Больцано "Парадоксы бесконечного" - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел

В 1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано "Парадоксы бесконечного", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности.

Б. Больцано признавал существование бесконечной величины, изучал ее и пришел к выводу: "Само название показывает, что бесконечное противопоставляется всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим название бесконечного из названия конечного указывает, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного вследствие присоединения к нему новой составной части (такой частью является понятие о простом отрицании" [4, стр. 140].

Это, столь известное математикам, понятие о бесконечном не удовлетворяет однако некоторых философов, особенно философов новейшего времени, как Гегеля и его последователей. Они называют его презрительно плохим бесконечным и думают, что знают несравненно более высокое, истинное, качественное бесконечное, которое они находят только в Боге и вообще в абсолюте. Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой либо предмет, которому он был бы вправе приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете, в каком-либо отношении, бесконечной величины или бесконечного количества. Если я могу доказать, что даже говоря о Боге, которого мы рассматриваем как всесовершенно единое, можно указать такие точки зрения, с которых мы видим в нем бесконечное количество, и что эти-то точки зрения и позволяют приписывать ему бесконечность, то вряд ли нужно доказывать дальше, что подобные соображения лежат также в основе всех остальных случаев, где правильно употребляется понятие о бесконечности. Я же говорю: мы называем Бога бесконечным, потому что мы должны признать, что он владеет силами более, чем одного рода, имеющими бесконечную величину.

Математик позволяет себе прибавлять к каждой величине, также и к бесконечно большой, еще другие величины, и не только конечные, но даже и бесконечные; он даже повторяет бесконечную величину бесконечное число раз и т. д. Если некоторые и спорят еще о том, законно ли это, то какой математик - если только он не отрицает все бесконечное - откажется признать, что длина прямой, ограниченной с одной стороны, но простирающейся в бесконечность с другой, бесконечна, и может быть, несмотря на это, увеличена прибавлениями с первой стороны.

Мы говорим о бесконечно больших и бесконечно малых величинах, если под бесконечно большой величиной подразумевается лишь такая величина, которая при раз положенной в основание единице является целым, по отношению к которому каждое конечное множество этих единиц составляет только часть; а под бесконечно малой величиной подразумевается такая, по отношению к которой сама единица является целым, частью которого будет каждое конечное множество этих величин. Множество всех чисел является неоспоримым примером бесконечно большой величины. Я говорю: величины, а не бесконечно большого числа, потому что, как мы уже заметили в предыдущем параграфе, никак нельзя назвать числом это бесконечно большое множество. Если же величину, бесконечно большую по сравнению с другой величиной, взятой за единицу, мы примем за единицу и станем ею измерять ту величину, которую мы прежде принимали за единицу, то эта последняя представится нам бесконечно малой.

Уже само понятие исчисления бесконечности кажется заключающим в себе противоречие. Действительно, исчислить - значит попытаться определить с помощью чисел. Но как же возможно пытаться определить с помощью чисел бесконечное, то бесконечное, которое, по нашему собственному определению, должно представлять из себя нечто, состоящее из бесконечно многих частей, т. е. такое многообразие, которое больше всякого числа, и которое, поэтому, не может быть определено никаким числом? Это сомнение исчезнет однако, как только мы сообразим, что правильное исчисление бесконечного имеет целью не вычисление того, что в бесконечности неопределимо никаким числом (а именно, не вычисление бесконечного множества самого в себе): целью этого исчисления является определение отношения между одним бесконечным и другим, что выполнимо. Кто признает существование бесконечных множеств, а следовательно, и бесконечных величин вообще, тот не станет оспаривать существование бесконечных величин, очень различных по размерам. Эти немногие примеры показали уже в достаточной степени, что существует исчисление бесконечно большого; точно также существует и исчисление бесконечно малого [10, стр. 57].

Итак, если мы не желаем впадать в заблуждение в наших вычислениях бесконечного, то мы не должны никогда позволять себе считать, что две бесконечно большие величины, происшедшие от сложения членов двух бесконечных рядов, равны или что одна больше или меньше другой на том только основании, что каждый член одного ряда соответственно равен, больше или меньше некоторого члена другого ряда. Столь же мало мы имеем право считать одну сумму большей только потому, что она заключает все члены другой суммы и, кроме того, еще много, даже бесконечно много, других (положительных) членов, которых нет в другой сумме. Несмотря на все это, первая сумма может быть меньше, даже в бесконечное число раз меньше, чем вторая. Пример этого представит нам очень известная сумма квадратов всех натуральных чисел.

Каждое бесконечное многообразие, не только многообразие точек, образующих линию, может быть разложено на части, которые сами заключают бесконечные многообразия, даже на бесконечное число таких частей. Действительно, если означает бесконечное многообразие, то /2, /4, /8. также будут бесконечными многообразиями. Это заключается в понятии бесконечного.

Хочется обратить внимание на то, что множество точек, которое заключает в себе хотя бы самая короткая прямая az, должно быть рассматриваемо, как множество, которое в безконечно большое число раз больше бесконечного же множества, получаемого из первого следующим образом: начиная с одного из концов, с точки a, берем в надлежащем расстоянии вторую точку b, за нею, в меньшем расстоянии, третью точку c, и так продолжаем без конца, уменьшая эти расстояния по такому закону, чтобы бесконечное их множество в сумме было равно или меньше расстояния az. Прямой, простирающейся бесконечно в обе стороны, мы должны приписать бесконечную длину и множество точек, которое будет в бесконечное число раз больше, чем множество точек прямой, принятой за единицу и равной E.

Таким образом, философ и математик Больцано впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, разработал ее свойства и привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечую величину бесконечным множеством, так как он не мог представить ее в виде числа, ведь по его словам число само по себе есть конечное. Больцано различал актуальную и потенциальную бесконечность. Под актуальной бесконечностью он понимал "количество большее, чем каждое конечное, т. е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его". Он исследовал свойства актуальной бесконечности. Потенциальная бесконечность определяется из следующего высказывания Больцано " я присоединяюсь к тем, кто находится в в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности." Он попытался ответить на многие вопросы, связанные с таинственным бесконечным. В его книге были предвосхищены многие понятия теории бесконечных множеств, однако они не получили еще той точности и ясности, которая была придана им через два десятилетия в работах Г. Кантора.

Похожие статьи




Больцано "Парадоксы бесконечного" - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел

Предыдущая | Следующая