Символическая логика
СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Символическая логика - это раздел формальной логики, в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка.
Термин "символическая логика" впервые применил для обозначения нового этапа в развитии логики английский логик Дж. Венн, опубликовавший в 1881 году под таким названием книгу. Наряду с термином "символическая логика" в настоящее время широко используется также термин "математическая логика". Хотя эти два термина часто отождествляются, термин "символическая логика" гораздо шире термина "математическая логика", подразумевающего изучение только тех типов логических рассуждений, которыми пользуются математики.
Принято считать, что символическая логика - следующая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов, и исследующая мышление с помощью исчислений. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика, развивавшаяся в рамках философии. Новые методы дали логике такие преимущества, как высокая точность формулировок, возможность изучения более сложных, с точки зрения логической формы, объектов. Многие проблемы, исследуемые в символической логике, вообще невозможно было сформулировать с использованием только традиционных методов.
Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном (формализованном) языке. Такие точные языки имеют две составляющие: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами).
Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие - нет.
Уже в Античности (в частности Аристотелем) широко применялись буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в XVII веке Г. В. Лейбницем.
Однако только к середине XIX века стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития науки того времени.
С одной стороны, значительные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа, основоположником которой можно считать А. де Моргана, который в 1847 году опубликовал книгу "Formal Logic, or The Calculus of Inference, Necessary and Probable". Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля.
В 1847 году он публикует брошюру "Mathematical Analaysis of Logic", а в 1854 - свой главный труд по логике "An Investigation into the Laws of Thought, on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities". Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулем, универсальным классом и единицей.
Работы Буля 1847 и 1854 годов можно считать началом алгебры логики, первоначальный этап развития которой был завершен Э. Шредером в трехтомной монографии "Vorlesungugen uber die Algebra der Logik" (1890-1905). С другой стороны, возникновение и развитие символической логики связано с работами Г. Фреге и Ч. С. Пирса. После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 году ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании.
Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в "Begriffsschrift" (лучшая книга по символической логике XIX века) изобрел символическую запись для строгих рассуждений.
Хотя его нотация сейчас совсем не используется (например, формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов.
Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов. Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия "доказательство", которое является общепринятым и по сей день. Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж. Пеано, чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его широко известный труд "Formulaire de mathematiques", опубликованный (в соавторстве) в 1894-1908 годах, был нацелен на развитие математики в ее целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А. Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их широко известной трехтомной "Principia Mathematica" (1910-1913), а затем воспринята Д. Гилбертом. Таким образом, был введен в употребление во всем мире символический язык, где появляются логические знаки:
- - отрицания: ~; - конъюнкции: &;; - дизъюнкции: ?; - импликации: ?; - кванторов всеобщности: ?; - кванторов существования: ?.
Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке XIX века возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны.
Одной из таких проблем была недоказуемость пятого постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами. Основным стимулом развития символической логики в начале XX века была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел.
Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Таким образом, вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 году математический мир был потрясен простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в первом томе "Оснований арифметики" (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V).
Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств стало возникновение четырех направлений в основаниях математики:
- 1. Логицизм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество); 2. Интуиционизм (нужна новая логика); 3. Теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теории множеств ZF (вводятся ограничения на образование множеств); 4. Формализм (программа Гилберта).
Как отмечает Э. Мендельсон: "Какой бы мы, однако, не избрали подход к проблеме парадоксов, следует сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются термы, формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода.
В этом состоит одна из задач математической логики" (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. - М.: 1984, с. 11).
Развитие и применение мощного технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Гилберта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости, то есть доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида А вместе с формулой ~А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств, после чего, считал Гилберт, используя только финитные методы, можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и таким образом решить проблему оснований математики. Однако результат К. Геделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гилберта невыполнима. Эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, то есть всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г. Генценом (1936).
Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула Аиз некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости явилось основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Черча-Тьюринга, утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, явилось важнейшим достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы.
И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей, которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой, и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула А не может быть дедуцирована из определенного множества постулатов или, если А есть аксиома, то показать недоказуемость Аиз остальных аксиом системы, к которой А принадлежит (если это возможно).
Тогда А является независимой аксиомой.
Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. Так, в предисловии к "Handbook of Mathematical Logic" (1977) Дж. Барвайс пишет: "Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств".
В свою очередь в "Encyclopedia Britanica" (CD-1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы "четырьмя главными областями исследования". Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются частью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в "метаматематику" (термин Гилберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики.
