Решение систем линейных уравнений, Метод исключений Гаусса - Составление программы для решения системы уравнений

Дана система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными:

В матричной форме записи система (1) имеет вид:

(2)

Где : n - порядок системы;

- матрица коэффициентов системы;

- вектор свободных членов; - вектор неизвестных;

В свернутой форме записи СЛУ имеет вид:

(3)

Система называется Обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы 0, и тогда система (1) имеет единственное решение.

Система называется Не обусловленной (вырожденной, особенной), если = 0, и тогда система (1) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Метод исключений Гаусса

Решим рассмотренную ранее систему (пример 1) методом исключения Гаусса.

Пример. Решение проводиться в два этапа.

1 этап Прямой ход - матрица A преобразуется к треугольному виду: путем эквивалентных линейных преобразований уравнений системы поддиагональные коэффициенты матрицы А обнуляются.

x1 + 5x2 - x3 = 2

x1 2x3 = -1

2x1 - x2 - 3x3 = 5

Исключим x1 из 2-го и 3-го уравнения: ко 2-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-1); к 3-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-2).

X1 + 5x2 - x3 = 2

- 5x2 + 3x3 = -3

- 11x2 - x3 = 1

Исключим x2 из 3-го уравнения: к 3-му уравнению прибавим 2-ое, умноженное на (-11/5). Полученный вид системы после прямого хода

X1 + 5x2 - x3 = 2

- 5x2 + 3x3 = -3

- 38/5x3 = 38/5

2 этап Обратный ход - вычисляются значения неизвестных, начиная с последнего уравнения:

X3* = -1

-5x2 + 3x3*=-3 x2*=(3 + 3x3*)=(3 + 3(-1))=0

X1 +5x2* - x3*=2 x1*=2 + 5x2* + x3*=2 + 50 + (-1)=1

Полученное решение нужно обязательно проверить, подставив в исходную систему!

Алгоритм прямого хода:

Шаг 1. Примем k=1

Шаг 2. Выбираем рабочую строку.

Если aKk ? 0, то k-ая строка - рабочая.

Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n?m>k), в которой aMk ? 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить.

Шаг 3. Для строк i=k+1, k+2, ..., n вычисляются новые значения коэффициентов.

, , и новые правые части

Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага.

Похожие статьи




Решение систем линейных уравнений, Метод исключений Гаусса - Составление программы для решения системы уравнений

Предыдущая | Следующая