Кратномасштабний аналіз - Вейвлет-аналіз як особливий тип лінійного перетворення сигналів та фізичних даних

У практиці передачі інформації часто потрібно представити сигнал у вигляді сукупності його послідовних наближень. Наприклад, при перегляді і передачі зображень з вибіркою з деякої бази даних можна спочатку передати грубу його версію, а потім (при необхідності) послідовно її уточнювати. При стисненні зображень часто без втрати якості можна прибирати з зображення незначущі дрібномасштабні деталі.

Довільний інформаційний сигнал зазвичай розглядається у вигляді суми різнотипних складових: регіональної функції тренда, циклічних компонент з певним періодом повторення, локальних особливостей (аномалій) різного порядку і флуктуацій (шумів) навколо всіх вищеперелічених складових сигналу. Інструментом поділу (декомпозиції) сигналів на такі складові, аналізу їх порядку та реконструкції сигналів з певних складових (або з виключенням певних складових, наприклад шумів або малозначущих деталей) є кратномасштабний (багатомасштабних) аналіз (КМА). КМА дозволяє отримати хорошу дозвіл за часом (погане за частотою) на високих частотах і гарний дозвіл по частоті (погане за часом) на низьких частотах. Цей підхід стає ефективним, якщо сигнал має короткі високочастотні компоненти і протяжні низькочастотні компоненти. Саме такі сигнали і зустрічаються найчастіше.

Ідея кратномасштабного аналізу полягає в тому, що розкладання сигналу проводиться по ортогональному базису, освіченій зрушеннями і кратномасштабнимі копіями вейвлетного функції. Згортка сигналу з вейвлетами дозволяє виділити характерні особливості сигналу в області локалізації цих вейвлетів, причому, чим більший масштаб має вейвлет, тим більше широка область сигналу буде впливати на результат згортки. Поняття кратномасштабного аналізу (аналіз Кратномасштабний) є фундаментальним в теорії вейвлетів. Для кратномасштабного аналізу розроблено швидкий каскадний алгоритм обчислень, подібний швидкому перетворенню Фур'є.

Безперервне вейвлет-перетворення, так само як і його дискретний аналог з довільним кроком за масштабом і зрушення, має сильну надмірністю. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо яка-небудь інформація укладена в N відліку сигналу, то при будь-яких перетвореннях сигналу для відображення цієї інформації без втрат у новому базисному просторі повинно бути необхідно і достатньо те ж саме кількість відліків N. З урахуванням принципу невизначеності Гейзенберга це означає, що для точного відновлення сигналу досить знати його вейвлет-перетворення на деякої решітці частотно-часової області, густий в області високих частот сигналу, і рідкісної в області низьких частот.

Ідея КМА полягає в тому, щоб масштабувати вейвлет у деяке постійне число разів (наприклад, 2), і при ковзанні по сигналу зрушувати його в часі з кроком, рівним інтервалу носія масштабованого вейвлета. Якщо позначити кількість масштабних рядків індексом м, і прийняти N = 2 м, то при N = 32 решітка вейвлетного спектра буде мати всього т = 5 масштабних рядків з кількістю відліків в першому рядку 16, у другому 8, в третій 4, в четвертій 2, і в п'ятій 1, із загальною кількістю відліків 32, як і у вихідному сигналі. При цьому всі зрушення одного масштабу будуть попарно ортогональні (нема перекриття зрушень), так само як і вейвлети різних масштабів в силу їх нульового першого моменту.

Розкладання сигналу на суму апроксимуючих і деталізують складових про-провадиться з використанням ортогональних і біортогональних вейвлетів. На таких вейвлета виконується швидке вейвлет-перетворення. При виконанні КМА простір сигналів L2 (R) представляється у вигляді системи вкладених підпросторів Vm, що відрізняються один від одного перемасштабірованіем незалежної змінної.

Похожие статьи




Кратномасштабний аналіз - Вейвлет-аналіз як особливий тип лінійного перетворення сигналів та фізичних даних

Предыдущая | Следующая