Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы) - Виды математических моделей
К ним относятся системы массового обслуживания (англ. queuing system), которые называют Q - схемами.
Предмет теории массового обслуживания -- системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания. Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщенная структура СМО приведена на рисунке 5.
Рис. 5. Схема СМО
Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа i (i=1...M) обозначено I. Совокупность заявок всех типов - входящий поток СМО.
Обслуживание заявок выполняется M каналами. Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения FJi() длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределенными, назначение этих заявок на данный канал.
В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например, потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации электронных вычислительных систем от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное поведение заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени.
Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность.
Рассмотрим понятие массового обслуживания.
В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобразить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания ПI, состоящего из накопителя заявок, в котором может находится одновременно lI=0...LIH заявок, где LIH - емкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, kI.
Рис. 6. Схема прибора СМО
На каждый элемент прибора обслуживания ПI поступают потоки событий: в накопитель HI поток заявок wI , на канал kI - поток обслуживания uI.
Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС (ОПС) характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {tN}={0t1T2...tN...}, где tN - момент поступления n - ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями {N}.
Неоднородным ПС называется последовательность {tN, fN} , где tN- вызывающие моменты; fN- набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.
Рассмотрим ОПС, для которого I{N}- случайные величины, независимые между собой. Тогда ПС называется потоком с ограниченным последействием.
ПС называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени t, примыкающий к моменту времени t попадает больше одного события Р1(t, t) пренебрежительно мала.
Если для любого интервала t событие P0(t, t) + P1(t, t) + Р1(t, t)=1, P1(t, t) - вероятность попадания на интервал t ровно одного события. Как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, то для ординарного потока событий P0(t, t) + P1(t, t) 1, Р1(t, t)=(t), где (t)- величина, порядок малости который выше, чем t, т. е. lim((t))=0 при t0.
Стационарным ПС называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени зависит от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0 - t взят этот участок. Для ОПС справедливо 0*P0(t, t) + 1*P1(t, t)= P1(t, t) - среднее число событий на интервале t. Среднее число событий, наступающих на участке t в единицу времени составляет P1(t, t)/t. Рассмотрим предел этого выражения при t0
Lim P1(t, t)/t=(t)*(1/един. вр.).
Если этот предел существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ОПС. Для стандартного ПС (t)==const.
Применительно к элементарному каналу обслуживания kI можно считать что поток заявок wIW, т. е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе kI Образуют подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания uIU, т. е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки образуют подмножество управляемых переменных.
Заявки, обслуженные каналом kI и заявки, покинувшие прибор ПI по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток yIY.
Процесс функционирования прибора обслуживания ПI можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени ZI(t). Переход в новое состояние для ПI означает изменение кол-ва заявок, которые в нем находятся (в канале kI и накопителе HI). Т. о. вектор состояний для ПI имеет вид : , где - состояния накопителя, (=0 - накопитель пуст, =1- в накопителе одна заявка..., =- накопитель занят полностью; - состояние канала kI (=0 - канал свободен, =1 канал занят).
Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания ПI. Если kI различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы ПI и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).
Т. о. для задания Q-схемы необходимо оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры.
Связи в Q-схеме изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой выходной поток не может снова поступить на какой-либо элемент, т. е. обратная связь отсутствует.
Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы будут являться кол-во фаз LФ, количество каналов в каждой фазе, LKj, j=1... LФ, количество накопителей каждой фазы LKj, k=1... LФ, емкость i-ого накопителя LIH. Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от емкости накопителя применяют следующую терминологию:
Системы с потерями (LIH=0, накопитель отсутствует);
Системы с ожиданием (LIH);
Системы с ограниченной емкостью накопителя НI (смешанные).
Обозначим всю совокупность собственных параметров Q-схемы как подмножество Н.
Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы ее функционирования, которые определяют правила поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.
В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе НI и обслуживания заявок каналом kI. Неоднородность потока заявок учитывается с помощью введения класса приоритетов.
В зависимости от динамики приоритетов Q-схемы различают статические и динамические. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы, т. е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании. Исходя из правил выбора заявок из накопитель НI на обслуживание каналом kI можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Н, ожидает окончания обслуживания представляющей заявки каналом kI и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом kI заявки с более низким приоритетом и сами занимает канал (при этом вытесненная из kI заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в НI).
Необходимо также знать набор правил, по которым заявки покидают НI и kI: для НI - либо правила переполнения, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в НI; для kI - правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале kI, т. е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки kI По выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q_схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q_схемы. Набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q_схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А.
Т. о. Q_схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задается в виде набора множеств: Q = <W, U, H, Z, R, A> .
Похожие статьи
-
Уравнение динамики теплообменника: Передаточные функции объекта получим по его уравнению динамики. Для этого запишем уравнение по заданному каналу. Затем...
-
Пусть есть математическое ожидание цены состояния объекта при условии, что в момент времени tдопустимое экологическое состояние не достигнуто и цена...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
В 1974г. группа аргентинских ученых во главе с профессором А. Эррерой получила предварительные результаты работы над латиноамериканской моделью...
-
Описание стохастической полумарковской модели управления запасом непрерывного продукта. Основные исходные характеристики Рассмотрим основные...
-
Рассмотрим случай, когда цена затрачиваемых мероприятий изменяется непрерывно со временем t. Будем предполагать, что строго монотонно убывает со временем...
