Георг Кантор о бесконечном множестве чисел - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел
Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор сказал: "Бесконечное множество есть многое, мыслимое нами как единое" [3, стр. 48].
Георг Кантор обнаружил, что свойства конечных и бесконечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие операции, невозможные для конечных множеств, без труда выполняются для бесконечных. "Попробуйте, например, поместить в гостиницу, каждый номер которой занят одним постояльцем, еще жильцов, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек. Не получается? Так это только потому, что число номеров в гостинице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров? Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах межзвездного скитальца Йоца Тихого.
Первый вопрос - вопрос о сравнении друг с другом бесконечных множеств. Для конечных множеств задача сравнения решается просто. Чтобы узнать, одинаково ли число элементов в двух множествах, достаточно пересчитать их. Если получатся одинаковые числа, то, значит, в обоих множествах поровну элементов. Но для бесконечных множеств такой способ не годится, ибо, начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы рискуем посвятить этому делу всю свою жизнь и все же не закончить начатого предприятия.
Итак, пусть у нас даны два множества А и В, Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие, если элементы этих множеств объединены в пары (а, b) так, что:
- 1) элемент а принадлежит множеству А, а элемент b - множеству В; 2) каждый элемент обоих множеств попал в одну и только одну пару [10, стр. 34].
Нетрудно доказать следующие теоремы:
Мощность бесконечного множества, не изменяется от прибавления к нему счетного множества.
Мощность несчетного множества не меняется от удаления из него счетного множества.
Эти теоремы еще раз подтверждают, что счетные множества - самые малые из бесконечных множеств.
Все построенные до сих пор множества оказались счетными. Это наводит на мысль: а не являются ли вообще все бесконечные множества счетными? Если бы это оказалось так, то жизнь математиков была бы легкой: все бесконечные множества имели бы поровну элементов и не понадобился бы никакой анализ бесконечности. Но выяснилось, что дело обстоит куда сложнее: несчетные множества существуют и притом могут иметь самые разные мощности. Одно несчетное множество всем хорошо знакомо - это множество всех точек на прямой линии. Но прежде чем говорить об этом множестве, мы расскажем о другом, тесно связанном с ним множестве Л вариантов заполнения необыкновенной гостиницы" [6, cтр. 53-63].
Георг Кантор пришел к выводу, что бесконечное множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем бесконечное множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают. Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие бесконечные множества называют множествами мощности континуума (от латинского continuum - непрерывный).
Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ" [8, стр. 25].
Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия потенциальной бесконечности. Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности "дурной бесконечностью" и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде "несобственно-бесконечного", принесли весьма большую пользу, так как они "доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых и в теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин" [6, стр. 80]. Но как бы ни была велика ценность для науки "потенциальной бесконечности", эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной - то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.
Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно "мыслить. бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке". Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть "собственно-бесконечным" или "актуально бесконечным".
Кантор сделал наблюдение, что бесконечные реальные целые числа не относятся к "потенциальной бесконечности", к "несобственно-бесконечному". Обнаружилось, что им присущ тот же характер определенности, с каким мы имеем дело при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также относятся к видам "собственно-бесконечного", или к "актуальной бесконечности". Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противостоит, одинокая, всем расположенным на конечных расстояниях точкам, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем "не просто одно-единственное бесконечное целое число, но бесконечный ряд подобных чисел, которые резко отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам".
Кантор вводит также арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. Для бесконечных мощностей он установил и операцию возведения в степень с бесконечным показателем. Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного, а также свойства конечных и бесконечных множеств различны.
Похожие статьи
-
В 1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано "Парадоксы бесконечного", в которой он сделал первую попытку...
-
Заключение - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел
Понятие бесконечной величины таинственное и загадочное с одной стороны, манящее и привлекающее своей неизученностью с другой. Философы издавна...
-
Одним из характерных представителей ренессансной философии был Николай Кузанский (1401-1464). Как и большинство философов его времени, он ориентировался...
-
Зенон получил наибольшую известность за создание опорий, в переводе означающих противоречия. Благодаря им почти каждый последующий философ упоминал его...
-
В учении о бесконечном Аристотелю принадлежит заслуга различения потенциальной и актуальной бесконечности, что он мог сделать, поскольку ввел в философию...
-
Введение - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел
Понятие бесконечности является одним из наиболее важных и в то же время "таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались...
-
Любовь в искусстве, Любовь как способ существования - Любовь в истории философии
Любовь всегда была и остается главной темой искусства. В талантливо исполненном графическом портрете или на холсте всегда раскрывается что-то очень...
-
"Конституция разума", которую написал Кант, оказалась не слишком эффективной. Она предложила лишь один, универсальный рецепт решения научных споров -...
-
Учение о материи, Учение о человеческой свободе - История возникновения и развития философии
Основным модусом протяженной субстанции (материи) является Движение. Частицы протяжения, тела, различаются друг от друга не веществом, из которого они...
-
Любовь в современном мире - Любовь в истории этической мысли
Перейдем теперь к такому важному разделу, такому как любовь в современном мире. Конечно, она не такая как в восемнадцатом веке, что нового и что осталось...
-
Философское учение Пифагора - Философские взгляды Пифагора
Существует понятие, что философия - наука о неизвестном. Она освещает нам темноту неясного, раскрывает содержание возможного и указывает пути и границы...