Развитие современной логики показывает, что термин "символическая логика" гораздо шире термина "математическая логика", где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно.
Особенное свойство символической логики заключается в том, что она является рефлексивной наукой.
Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь это результаты Геделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, то есть логики предикатов. Поэтому последняя, будучи весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть ее, неполна, то есть в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Геделя о неполноте, 1931).
Более того, неполнота арифметики принципиальна, то есть подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость.
Итог этой рефлексии революционен, так как поставлен вопрос о самом статусе математики: может ли она основываться на глубоко скрытых противоречиях? Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу XX века критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики. Дело в том, что в отличие от математики, рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов неклассических логик. логика символический философский
О единстве символической логики не может быть и речи, столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик.
Происходит структурализация исходных понятий логики и семантики, а именно структурализация самих истинностных значений и точек соотнесения в семантике возможных миров в виде различных алгебраических структур. Что приписывается высказыванию? Чем является высказывание? Что собой представляют логические операции над этими высказываниями? Это становится все большей проблемой. Возникает вопрос об иерархии, взаимоотношениях и классификации всех этих логик (что сделать невозможно) или хотя бы их определенных классов.
Становится все более ясным, что компьютеры, в основе которых лежит классическая логика, какой бы вычислительной мощностью они не обладали, никогда не приблизятся к логике человека, создавшего эти компьютеры. Все эти проблемы уже принадлежат XXI веку.
Похожие статьи
-
Логика и методология - Аристотель как учитель человечества
Аристотель - признанный основатель логики. Правда, не он дал науке это имя, однако уже в его трудах логика достигла такого совершенства, что еще в конце...
-
Введение, Основные понятия логики спора - Логические основы спора
Умение рассуждать аргументировано необходимо не только в научной деятельности, но и в повседневной жизни. Знание и владение теорией аргументации помогает...
-
Теория познания и логика - Философское учение Аристотеля
Познание у Аристотеля имеет своим предметом бытие. Основа опыта - в ощущениях, памяти и привычке. Любое знание начинается с ощущений: оно есть то, что...
-
Логика и теория аргументации - Искусство убеждать
Логическая культура, являющаяся важной составной частью общей культуры человека, включает многие компоненты. Но наиболее важным из них, соединяющим, как...
-
Из истории логики - История открытия основных законов формальной логики
Логика имеет долгую и богатую историю, неразрывно связанную с историей развития общества в целом. Возникновению логики как теории предшествовала уходящая...
-
Развитие логики в греко-римский период, Развитие логики в Древней Греции - Развитие логики как науки
Логика наука философия Развитие логики в Древней Греции Вначале логика возникла и развивалась в недрах философии как единой науки, объединявшей всю...
-
Логика отношений - раздел логики, посвященный изучению отношений между объектами различной природы. Эти отношения выражаются сказуемыми и аналогичными им...
-
ВВЕДЕНИЕ - История открытия основных законов формальной логики
Цель каждой науки состоит в том, чтобы открыть законы, с позиций которых можно было бы объяснить то или иное явление. Раз эти законы открыты, то наука...
-
Эристика - наука об искусстве ведения спора - Логика спора
Эристика не является отдельной наукой или разделом какой-то науки. Она представляет собой разновидность "практического искусства", подобного обучению...
-
Одним из важнейших свойств разумного человека является мышление. Согласно Wikipedia "Мышление -- это познавательная деятельность человека. Продуктом или...
-
Закон достаточного основания, Важность закона достаточного основания - Законы логики
Закон достаточного основания, хотя и подразумевался ранее во многих системах логики, таких как у Левкиппа или Аристотеля, был впервые сформулирован...
-
Логика (от греч.: logos - слово, понятие, разум) - наука о формах и законах правильного мышления. Механизм мышления исследуется рядом наук: психологией,...
-
Постпозитивизм - Проблемы формальной логики в западной философско-методологической мысли XX века
Новейшим вариантом позитивизма явился постпозитивизм (вторая половина -- конец XX в.). Его главными представителями считаются К. Поппер (1902 -- 1994),...
-
Махизм - нередко называют "второй формой позитивизма". Его создателями считаются Э. Мах (1836 -- 1916) и Р. Авенариус. Основная идея махизма -- в основе...
-
Греческий термин "логика" (льгпт) удостоился использования во множестве смыслов. Это и мысль, и рассуждение, а такжеречь, если не...
-
Введение необходимо не для иллюстрации важности и особенности дисциплины, а для указания характера и последовательности изложения материала....
-
Закон непротиворечия - Законы логики
Логическое мышление характеризуется непротиворечивостью. Противоречия разрушают мысль, затрудняют процесс познания. Требование непротиворечивости...
