Решение систем линейных уравнений, Метод исключений Гаусса - Составление программы для решения системы уравнений
Дана система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными:
В матричной форме записи система (1) имеет вид:
(2)
Где : n - порядок системы;
- матрица коэффициентов системы;
- вектор свободных членов; - вектор неизвестных;
В свернутой форме записи СЛУ имеет вид:
(3)
Система называется Обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы 0, и тогда система (1) имеет единственное решение.
Система называется Не обусловленной (вырожденной, особенной), если = 0, и тогда система (1) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.
Метод исключений Гаусса
Решим рассмотренную ранее систему (пример 1) методом исключения Гаусса.
Пример. Решение проводиться в два этапа.
1 этап Прямой ход - матрица A преобразуется к треугольному виду: путем эквивалентных линейных преобразований уравнений системы поддиагональные коэффициенты матрицы А обнуляются.
x1 + 5x2 - x3 = 2
x1 2x3 = -1
2x1 - x2 - 3x3 = 5
Исключим x1 из 2-го и 3-го уравнения: ко 2-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-1); к 3-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-2).
X1 + 5x2 - x3 = 2
- 5x2 + 3x3 = -3
- 11x2 - x3 = 1
Исключим x2 из 3-го уравнения: к 3-му уравнению прибавим 2-ое, умноженное на (-11/5). Полученный вид системы после прямого хода
X1 + 5x2 - x3 = 2
- 5x2 + 3x3 = -3
- 38/5x3 = 38/5
2 этап Обратный ход - вычисляются значения неизвестных, начиная с последнего уравнения:
X3* = -1
-5x2 + 3x3*=-3 x2*=(3 + 3x3*)=(3 + 3(-1))=0
X1 +5x2* - x3*=2 x1*=2 + 5x2* + x3*=2 + 50 + (-1)=1
Полученное решение нужно обязательно проверить, подставив в исходную систему!
Алгоритм прямого хода:
Шаг 1. Примем k=1
Шаг 2. Выбираем рабочую строку.
Если aKk ? 0, то k-ая строка - рабочая.
Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n?m>k), в которой aMk ? 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить.
Шаг 3. Для строк i=k+1, k+2, ..., n вычисляются новые значения коэффициентов.
, , и новые правые части
Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага.
Похожие статьи
-
Решим следующую систему методом Гаусса. - Составление программы для решения системы уравнений
A 11 = 2 0. (1) Для решения систем уравнения с помощью Гаусса будем выделить коэффициенты системы следующим образом: A 11 =2, A 12 = 7, a 13 =13 b 1 = 0...
-
, Алгоритм обратного хода: Шаг 1. Вычислим Шаг 2. Вычислим: , Рис. 1. Основной алгоритм решения СЛУ методом исключения Гаусса. Для контроля правильности...
-
Линейная зависимость - Составление программы для решения системы уравнений
Рассмотрим подробнее аппроксимирующие зависимости Y(x)=f(x, B 0 ,B 1,..., B N ) с двумя параметрами: Y(x)=f(x, B 0 ,B 1 ) Используя соотношения (1) и...
-
Программа на языке Бейсик - Составление программы для решения системы уравнений
10 REM 20 DIM A(20,20),B(20),X(20) 30 READ N 40 FOR I=1 TO N: FOR J=1 TO N 60 READ A(I, J) : NEXT J 80 READ B(I) : NEXT I 90 REM Vibor elementa 100 FOR...
-
Параболическая зависимость - Составление программы для решения системы уравнений
Если в многочлене F (x)= B 0 X M + B 1 X M-1 +.....+ B M-1 X + B M m=2 Тогда, это многочлен называется параболической зависимости. Установим вид...
-
Введение - Составление программы для решения системы уравнений
А) Постановка задач Б) Решения поставленной задачи 4. Порядок выполнения работы А) Изучение литературы Б) Составление алгоритма. В) Составление программа...
-
ЛИТЕРАТУРА - Составление программы для решения системы уравнений
1. Кобулов В. К. Автоматизация в социально-экономических системах. Т.: Фан, 1989. 2. Гулямов С. С., Романов А. Н., Алимов Р. Х. и др. Дистанционное...
-
Методы Рунге-- Кутты-- важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы...
-
Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений построенной по вероятностной модели предприятия УП "Проектный институт Гродногипрозем". Данная...
-
Составление частотного уравнения методом последовательного расщепления Рисунок 3.1 - Исходная модель. Расщепим ее на массе 2 Рисунок 3.2 - Расщепление на...
-
Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования,...
