Теплоемкость твердых тел: пределы низких и высоких температур. Приближение Эйнштейна. Приближение Дебая - Методы исследования теплоемкости материалов
Для твердых тел различие Cp от Cv порядка нескольких процентов и, как правило, различие увеличивается с ростом температуры. Для приблизительной оценки полагают, что C p = Cv*[1+10^^(-4)], т. е. при низких температурах разность (C p - Cv) очень мала. Поэтому в большинстве случаев для твердых тел реально измеряют C p, а анализируют экспериментальные данные на основе формул для C v. С учетом этого дальнейшие рассуждения касаемо теплоемкости твердых тел будут происходить с учетом постоянства объема.
Теплоемкость, в общем случае, зависит от всех факторов, изменяющих внутреннюю энергию, а именно на теплоемкость влияют те вклады во внутреннюю энергию системы U(T), которые зависят от температуры. Как правило, для твердых тел основным вкладом является вклад во U(T) атомно-молекулярной динамики, который сводится к влиянию фононной составляющей. В связи с этим, рассмотрим данную составляющую более подробно.
Фононная теплоемкость твердых тел хорошо рассчитывается в гармоническом приближении (Cанг играет роль небольшой поправки). Каждый фонон циклической частоты щ в соответствии со статистикой Бозе-Эйнштейна при данной температуре Т имеет среднюю энергию
= + (15)
Следовательно, внутренняя энергия тела, состоящего из N атомов
U = (щ, Т) (16)
Где сумма берется по всем волновым векторам и поляризациям фонона в пределах 1-ой зоны Брюллюэна. Однако, удобнее иметь дело с плотностью фононных состояний D(щ) и заменить суммирование по отдельным фононам интегралом по щ
U = D(. (17)
Дифференцируя по Т в соответствии с формулой (7) имеем
C v = 3Nk, (18)
Где = , x = . (19)
Пределы низких и высоких температур.
1) При высоких температурах, когда max, значение изохорной теплоемкости примет вид
C v(T) = 3Nk[2n U2n] (20)
Где В - числа Бернули, = - характеристическая температура,
U2n = - момент плотности фононных состояний.
При Т - получаем закон Дюлонга - Пати:
C v=3R
2) При низких температурах, когда max значение изохорной теплоемкости имеет вид
C v(T) = 3Nk[2+ 4 + ...] (21)
Приближение Эйнштейна.
Суть приближения Эйнштейна - использование для расчета изохорной теплоемкости приближенных моделей плотности фононных состояний, в которых в роли "приближения" используется предположение: все атомы твердого тела колеблются с одинаковой частотой E. Отталкиваясь от данного предположения, имеем формулу для расчета теплоемкости
C v(T) = 3Nk (22)
В высокотемпературном пределе выполняется правило Дюлонга-Пати, справедливое при температурах, выше характеристической температуры Эйнштейна
E= . (23)
Приближение Дебая.
Приближение Дебая является более совершенным по сравнению с приближением Эйнштейна, поскольку позволяет получать существенно лучшие результаты.
Непосредственно, само приближение:
= А для max и = 0 для max
Max - максимально возможная частота колебаний атомов данного вещества.
А - постоянная, определяемая из условия нормировки на полное число фононов.
Исходя из данного приближения и формулы (18) получаем формулу для вычисления теплоемкости
C v = 9Nk, (24)
Где x= .
При этом теплоемкость конкретного тела определяется единственным параметром - характеристической температурой Дебая
= , (25)
Которая связана с физическими характеристика твердого тела следующими соотношением:
= 137 (26)
TS - температура плавления данного тела.
А - атомная масса данного тела.
V - атомный объем.
Несмотря на то, что теория Дебая основывается на грубом допущении относительно спектра частот, она всегда позволяет подобрать так, что определяемая теплоемкость твердого тела может быть вполне надежно использована для большинства практических целей. Это оказывается возможным потому, что удельная теплоемкость во многих случаях очень слабо зависит от кривой спектра частот.