-
Основные логические законы, Закон тождества - Законы логики
Среди множества логических законов логика выделяет четыре основных, выражающих коренные свойства логического мышления -- его определенность,...
-
Философская система Гегеля и ее структура, Логика Гегеля - Философия Гегеля
В развитом виде содержание философской системы Гегеля, сжато изложенное в "Энциклопедии философских наук" (1817), состоит в следующем В основе всех...
-
Заключение - Проблемы формальной логики в западной философско-методологической мысли XX века
Говоря о позитивизме в целом, следует сказать, что это сложный, неоднозначный феномен. Во всех своих формах он оказал значительное влияние на...
-
Реалистическая логика Аристотеля - История возникновения и развития философии
Попытавшись заглянуть в самую сущность вещей, скрытую за "скорлупой" их материального бытия, Платон истолковал идеи мистически, - к такому выводу...
-
Правила и ошибки по отношению к демонстрации, Логическая структура вопроса и ответа - Основы логики
Правило: Демонстрация в доказательстве (опровержении) должна быть правильной. Поскольку логическая связь аргументов с тезисом протекает в форме...
-
Аналогия - это умозаключение, в котором на основании сходства предметов в одних признаках делается заключение о сходстве предметов в других признаках. В...
-
Закон противоречия (непротиворечия) - История открытия основных законов формальной логики
Условием истинного познания выступает также требование непротиворечивости мышления. Суть его раскрывается в формально-логическом законе противоречия,...
-
Значение понимания, веры, интуиции в познании и обосновании - Логика спора
Роль интуиции в познании Под интуитивным познанием понимается сфера познания, где процесс накопления и преобразования знания осуществляется посредством...
-
Суждение как форма мышления - Основы логики
Суждение - это форма мысли, посредством которой раскрывается наличие или отсутствие каких-либо связей и отношений между предметами. В рамках силлогистики...
-
Заключение - Развитие логики как науки
Возникая в рамках античной философии как единой, не расчлененной еще на отдельные науки совокупности знаний об окружающем мире, она уже тогда...
-
Законы логики по своей природе относительны, сфера их действия ограничена. Если законы материалистической диалектики распространяются на все области мира...
-
Две "логики" исторического процесса - Коммунизм как культура
Поскольку материалистическое понимание истории и лежащий в его основании "формационный принцип" неразрывно связаны с именами К. Маркса и Ф. Энгельса,...
-
Корректные приемы спора 1) Инициатива Решили вступить в драку - бейте первым! Во всякой борьбе очень ценна инициатива. В споре важно, кто задает его...
-
Задачи и упражнения - Логика спора
1. Установите характер отношений между понятиями: молодой-немолодой, жадный-щедрый, стул-стол, дерево-ветка, ученый-интересный человек, Ленин-Ульянов....
-
Правила и ошибки по отношению к аргументам - Основы логики
Правила: - Аргументы должны быть истинными и доказанными суждениями. - Аргументы обосновываются автономно, т. е. независимо от тезиса. Аргументы должны...
-
Умозаключение по аналогии. Виды аналогий - Основы логики
Значимой характеристикой умозаключения как одной из форм мышления человека является вывод нового знания. При этом в умозаключении вывод (следствие)...
-
Сложное суждение. Импликация, эквиваленция, отрицание. Таблицы истинности - Основы логики
Понятие сложных суждений неразрывно связано с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией и отрицанием. Это так называемые логические связки....
-
Аристотель -- древнегреческий философ классического периода, ученик Платона. Онтология. - учение о бытии: в классической философии Рассматривая проблему...
-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ - История открытия основных законов формальной логики
В своем развитии логика прошла длительный период развития. Важнейшее обстоятельство, способствовавшее выделению логики в самостоятельную отрасль знания,...
-
Закон исключенного третьего следует рассматривать как дальнейшее уточнение требований непротиворечивости, последовательности и определенности,...
-
Сложные силлогизмы, или полисиллогизмы - Основы логики
Сложным силлогизмом или полисиллогизмом, называется последовательность простых силлогизмов, в которой заключение предшествующего силлогизма становится...
-
Закон тождества Закон тождества формулируется следующим образом: каждая объективно истинная и логически правильная мысль или понятие о предмете должны...
-
Заключение - Логика жизненных отношений. Многообразие форм взаимодействия субъекта познания с миром
Логика отношений - раздел логики, посвященный изучению отношений между объектами различной природы. Эти отношения выражаются сказуемыми и аналогичными им...
Символическая логика