-
Линейная замкнутая система Рассмотрим линейную стационарную непрерывную управляемую систему: (1.1) - вектор состояния системы, - управление, - выход...
-
Выведем в общем виде уравнение движения заданной динамической модели при помощи уравнений Лагранжа II рода. Полная кинетическая энергия: , Полная...
-
Теорема. Чтобы транспортная задача была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: (1.5) Доказательство: Необходимость. Пусть...
-
Корпоративная интеграционная подсистема на базе IBM WebSphere Business Integration Message Broker [28] отвечает за выстраивание корпоративной...
-
Основания для разработки Система разрабатывается в соответствии с планом учебного процесса Института менеджмента и Информационных технологий (ИМИТ...
-
Обзор классического подхода Приведем теорему для формирования линейного закона управления с обратной связью в пространстве состояний [3]: Дан объект,...
-
Программа StudyProgram предназначена для того, чтобы помочь в усвоении приемов составления программ для машины Поста. Работа с программой осуществляется...
-
Методика решения задач ЛП графическим методом - Линейное программирование
I. В ограничениях задачи (1.2) заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые. II. Найти и заштриховать...
-
При формулировании задачи в одном из пространств возникает необходимость перехода к тождественной постановки в другом. К сожалению, не всегда...
-
Рисунок 1. Пример сложной схемы БД Пример проблемной ситуации, которую этот проект должен разрешить представлен на рис. 1. Организатор проводит события...
-
После рассмотрения достоинств и недостатков информационных систем, автоматизирующих управление персоналом, можно перейти к проведению оценки соответствия...
-
Наиболее распространенной реализацией МКЭ является метод прямой жесткости, применяемый для компьютерного моделирования сложных структур. Это матричный...
-
Теоретические аспекты поставленной задачи В этой части проекта будут объяснены этапы применения МКЭ для плоской фермы. В первой главе было рассмотрено...
-
Геометрический метод, Двойственная задача - Линейное программирование
Применяется для задач с двумя переменными. Метод решения состоит в следующем: На плоскости строятся прямые, которые задают соответствующие ограничения:...
-
Последовательность действий при принятии решения о внедрении корпоративной информационной системы С чего начать разработку решения? Любая промышленная...
-
Собственные числа и собственные векторы матрицы Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые будут...
-
Заключение - Системы поддержки принятия решений
Первые информационные системы появились в 50-х гг. В эти годы они были предназначены для обработки счетов и расчета зарплаты, а реализовывались на...
-
Матрица B эквивалентна матрице А в том случае, если существуют такие две неособенные матрицы P и Q, что B=PAQ. Преобразование подобия Рассмотрим линейное...
-
Решение задач линейного программирования - Основы информатики
Имеются n пунктов производства и m пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с i-го пункта производства в j-ый центр...
-
Очередность разработки Системы А) разработка программного обеспечения для ввода, редактирования и актуализации контента, синхронизации с хранилищем...
-
Разработка с "нуля", Выбор метода разработки - Различные виды программ для Multi-Touch столов
Разработка приложения на каком-либо языке с нуля достаточно трудоемкий процесс, так как в случае создания интерфейсов понадобиться множество времени для...
-
Можно выделить три основных метода разработки программного обеспечения: 1. Конструкторы программ (Аlgoritm2, Devel Studio, MnCreator, Game Maker и др.)....
-
На данный момент у TUIO есть 3 версии протокола: 1.0, 1.1 и 2.0. Версия 2.0, вышедшая в 2014, имеет множество изменений и нововведений по сравнению с...
-
Вариант №1 1. Выбрать и обосновать наиболее эффективный метод решения задачи. 2. Разработать алгоритм и программу для решения задачи в общем виде. 3....
-
Специфика транспортной задачи позволяет находить новое опорное решение задачи и новый базис по правилу более простому, чем в симплекс-методе. Пусть...
-
Признак оптимальности плана перевозок T. З. устанавливает теорема. Теорема. Для того, чтобы некоторый допустимый план X = (xij)m-nT. З. был оптимальным,...
-
Обобщенный алгоритм решения задачи Необходимо рассчитать, какую сумму денежных средств внесет лицо, производящее оплату по 1 000 рублей ежеквартально под...
-
По Р. Шеннону (Robert E . Shannon - профессор университета в Хантсвилле, штат Алабама, США ), "имитационное моделирование - Есть процесс конструирования...
-
Служебная программа tty Позволяет узнать имя пользовательского терминала. Более точно, она выдает на стандартный вывод имя терминала, открытого в...
Решение систем линейных уравнений, Метод исключений Гаусса - Составление программы для решения системы уравнений