Построение математической модели зависимости эффективности функционирования транспортного терминала от количества постов обслуживания - Моделирование транспортных процессов

При изучении любого процесса методом моделирования в первую очередь необходимо построить математическое описание или математическую модель изучаемого процесса и определить величины, характеризующие процесс с количественной точки зрения.

Математическая модель - это результат формализации процесса, т. е. построение четкого формального (математического) описания с необходимой степенью приближения к действительности. Математические модели представляются в форме уравнений. Недостатком такого метода является необходимость вводить грубые аппроксимации с целью нахождения приемлемого решения. К преимуществам таких моделей следует отнести простоту, большую глубину исследования и прогноза поведения системы при серьезных изменениях в исходных концепциях, а также низкую стоимость.

Транспортный поток, движущийся по дорожной сети, состоит из множества автомобилей, которые управляются по более или менее свободному желанию водителей и маневры каждого автомобиля могут быть расценены как вероятностные события.

Недетерминированной (вероятностной, стохастической) является такая модель, в которой функционирование отдельных элементов или входные значения зависят от случайных параметров, т. е. описываются законами распределения случайных величин. Результат функционирования такой модели может быть предсказан только в вероятностном смысле, т. е. представляет собой среднее значение (математическое ожидание) или закон распределения.

Если обсуждаются условия, влияющие на безопасность движения на дороге или стартовые характеристики автомобилей, начинающих движение от регулируемого перекрестка, необходимо занимать вероятностную позицию и использовать, так называемые микроскопические модели, которые представляют движение отдельных автомобилей. Однако в случаях, часто наблюдаемых в большом городе или на скоростной дороге, когда много автомобилей движутся в группе (порционно), транспортный поток может быть рассмотрен как детерминированный и непрерывный (макроскопические модели).

Детерминированная модель - аналогическое представление закономерностей системы, при котором для заданного множества входных значений может быть получен на выходе только один единственный результат. Например, скорость движения автомобиля на заданном участке продольного профиля автодороги может быть определена в результате решений дифференциальных уравнений движения автомобиля. Тогда детерминированной моделью являются дифференциальные уравнения.

В курсовом проекте необходимо построить математическую модель, позволяющую установить зависимость между количеством постов транспортного терминала и наибольшей прибылью. Данная модель будет построена на основе использования метода наименьших квадратов.

Применение метода наименьших квадратов позволяет на основе выборки (хI;yI), I=1...n, полученной в результате расчетов в курсовой работе построить математическую модель зависимости экономической эффективности работы транспортного терминала от количества постов обслуживания в сложившихся условиях. В нашем случае в качестве переменной Х будем принимать количество постов обслуживания, но необходимо учитывать только те посты при которых наблюдается рост прибыли от выполняемой деятельности, а в качестве выходного параметра Y экономическую эффективность работы терминала. В результате имеем, что зависимость между Х и У носит линейный характер.

Следовательно, мы имеем случай простой линейной регрессии и искомая модель будет иметь вид:

(1)

Установим зависимости определения значения оценок параметров a и b.

(2)

Формула описывает модель простой регрессии: где а и b определены по формулам (2).

Обозначим:

(3)

Тогда решение уравнений (2) можно представить в виде:

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (4) находим:

(7)

Аналогично из уравнения (6) получаем:

(8)

Таким образом:

, (9)

Из уравнений (7) и (8) находим:

(10)

Уравнения (7) и (10) дают оценку точности коэффициентов, определенных по уравнениям (2).

Уравнения (7), (10) позволяют найти оценку для ошибки у, которую дает уравнение (1) в произвольной точке х, если коэффициенты а и b найдены по уравнениям (2). Из уравнений (1), (8), (10) находим:

(11)

Расчет данной модели производится с помощью приложения "Microsoft Excel". Результаты расчетов сводятся в таблицу:

Таблица 15

Зависимость эффективности функционирования транспортного терминала от количества постов обслуживания

