Примеры решения СЛАУ методом Гаусса - Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

В данном разделе покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас воспроизведем результат, к которому мы придем в ходе решения:

И повторюсь, наша цель - с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и -1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец - готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью "трудного" преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, -1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на -2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на -2: (-2, -4, 2, -18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, -5, -1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на -3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на -3: (-3, -6, 3, -27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на -3:

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать все сразу и одновременно. Порядок вычислений и "вписывания" результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку Їпоследовательно и внимательно:

А мысленный ход самих расчетов я уже рассмотрел выше.

Далее нужно получить единицу на следующей "ступеньке":

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на -5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на -2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на -2:

Попробуйте разобрать это действие самостоятельно - мысленно умножьте вторую строку на -2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие - прическа результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения "раскручиваются" снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение "зет" уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . "Игрек" и "зет" известны, дело за малым: линейный уравнение гаусс delphi

Ответ:

Похожие статьи




Примеры решения СЛАУ методом Гаусса - Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Предыдущая | Следующая