Теплоемкость твердых тел: пределы низких и высоких температур. Приближение Эйнштейна. Приближение Дебая - Методы исследования теплоемкости материалов

Для твердых тел различие Cp от Cv порядка нескольких процентов и, как правило, различие увеличивается с ростом температуры. Для приблизительной оценки полагают, что C p = Cv*[1+10^^(-4)], т. е. при низких температурах разность (C p - Cv) очень мала. Поэтому в большинстве случаев для твердых тел реально измеряют C p, а анализируют экспериментальные данные на основе формул для C v. С учетом этого дальнейшие рассуждения касаемо теплоемкости твердых тел будут происходить с учетом постоянства объема.

Теплоемкость, в общем случае, зависит от всех факторов, изменяющих внутреннюю энергию, а именно на теплоемкость влияют те вклады во внутреннюю энергию системы U(T), которые зависят от температуры. Как правило, для твердых тел основным вкладом является вклад во U(T) атомно-молекулярной динамики, который сводится к влиянию фононной составляющей. В связи с этим, рассмотрим данную составляющую более подробно.

Фононная теплоемкость твердых тел хорошо рассчитывается в гармоническом приближении (Cанг играет роль небольшой поправки). Каждый фонон циклической частоты щ в соответствии со статистикой Бозе-Эйнштейна при данной температуре Т имеет среднюю энергию

= + (15)

Следовательно, внутренняя энергия тела, состоящего из N атомов

U = (щ, Т) (16)

Где сумма берется по всем волновым векторам и поляризациям фонона в пределах 1-ой зоны Брюллюэна. Однако, удобнее иметь дело с плотностью фононных состояний D(щ) и заменить суммирование по отдельным фононам интегралом по щ

U = D(. (17)

Дифференцируя по Т в соответствии с формулой (7) имеем

C v = 3Nk, (18)

Где = , x = . (19)

Пределы низких и высоких температур.

1) При высоких температурах, когда max, значение изохорной теплоемкости примет вид

C v(T) = 3Nk[2n U2n] (20)

Где В - числа Бернули, = - характеристическая температура,

U2n = - момент плотности фононных состояний.

При Т - получаем закон Дюлонга - Пати:

C v=3R

2) При низких температурах, когда max значение изохорной теплоемкости имеет вид

C v(T) = 3Nk[2+ 4 + ...] (21)

Приближение Эйнштейна.

Суть приближения Эйнштейна - использование для расчета изохорной теплоемкости приближенных моделей плотности фононных состояний, в которых в роли "приближения" используется предположение: все атомы твердого тела колеблются с одинаковой частотой E. Отталкиваясь от данного предположения, имеем формулу для расчета теплоемкости

C v(T) = 3Nk (22)

В высокотемпературном пределе выполняется правило Дюлонга-Пати, справедливое при температурах, выше характеристической температуры Эйнштейна

E= . (23)

Приближение Дебая.

Приближение Дебая является более совершенным по сравнению с приближением Эйнштейна, поскольку позволяет получать существенно лучшие результаты.

Непосредственно, само приближение:

= А для max и = 0 для max

Max - максимально возможная частота колебаний атомов данного вещества.

А - постоянная, определяемая из условия нормировки на полное число фононов.

Исходя из данного приближения и формулы (18) получаем формулу для вычисления теплоемкости

C v = 9Nk, (24)

Где x= .

При этом теплоемкость конкретного тела определяется единственным параметром - характеристической температурой Дебая

= , (25)

Которая связана с физическими характеристика твердого тела следующими соотношением:

= 137 (26)

TS - температура плавления данного тела.

А - атомная масса данного тела.

V - атомный объем.

Несмотря на то, что теория Дебая основывается на грубом допущении относительно спектра частот, она всегда позволяет подобрать так, что определяемая теплоемкость твердого тела может быть вполне надежно использована для большинства практических целей. Это оказывается возможным потому, что удельная теплоемкость во многих случаях очень слабо зависит от кривой спектра частот.

В целом, приближение Дебая применимо для кристаллов с простыми решетками. Для твердых тел сложной структуры данное приближение не применимо.

В высокотемпературном пределе опять же выполняется правило Дюлонга - Пати.

Похожие статьи




Теплоемкость твердых тел: пределы низких и высоких температур. Приближение Эйнштейна. Приближение Дебая - Методы исследования теплоемкости материалов

Предыдущая | Следующая