Х

У

Ху

Х^2

У^2y

Xi-xср

(xi-xср)^2

1

32225,09225

32225,09225

1

3640,862

-31,5

992,25

2

64422,12724

128844,2545

4

3427,15

-30,5

930,25

3

96589,61137

289768,8341

9

3220,331

-29,5

870,25

4

128725,9473

514903,7892

16

3020,407

-28,5

812,25

5

160829,4252

804147,1262

25

2827,377

-27,5

756,25

6

192898,2132

1157389,279

36

2641,241

-26,5

702,25

7

224930,3465

1574512,425

49

2461,998

-25,5

650,25

8

256923,716

2055389,728

64

2289,65

-24,5

600,25

9

288876,0552

2599884,496

81

2124,195

-23,5

552,25

10

320784,9262

3207849,262

100

1965,634

-22,5

506,25

11

352647,7039

3879124,742

121

1813,968

-21,5

462,25

12

384461,5586

4613538,704

144

1669,195

-20,5

420,25

13

416223,4373

5410904,685

169

1531,316

-19,5

380,25

14

447930,0417

6271020,583

196

1400,331

-18,5

342,25

15

479577,8053

7193667,079

225

1276,241

-17,5

306,25

16

511162,8671

8178605,874

256

1159,044

-16,5

272,25

17

542681,0428

9225577,728

289

1048,741

-15,5

240,25

18

574127,7923

10334300,26

324

945,3314

-14,5

210,25

19

605498,1843

11504465,5

361

848,8163

-13,5

182,25

20

636786,8563

12735737,13

400

759,1951

-12,5

156,25

21

667987,9701

14027747,37

441

676,4678

-11,5

132,25

22

699095,1629

15380093,58

484

600,6345

-10,5

110,25

23

730101,4923

16792334,32

529

531,6951

-9,5

90,25

24

760999,3745

18263984,99

576

469,6496

-8,5

72,25

25

791780,5166

19794512,91

625

414,4981

-7,5

56,25

26

822435,8404

21383331,85

676

366,2405

-6,5

42,25

27

852955,3977

23029795,74

729

324,8769

-5,5

30,25

28

883328,2759

24733191,73

784

290,4072

-4,5

20,25

29

913542,4933

26492732,31

841

262,8314

-3,5

12,25

30

943584,8826

28307546,48

900

242,1496

-2,5

6,25

31

973440,9619

30176669,82

961

228,3617

-1,5

2,25

32

1003094,792

32099033,34

1024

221,4678

-0,5

0,25

34

1061723,698

36098605,73

1156

228,3617

1,5

2,25

36

1119308,559

40295108,11

1296

262,8314

3,5

12,25

37

1147649,129

42463017,77

1369

290,4072

4,5

20,25

38

1175651,273

44674748,36

1444

324,8769

5,5

30,25

39

1203283,545

46928058,26

1521

366,2405

6,5

42,25

40

1230511,346

49220453,85

1600

414,4981

7,5

56,25

41

1257296,654

51549162,79

1681

469,6496

8,5

72,25

42

1283597,757

53911105,8

1764

531,6951

9,5

90,25

43

1309369,008

56302867,32

1849

600,6345

10,5

110,25

44

1334560,589

58720665,92

1936

676,4678

11,5

132,25

45

1359118,337

61160325,15

2025

759,1951

12,5

156,25

46

1382983,62

63617246,53

2116

848,8163

13,5

182,25

47

1406093,323

66086386,2

2209

945,3314

14,5

210,25

48

1428379,952

68562237,72

2304

1048,741

15,5

240,25

49

1449771,914

71038823,78

2401

1159,044

16,5

272,25

50

1470194,004

73509700,22

2500

1276,241

17,5

306,25

51

1489568,161

75967976,22

2601

1400,331

18,5

342,25

52

1507814,516

78406354,84

2704

1531,316

19,5

380,25

53

1524852,797

80817198,24

2809

1669,195

20,5

420,25

54

1540604,094

83192621,1

2916

1813,968

21,5

462,25

55

1554993,007

85524615,4

3025

1965,634

22,5

506,25

56

1567950,131

87805207,31

3136

2124,195

23,5

552,25

57

1579414,823

90026644,89

3249

2289,65

24,5

600,25

58

1589338,129

92181611,46

3364

2461,998

25,5

650,25

59

1597685,696

94263456,06

3481

2641,241

26,5

702,25

60

1604440,464

96266427,83

3600

2827,377

27,5

756,25

61

1609604,881

98185897,76

3721

3020,407

28,5

812,25

62

1613202,403

100018549

3844

3220,331

29,5

870,25

63

1615278,032

101762516

3969

3427,15

30,5

930,25

64

1615897,758

103417456,5

4096

3640,862

31,5

992,25

По результатам расчетов предыдущей таблицы посчитаем следующие значения так же при помощи приложения "Microsoft Excel".

Таблица 16

Таблица коэффициентов

А

29587,87

B

26957,53

SХ2

341,25

5,33

7451,51

Z

1397,5

На основании уравнений (9), (12) и (14) можно сделать следующие выводы:

    1. Точность коэффициентов a и b тем выше, чем больше sX т. е. чем больше рассеивание опытных точек на оси x. 2. Точность коэффициента b тем выше, чем меньше

3. Ошибка уравнения (1) наименьшая в точке, где, и наибольшая в точках, где величина имеет наибольшее значение.

Похожие статьи




Построение математической модели зависимости эффективности функционирования транспортного терминала от количества постов обслуживания - Моделирование транспортных процессов

Предыдущая | Следующая