-
Выделим случай, когда входной сигнал X ( T ) является элементарной функцией 1( T ). Реакцию системы на воздействие 1( T ) можно компактно: [1] Где...
-
В воздушном зазоре электрических машин всегда, наряду с основной гармонической составляющей вращающегося магнитного поля, присутствуют гармонические...
-
Модель "вход - выход" для нестационарной системы управления можно представить в следующем виде [2] . Где коэффициенты матриц возмущения и ограничены...
-
Система "Диспетчер" апробирована на реальных исходных данных двух регионов Нефтяной Компании "Юкос" (Липецкая и Воронежская области) и показала свою...
-
Уровень науки и техники Надежность средств, с помощью которых человек достигает космоса высокая, но не идеальна. РН -- сложная конструкция, и даже в...
-
Наличие особых ситуаций на террайне зависит от характеристик его сложности. Ниже приведена возможная классификационная схема характеристик сложности...
-
Составление эквивалентных схем - Экономико-математическая детерминированная модель
Неоднозначность. Для любой электрической схемы можно составить сколько угодно различных эквивалентных схем - количество их ограничивается только...
-
Решение транспортной задачи методом потенциалов - Математическая модель решения транспортной задачи
Этот метод позволяет автоматически выделять циклы с отрицательной ценой и определять их цены. Пусть имеется транспортная задача с балансовыми условиями...
-
Заключение, Список использованной литературы - Моделирование математической модели теплообменника
В данной курсовой работе была получена математическая модель теплообменника в виде дифференциальных уравнений. Также была получена передаточная функция...
-
Дискретно - детерминированные модели (F-схемы) - Виды математических моделей
Дискретно - детерминированные модели (ДДМ) являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА). ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей...
-
Z -преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат Z -преобразования...
-
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Виды математических моделей
Это вaжнейший метод современного нaучного исследовaния, основной aппaрaт системного aнaлизa. Мaтемaтическое моделировaние - это изучение поведения...
-
Необходимо составить математическое описание теплообменника, в котором жидкий продукт нагревается насыщенным водяным паром (расход, кг/с), до температуры...
-
Введение - Моделирование математической модели теплообменника
Математический динамический модель канал Качественные и количественные изменения в промышленности, науке и технике составляют основу для значительного...
-
При управлении подвижными объектами (такими, например, как мобильные роботы, подводные аппараты и т. п.) часто имеет место неопределенность цели, когда...
-
В практике управления системами различного назначения (экономическими, финансовыми, техническими и др.) неизбежно приходится сталкиваться с различными...
-
В большинстве случаев структурная неопределенность вызвана неполнотой знания аналитической структуры уравнений модели объекта управления. При не...
-
КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ - Виды математических моделей
Клaссификaцию моделей можно проводить по разным типам признаков: - по способу познания: научно-технические, художественные, житейские; - по природе...
-
МОДЕЛИРОВАНИЕ - Виды математических моделей
Моделировaние - Это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с...
-
Классификация математических моделей - Построение и классификация математических моделей
К классификации математических моделей разные авторы подходят по-своему, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать...
-
Модель Мальтуса Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением Где б -- некоторый параметр,...
-
Разработка электрической схемы (выбор элементной базы, обоснование выбора) Рисунок 2- Функциональная схема блока управления Для обеспечения требований...
-
Решение симплекс-методом с помощью симплекс-таблиц - Математические методы и модели в экономике
Определим оптимальный план выпуска продукции, решив задачу линейного программирования (ЗЛП). Для этого сначала приведем модель к каноническому виду...
-
Разработка алгоритма нахождения входного потока заявок в имитационной модели контрольно-пропускной системы на основе статистических данных В наши дни...
-
Как и каждый достаточно ярко выраженный класс экономико-математических моделей, совокупность моделей календарного планирования обладает рядом...
-
Основные процессы СЭС представлены комплексом направлений деятельности, которые можно представить как EP(t)={EP1(t), EP2(t) ... EPN(t)},, где i=1..n, n -...
-
Понятие многосекторной экономики Многосекторная экономика-- экономическая система, в которой на рыночной основе сосуществуют частная, государственная и...
-
ВВЕДЕНИЕ - Математическая модель роста экономики Краснодарского края
В наше время математическое моделирование используется во всех отраслях науки. В своей дипломной работе, с помощью математического моделирования, я...
-
Эквивалентная схема - Экономико-математическая детерминированная модель
Эквивалемнтная схемма ( Схема замещения , Эквивалентная схема замещения ) - электрическая схема, в которой все реальные элементы заменены максимально...
-
Математическая модель задачи нелинейного программирования (ЗНП) (*) Для ЗНП в отличие от Задачи Линейного Программирования (ЗЛП) нет единого метода...
-
Маркетинговое исследование представляет собой системный сбор, обработку и анализ всех аспектов процесса маркетинга: продукта, его рынка, каналов...
-
Цели и задачи моделирования, Требования к модели - Виды математических моделей
Основные цели и задачи моделирования сводятся к следующему: 1. Оптимальное проектирование новых и интенсификация действующих технологических процессов....
-
Методы исследования математических моделей - Математическое моделирование в менеджменте и маркетинге
Все методы математического моделирования можно разделить на четыре класса: -аналитические (априорные); -имитационные (априорно-апостериорные) модели;...
-
Классификация моделей - Математическое моделирование в менеджменте и маркетинге
Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В...
Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы) - Виды математических моделей