В целом, приближение Дебая применимо для кристаллов с простыми решетками. Для твердых тел сложной структуры данное приближение не применимо.
В высокотемпературном пределе опять же выполняется правило Дюлонга - Пати.
Похожие статьи
-
Теплоемкость - одна из главных физических характеристик тела, зависящая от химического состава и термодинамического состояния тела. Теплоемкость...
-
Теплоемкость магнонов. Магноны, как упоминалось ранее, это квазичастицы, соответствующие элементарному возбуждению системы взаимодействующих спинов,...
-
Температурная зависимость удельной теплоемкости твердых тел методом сравнения динамического калориметра с тепломером и адиабатической оболочкой Для...
-
Поскольку в модели Дебая используется существенное упрощение реальной функции, величина, полученная путем подгонки к экспериментальным значениям C v при...
-
Вклады в теплоемкость на примере ванадия - Методы исследования теплоемкости материалов
Используя научную статью на тему: "электронно-фононное взаимодействие и высокотемпературная термодинамика ванадия и его сплавов" рассмотрим вклады в...
-
ДСК (дифференциальная сканирующая калориметрия) - Методы исследования теплоемкости материалов
В методе ДСК теплоту определяют через тепловой поток - производную теплоты по времени (отсюда в названии термин "дифференциальный"). Тепловые потоки...
-
Точность измерения теплоемкости методом ДСК уступает точности метода адиабатической калориметрии, описанного ранее, по ряду причин: 1. В методе ДСК...
-
МЕТОД ИДЕАЛИЗАЦИИ - Общенаучные методы исследования
Мыслительная деятельность исследователя в процессе научного познания включает в себя особый вид абстрагирования, который называют идеализацией....
-
Методы эмпирического исследования:, Методы теоретического познания: - Методы научного познания
Наблюдение -- целенаправленное пассивное изучение предметов, опирающееся в основном на данные органов чувств. Эксперимент -- активное и целенаправленное...
-
НАУЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ И ОПИСАНИЕ Наблюдение есть чувственное (преимущественно-визуальное) отражение предметов и явлений внешнего мира. "Наблюдение -- это...
-
ЭКСПЕРИМЕНТ - Общенаучные методы исследования
Эксперимент -- более сложный метод эмпирического познания по сравнению с наблюдением. Он предполагает активное, целенаправленное и строго контролируемое...
-
Эмпирический уровень в социальном познании составляют два основных эмпирических метода - наблюдение и эксперимент, а также процедура измерения....
-
Этапы поиска необходимых материалов для исследовательской работы: Гречихин А. А. Библиографическая эвристика. - Электронный ресурс: http://www. hi-edu....
-
Общие понятие и содержание методов философии - Актуальные вопросы философии
Основными методами философии (путями, средствами, с помощью которых осуществляется философское исследование) являются: диалектика; метафизика; догматизм;...
-
"Светильник для тела есть око. Итак, если око твое будет чисто, то все тело твое будет светло; Если же око твое будет худо, то все тело твое будет темно....
-
Абдукция и объяснительные гипотезы - Методы и формы научного познания
Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914) может считаться основателем современной общей семиотики. Пирс был универсальным гением, ему принадлежат работы во многих...
-
Логические методы познания, Анализ и синтез - Методология научного познания
К логическим методам познания относятся: анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, аналогия, абстра-гирование, обобщение, конкретизация,...
-
Научное исследование - Виды научных исследований и их структура
Формой осуществления и развития науки является научное исследование, т. е. изучение с помощью научных методов явлений и процессов, анализ влияния на них...
-
Философские и общенаучные методы научного исследования - Методология, принципы и методы исследования
Среди всеобщих (философских) методов наиболее известными являются диалектический и метафизический. Общелогическими методами являются анализ, синтез,...
-
Любое научное исследование осуществляется определенными приемами и способами, по определенным правилам. Учение о системе этих приемов, способов и правил...
