = 50 мм, коэффициент теплоотдачи от поверхности...
-
Если к узлу присоединены вырожденные ветви с идеальными источниками ЭДС, обладающими нулевым внутренним сопротивлением, узловое уравнение для такого узла...
-
При формировании узловых уравнений следует пронумеровать узлы анализируемой цепи. В качестве опорного узла с индексом "0", относительно которого...
-
, Где - прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.; - производства валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс. руб.; A, b -...
-
Условие задачи - Расчет электрической цепи
Два электродвигателя переменного тока подключены параллельно к цепи с напряжением U2 И работают с низким коэффициентом мощности cos1. Измерительные...
-
Расчет толщины обечаек Исполнительную толщину тонкостенной гладкой цилиндрической обечайки, нагруженной внешним давлением, рассчитываем по формуле: ,...
-
Электрический расчет - Районная электрическая сеть
Электрический расчет предлагается проводить для случая, когда известна максимальная нагрузка на шинах НН. Расчет режимов выполняется методом...
-
В качестве основного аппарата ? алкилатора принят вертикальный цилиндрический полый аппарат со сферическими днищами, выполненный из углеродистой...
-
Тепловой расчет установки, Расчет тепловой изоляции - Колонные аппараты
Расход тепла, отдаваемого охлаждающей водой в дефлегматоре-конденсаторе: Где rD - удельная теплота конденсации паров в дефлегматоре, Дж / кг Удельная...
-
В модели рассматривается радиальная тепловая сеть. Потребление тепла в промышленном секторе учитывается при расчете зоны теплового влияния станции, т. к....
-
Главным параметром трансформатора является его мощность. Различают электромагнитную, полезную, расчетную и типовую мощности трансформатора....
-
Матричный узловой цепь Недостатком метода расчета, основанного на непосредственном решении уравнений электрической цепи, является необходимость...
-
Расчет равновесия по термодинамическим данным - Химические процессы и реакторы
Расчет константы равновесия и изменения энергии Гиббса позволяет определить равновесный состав реакционной смеси, а также и максимально возможное...
-
Рабочие характеристики электродвигателя - Расчет электродвигателей малой мощности
Под рабочим характеристиками электродвигателей постоянного тока малой мощности понимаются зависимости потребляемых тока и мощности, частоты вращения, к....
-
Электрооборудование цеховой подстанции - Расчеты по проектированию силового электрооборудования
Выбор типа и схемы соединения цеховой подстанции По степени надежности электроснабжения цех относится к потребителям второй категории, допускающим...
-
Приведенные затраты - Расчет электрической сети микрорайона в г. Иркутск
Выбор рационального варианта сети производится на основании технико-экономических расчетов и сопоставления конкурентоспособных вариантов по минимуму...
-
Оценим величину экономического эффекта от применения преобразователя частоты Lenze SMD ESMD223L4TXA (цена со склада в Петербурге 37 000 р. с НДС) на...
-
Закалочно-испарительный аппарат (Х-1) представляет собой теплообменник смешения. Поток пирогаза охлаждается водой, которая, испаряясь, забирает часть...
-
Провести проверку сети, приведенной на рис. 1.4, с исходными расчетными данными из табл. 1.12 по потере напряжения в нормальном и послеаварийном режимах....
-
Задание № 6 - Расчет усилительного каскада и однофазного трансформатора
Расчет однофазного трансформатора с учетом частоты напряжения сети Исходные данные: Вариант Г P2, Вт 120 U1, Ом 120 U2, Ом 3,6 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ...
-
Составление схемы замещения и определение ее параметров Расчет токов короткого замыкания производится для выбора и проверки электрического оборудования,...
-
Толщину стенки эллиптического днища определяют по формуле: , (4.9) Мм. Принимаем толщину крышки и днища равной толщине стенки = 16 мм. Расчет изоляции...
-
Ректификация бензол жидкость Ректификация - массообменный процесс, который осуществляется в противоточных колонных аппаратах с контактными элементами...
-
Рис. 1 - Схема Заданы следующие значения: R1 = 18 Ом R2 = 25 Ом R3 = 20 Ом L1 = 28,65 мГн L2 = 31,83 мГн L3 = 63,66 мГн С1 = 318 мкФ С2 = 79,58 мкФ С3 =...
-
Расчетная часть - Технологический расчет контактного аппарата
По ориентировочным подсчетам, к 2000г. мировой выпуск формалина (37-й водный раствор формальдегтда) возрвстает до 5млн. т, что связано с использованием...
-
Применение узловых уравнений для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем
Рассчитать распределение напряжений в цепи (рис. П2.2) с идеальным источником ЭДС E 1 = 0,5 B (см. п.1.5).Параметры элементов схемы равны: R 1 = 50 кОм,...
-
Алгебраические преобразования узловых уравнений активных цепей, связанные с группировкой членов, учитывающих токи и ЭДС управляемых источников, можно не...
-
Диаметр барометрического конденсатора dБк DБк=(4*w3 /(с*р*v))0,5, (5.2) Где с - плотность паров, кг/куб. м; v - скорость паров, м/с. При остаточном...
-
Точка 2 Т. к. процесс 1-2 политропный, то: Т2/Т1=(p2/p1) (n-1)/n, (1) Где n - показатель адиабаты. Из формулы (1): T2=(p2/p1) (n-1)/n * T1...
-
ВВЕДЕНИЕ - Расчет термодинамических циклов
Теплофизика -- совокупность дисциплин, представляющих теоретические основы энергетики. Включает термодинамику, тепломассообмен методы экспериментального...
-
Упрощенный тепловой расчет - Расчет электродвигателей малой мощности
В целях сокращения объема вычислительной работы при тепловом расчете машин постоянного тока можно в приближенных расчетах ограничиться упрощенным...
-
Заключение, Список литературы - Расчет электродвигателей малой мощности
В данной курсовой работе был рассчитан трехфазный асинхронный электродвигатель малой мощности на заданные параметры. По полученным в результате расчета...
-
Таблица 9. Исходные данные Вид товара Единица измерения Товарооборот отчетного периода, млн. руб. Относительное изменение цен в отчетном периоде по...
-
Охрана труда и техника безопасности - Расчеты по проектированию силового электрооборудования
Выбор конструктивного выполнения и расчет заземляющего устройства (ЗУ) КТП В соответствии с 7, 1.7.98 КТП должна иметь глухое заземление нейтрали Т на...
-
Статистические испытания схемы проводятся исходя из того, что генерирование случайных логических переменных xI проводится с помощью равномерного...
-
Пример 1 Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера...
-
Класс алкилбензолов представлен 37 соединениями в табл.3, где приведены экспериментальные данные, использованные нами при определении значений параметров...
-
Введение - Расчет абсорбционной установки
Абсорбцией называется процесс избирательного поглощения компонентов из газовой или паровой смеси жидким поглотителем, в котором данный компонент...
Расчет толстостенных цилиндров - Расчет толстостенных цилиндров