Заключение - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел

Понятие бесконечной величины таинственное и загадочное с одной стороны, манящее и привлекающее своей неизученностью с другой. Философы издавна задумывались о существовании бесконечности, рассматривали ее с различных сторон, но мало кто исследовал бесконечную величину и ее свойства.

Одними из первых, кто употребил бесконечную величину в своих работах, были основатели атомизма Левкипп и Демокрит. Они ввели неделимую частицу вещества - атом и полагали, что число атомов бесконечно. Атомы бесконечно разнообразны по форме и, двигаясь в бесконечном пространстве, сталкивались между собой и, соединяясь образовывали сложные тела. Но Левкипп и Демокрит употребили бесконечную величину для построения своей философской картины мира и не исследовали ее свойства.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Но признавал потенциальную.

Николай Кузанский использовал бесконечную величину для построения своей философской картины мира, выявил новые свойства бесконечной величины и сопоставил актуальную и потенциальную бесконечность. Он считал, что единое есть все, единому ничего не противоположно, следовательно единое тождественно бесконечному.

Б. Больцано в книге "Парадоксы бесконечного" сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности. Он впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, разработал ее свойства, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечную величину бесконечным множеством, так как он не мог представить ее в виде числа, ведь по его словам число само по себе есть конечное.

Георг Кантор разделил потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида". Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным".

Таким образом, место становящейся, потенциальной бесконечности в математике занимает бесконечность завершенная, актуальная. Однако такое уподобление бесконечного множества конечному впоследствии привело к парадоксам и вызвало новый кризис оснований математики. Трудности, возникающие при рассмотрении математической бесконечности, по-видимому, связаны с противопоставлением бесконечного и конечного, которые выражают в идеализированной форме разные, но взаимосвязанные аспекты реальной бесконечности. Потенциальная бесконечность в абстрактном виде отображает становление и возникновение, актуальная бесконечность - его результат, бытие.

Похожие статьи




Заключение - История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел

Предыдущая | Следующая