-
Анализ и синтез - Теоретические методы исследования, их характеристика
Анализ (от греч. analysis --разложение, расчленение) -- в научном исследовании процедура мысленного разделения объекта (явления, процесса), свойства...
-
Индукция и дедукция - Теоретические методы исследования, их характеристика
Индукция и дедукция -- два важнейших типа умозаключений, которые совершает исследователь. По-латыни индукция означает наведение (в данном случае,...
-
Системный метод исследования - Методы и формы научного познания
Существенное место в современной науке занимает системный метод исследования или (как часто говорят) системный подход. Этот метод и стар и нов. Он...
-
АНАЛОГИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ - Общенаучные методы исследования
Под Аналогией понимается подобие, сходство каких-то свойств, признаков или отношений у различных в целом объектов. Установление сходства (или различия)...
-
Постструктурализм и постмодернизм - два сходных между собой философских и культурологических течения, получивших наиболее широкое распространение начиная...
-
Заключение - Исследование двух типов времени Аристотеля и их отражения в природе
Модель стационарной системы не была прорисована в культуре Древней Греции достаточно четко и определенно. Попытаемся выяснить причины. Если мы сошлемся...
-
В своей книге "Общество риска" У. Бек подробно останавливается на проблеме взаимоотношений полов во времена модернизации и равноправия. Бек задается...
-
Платон наиболее ясно выразил важный для него понимания античной модели здоровья постулат: в деле оздоровления душа и тело должны взять на себя...
-
ТАЙНА СВЯТОГО ЛИКА - Метод: эмпирия
В 1848 г. итальянский фотограф Секондо Пиа впервые сфотографировал Туринскую плащаницу и, проявив негатив, увидел на фотопластинке позитивное изображение...
-
Научная проблема как основа научного творчества - Методы и формы научного познания
Эмпиризм Основоположником эмпиризма является Фрэнсис Бэкон (1561-1626). По Бэкону, традиционные учения представляют собой не более чем набор бесполезных...
-
Дедуктивный метод Р. Декарта - Дедукция как метод науки и его функции
В Новое время заслуга преобразования дедукции принадлежит Рене Декарту (1596-1650). Он критиковал средневековую схоластику за ее метод дедукции и считал...
-
Анализ как метод научного познания Анализ - логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически )...
-
Деление и классификация научных исследований - Виды научных исследований и их структура
По целевому назначению научные исследования бывают теоретические и прикладные. Теоретические исследования направлены на создание новых принципов. Это...
-
Обратимся теперь к неокантианству и Максу Веберу. Неокантианство[103] - крупнейшее философское течение в истории немецкой общественно-исторической мысли...
-
Трудно определить, с какого мыслителя следует начинать изложение истории методологического знания в экономической науке. Например, авторы учебника...
-
Экономическая методология возникает не на пустом месте. В теме 2 мы показали, что разработка экономической методологии идет как бы в двух направлениях:...
-
Можно выделить три основных этапа исследования в экономической науке: а) определение научной проблемы; б) выдвижение гипотез; в) создание теории на базе...
-
ИНДУКЦИЯ И ДЕДУКЦИЯ - Общенаучные методы исследования
Индукция (от лат. Inductio -- наведение, побуждение) есть формальнологическое умозаключение, которое приводит к получению общего вывода на основании...
-
Абстракция и конкретизация - Теоретические методы исследования, их характеристика
Абстракция по-латыни значит "отвлечение" (одного от другого, части от целого). Благодаря абстракции происходит мысленное выделение существенного в...
-
Заключение, Список использованных источников - Методология, принципы и методы исследования
Организация и проведение научного исследования невозможны без опоры на научную методологию, без использования соответствующих методов. В конечном итоге,...
Теплоемкость твердых тел: пределы низких и высоких температур. Приближение Эйнштейна. Приближение Дебая - Методы исследования теплоемкости материалов