-
Слово "субстанция" по-латински означает "то, что лежит в основе", "подлежащее". Свою субстанцию Спиноза называет еще Природой и Богом. Спиноза определяет...
-
Спор вокруг короткого времени - История и другие науки о человеке
Конечно, все это банальные истины. Однако социальные науки совсем не прельщались поиском утраченного времени. Не то чтобы им можно объявить окончательный...
-
Идеи гуманизма в ибероамериканских культурах: история и современность
ИДЕИ ГУМАНИЗМА В ИБЕРОАМЕРИКАНСКИХ КУЛЬТУРАХ: История и современность О гуманистических тенденциях в ибероамериканском мире мы можем судить прежде всего...
-
Реалистическая логика Аристотеля - История возникновения и развития философии
Попытавшись заглянуть в самую сущность вещей, скрытую за "скорлупой" их материального бытия, Платон истолковал идеи мистически, - к такому выводу...
-
Диалектика: история и современность, Объективная диалектика - Диалектика: история и современность
Диалектика имеет давнюю историко-философскую традицию. Возникнув в наиболее развитой форме в античной философии, она существует и поныне в радикально...
-
Трудно назвать такую философскую школу или такого философа, которые обходились бы без термина "материя". Поэтому неудивительно, что этот термин...
-
Понятие материи в науке - История возникновения понятия "материя" в философии
Как нам уже известно, из выше сказанного древние философы понимали под материей первооснову мира, тот "строительный материал", из которого состоит все...
-
История возникновения буддизма - Этика Буддизма
Буддизм -- первая по времени возникновения мировая религия. Другие мировые религии появились значительно позднее: христианство возникло приблизительно...
-
Любовь в истории философии - Любовь в истории философии
Тема любви в архаической культуре. Когда биологи, изучающие геном человека, доказали, что все ныне живущее человечество происходит от одной-единственной...
-
Проблема человека в истории философии - Природа человека и смысл его существования
Философия онтогенетический личность человечество Что такое человек? Вопрос, на который не так просто ответить, как это кажется на первый взгляд....
-
Философия пифагорейцев - Элеатская и пифагорейская школы
В то время, как одни греческие философы - от Фалеса до Демокрита - жили и работали в Ионии, другие обосновались в западных ионийских колониях, в Италии....
-
Периодизация истории техники - Философские проблемы техники
Совершенствование орудий труда Техника - это один из способов истории соединять свои времена. Техника основана на знании прошлого, и она дает гарантию...
-
В самом начале VI века до новой эры в греческих городах-колониях Ионии, что на юго-западном побережье Эгейского моря, возникают одна за другой первые в...
-
Первичной формой мышления, возникшей задолго до философии, была Мифология . Философское мышление возникает из мифологического и вместе с тем разрушает...
-
Назовите и охарактеризуйте основные школы в античной философии - Античная и марксистская философия
Античный философия марксистский ленин Античная философия -- философия древних греков и древних римлян, охватывающая период с VI в. до н. э. до VI в. н....
-
Во-первых, на единстве процессов анализа и синтеза основан процесс образования понятий. Во-вторых, в теоретическом научном знании синтез выступает в...
-
Общие требования к спору - Искусство убеждать
Очевидно, что не существует такого общего перечня требований, которому удовлетворяли бы все четыре разновидности спора. Софистика, т. е. спор за...
-
История философии Философия столь же древняя, как и религия, и древнее, чем любая церковь. Философия взросла благодаря высоте и чистоте ее отдельных...
-
Пространство и время в структуре движения - Философское понимание мира
Из сущности изложенной концепции движения вытекает, что оно имеет пространственно-временную структуру. Какие же характеристики бытия отражаются понятиями...
-
Роль личности в истории одна из коренных проблем философии и социологии. Личность -- понятие, выработанное для отображения социальной природы человека,...
-
Смысл истории - Философии истории Карла Ясперса
Уже из самого названия легко определить круг вопросов, о которые идется в этом разделе: это, прежде всего, роль и значение истории, ее характерные...
-
Проблема единства мира - Философия: основные идеи и принципы
Основной вопрос философии -- это вопрос о единстве мира. Различные направления философии, различные философские школы и единичные философские системы...
-
Д. БЕРКЛИ - Бытие как начальная категория философии
Гилас. Во вчерашней беседе тебя изображали так, как будто ты защищаешь самое сумасбродное мнение, какое только может проникнуть в человеческий ум, --...
-
История и структура повседневности - Человек в повседневности
Еще в начале XX века философия экзистенциализма (М. Хайдеггер) выявила тему повседневного существования человека в мире. Повседневность - это не только...
-
Типология любви - Любовь в истории философии
С древнейших времен трактовка любви имела различные основания для типологии. Так древнекитайская типология любви, основанная на критерии ее предмета...
-
Материя и мышление, История учений о материи - История возникновения и развития философии
История учений о материи Слово "материя" происходит от латинского materia, а то, в свою очередь, от греческого hylз, - то и другое сперва означало "лес,...
-
Рассудок, Разум - История возникновения и развития философии
Рассуждение, доказательство, логический анализ - все это различные формы действия рассудка. Инструментами, с помощью которых он действует, являются...
-
Чувственное восприятие Чувственное восприятие у человека протекает в формах Воображения, Представления И Интуиции. Воображение занимается формированием...
-
Общая тенденция философской мысли Классическая философская традиция оборвалась на Гегеле примерно к середине ХIХ века. Начинается время Неклассической...
Георг Кантор о бесконечном множестве чисел - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел