Основания математики - Давид Гильберт
Вновь вернуться к математике Гильберта заставил глубокий кризис, возникший в ее основаниях. Излюбленный Гильбертом аксиоматический подход начал давать сбои. Первыми предвестниками такого кризиса были парадоксы, открытые в теории множеств. Эти парадоксы были настолько глубокими и затрагивавшими самую суть теории, что среди математиков нашлись те, которые предлагали вообще отказаться от прежнего образа математического мышления. Среди таковых был молодой голландец Брауер. В трех статьях, вместе не занимавших 17 страниц, Брауер высказал сомнение в том, что законы классической логики имеют абсолютную истинность, не зависящую от того, к чему они применяются, и предложил решительную программу, призванную покончить с "кризисом оснований". Для Брауера ни язык, ни логика не были неотъемлемо связаны с математикой, в основании которой, по его мнению, лежала интуиция, делавшая ее выводы и понятия непосредственно ясными. Брауер, например, отказался принимать логический принцип исключения третьего, т. е. что для любого утверждения A существует только две возможности - либо A, либо не A. В частности, Брауер не принимал принцип исключения третьего для бесконечных множеств, поскольку не существует никакой реальной процедуры, чтобы проверить утверждение за конечное число шагов. Подход Брауера к принципам математики получил название интуиционизм. Для Гильберта программа интуиционизма представляла абсолютно определенную и реальную угрозу математике. Многие из теорем классической математики можно было установить и интуиционистскими методами, более сложным и длинным путем, чем обычно. От многого же пришлось бы отказаться
Гильберт не желал принимать такое "увечье" математики. Ему казалось, что он видел путь, на котором смог бы восстановить элементарную математическую объективность, к которой стремился Брауер, не теряя при этом большую часть самой математики. Это была "теория доказательства". Гильберт предложил превратить математику в формализованную систему, объекты которой - математические теоремы и их доказательства - выражаются на языке символической логики в виде предложений, имеющих только символическую, а не смысловую структуру. Эти объекты должны быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т. е. охватывать совокупность всех ее теорем. Непротиворечивость этой формальной системы (т. е. математики) будет доказываться с помощью методов, которые Гильберт назвал финитными. Под "финитностью" понималось то, что "рассматриваемые рассуждения, утверждения или определения должны находиться в рамках непосредственного общения с объектом, отличаться явной практичностью используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было бы эффективно контролировать". Таким образом можно было бы преодолеть кризис оснований математики и избавиться от него раз и навсегда.
К сожалению, планам Гильберта не суждено было сбыться. В 1930 году Курт Гедель, 25-летний специалист по математической логике, опубликовал статью, в которой был сделан вывод, нанесший смертельный удар по планам Гильберта. В своей статье Геделю удалось доказать со всей строгостью, на которую способна математика, неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал теорему, из которой следует, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения. Тем не менее, подход Гильберта значительно обогатил и поднял на совершенно иной уровень всю математическую логику.
Давид Гильберт умер 14 февраля 1943 года в возрасте 81 года. С его смертью математика потеряла одного из своих великих мастеров. Работы Гильберта во многом послужили той счастливой гармонии, в которой развивается математика по сей день.
Похожие статьи
-
Проблема Гордона - Давид Гильберт
В начале 1888 года Гильберт предпринимает еще одно математическое путешествие, его маршрут включает посещение 21 видного математика. Поскольку в то время...
-
23 математические проблемы - Давид Гильберт
Именно в период этой необычайно разнообразной деятельности к Гильберту прибыло предложение выступить с одним из основных докладов на втором Международном...
-
Основания геометрии - Давид Гильберт
Новым увлечением Гильберта стала геометрия. Начав читать курс лекций по этой науке, Гильберт предложил положить в основания геометрии простой и полный...
-
В последующие три года Гильберт повышался в академических рангах и делал то, что делает в этот период времени большинство молодых людей: женился, стал...
-
Учеба в университете - Давид Гильберт
Осенью 1880 года Гильберт поступил в университет. Большой удачей для него было то, что университет его родного города, хотя и отдаленный от основного...
-
Первые научные шаги - Давид Гильберт
Вскоре после сдачи экзамена Гильберт отправляется в свое первое научное путешествие в Лейпциг к Феликсу Клейну, там он посещает лекции Клейна и принимает...
-
Вступление, Детство и юность - Давид Гильберт
Давид Гильберт был одним из истинно великих математиков своего времени. Его труды и его вдохновляющая личность ученого оказали глубокое влияние на...
-
В 1912 году, несмотря на свой пятидесятилетний возраст, Гильберт начинает заниматься совершенно новой для него наукой - физикой. Как математика, его...
-
Интегральные уравнения - Давид Гильберт
Зимой 1900 - 1901 гг. один студент из Швеции принес на семинар Гильберта недавно опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его...
-
Принцип Дирихле - Давид Гильберт
Летом 1899 года, сразу после издания "Оснований геометрии", Гильберт обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. Суть...
-
Память, Научная деятельность, Математика - Биография Пъера Симона Лапласа
В честь ученого названы: - Кратер на Луне - астероид 4628 Лаплас; - многочисленные понятия и теоремы в математике. Лаплас был похоронен на кладбище...
-
Мечта о "регулярном государстве" - Петр I: блеск и нищета модернизации
Возложив на крестьян тяжелые налоги, Петр тем не менее искренне считал, что его деятельность направлена на достижение "всеобщего блага". Однако император...
-
Общество - Законотворческая деятельность российских либералов в Государственной думе (1906-1917 гг.)
В отличие от государства и личности, понятие общества, как нам представляется, является менее разработанным и в теории, и в программатике отечественного...
-
"Политическое, экономическое и культурное развитие РФ на современном этапе" Политическое развитие Внутренняя политика 1. В начале XXI века начала...
-
Вторая мировая война стала самым крупным военным конфликтом в истории человечества. Военные действия велись на территории 40 государств Европы, Азии и...
-
Следствие и суд над декабристами - Восстание декабристов
Сразу же после восстания на Сенатской площади в ночь на 15 декабря начались аресты. Декабристов возили на допрос непосредственно к самому Николаю I....
-
Формирование Советского конституционного права - Формирование советского конституционного права
Оно начинает складываться, начиная с 25 октября 1917 г., когда II Всероссийским съездом Советов был принят Декрет о власти, оформивший государственный...
-
ГУННЫ В ЕВРОПЕ:АТТИЛА, ЗАКЛЮЧЕНИЕ - Завоевания гуннов в Европе
Мы потеряли след западных хунну, начиная с 35 года до нашей эры, даты, когда инакомыслящий шанью Чэчэ, увлекший за собой часть хунских племен Верней...
-
Система Ордынского господства на Руси - Золотая Орда и Северо-Восточная Русь
После Батыева нашествия над Русью устанавливается так называемое монголо-татарское иго - комплекс экономических и политических методов, обеспечивавших...
-
Восточный вопрос в МО в 70е годы 19 века - История международных отношений
Подобно кризису 1830-х - 1840-х гг., восточный кризис 1875-1878 гг. возник спонтанно, а не в результате интриг великих держав -- просто турецкая империя...
-
Перестройка центральных органов власти и управления В первой четверти XVIII в. был осуществлен целый комплекс реформ, связанных с перестройкой...
-
Централизация государственного аппарата - Реформы Петра Великого
Контрольные органы при абсолютизме требовала создать специальные контрольные органы. В начале XVIII в. сложились две контрольные системы - прокурорская...
-
Развитие робототехники и гибких производственных систем - Автоматизация процессов покраски
В ХХ веке возникла совершенно новая (по сравнению с механизацией и малой автоматизацией технологических процессов) проблема-автоматизация умственной...
-
Мы уже упоминали проблему периодизации исторического процесса. Напомним, что периодизация истории - это выделение в историческом процессе периодов...
-
Вавилония - Основные черты и особенности Месопотамии
Географический месопотамский цивилизация Ее история распадается на два периода: Древний, охватывающий первую половину II тыс. до н. э., и Новый,...
-
Исследования в Европе и научные труды - История медицины: В. М. Бехтерев
Бехтерев, пройдя конкурс на заграничную командировку, отправился в Лейпциг, к Флексингу, директору психиатрической колонии, знаменитому в то время...
-
Ситуация в мире накануне Второй мировой войны - Экономические причины Второй мировой войны
Из всей предыдущей истории человечества известно, что исторически неизбежным и нормальным в доядерную эпоху являлось разрешение конфликта интересов...
-
Причины крестовых походов - Крестовые походы
Для того, чтобы понять причины крестовых походов, необходимо обратиться к исторической ситуации, которая сложилась в Средневековье. К концу XI в. Восток...
-
Буржуазные реформы в России в 60-70 годах 19 века и их историческое значение. 60-70-е годы 19 века - время коренных преобразований в России, которые...
-
Заключение - История России XX века
Итак, из всего выше сказанного, можно понять, что причин, как образования, так и распада было больше, чем мы могли себе представить. Естественно, что...
-
Заключение - Развитие женского образования в Российской империи во второй половине XIX века
Результаты проведенного нами исследования показывают, что процессы модернизации, которые происходили в Российской империи во второй половине XIX века,...
-
Изменение внешнеполитического курса при Адриане Строго говоря, назвать новой оборонительную концепцию проведения внешней политики нельзя, т. к. первым...
-
Личность Н. И. Новикова как масона - Социально-политические и исторические взгляды Н. И. Новикова
Версий происхождения масонской организации множество, но сейчас сформировалась вполне убедительная история формирования общины вольных каменщиков. Миф о...
-
Период домината - Политические и военные проблемы падения Римской империи
Древний Рим являлся одной из наиболее ведущих цивилизаций в древнем мире, а также сильнейшим государственным образованием античной эпохи, вызывающим до...
-
Период правления Траяна ознаменовался для Римской империи небывалым расширением территорий. Тем границы империи были расширены максимально на восток,...
-
Производство автомобилей. - Важнейшие задачи ХХI века
Производство автомобилей является в настоящее время одним из самых больших производств. Только за последние 50 лет мировой автопарк увеличился более чем...
-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ - Распад СССР: причины и последствия
События 19-21 августа 1991 г. изменили страну. Ушла в прошлое перестройка как "революция сверху" в рамках старой системы с ее ориентацией на раз и...
-
Предпосылки и причины отмены крепостного права - Анализ отмены крепостного права
Аграрно-крестьянский вопрос к середине XIX в. стал острейшей социально-политической проблемой в России. Среди европейских государств крепостное право...
-
Законодательство о стабилизации финансовой системы - "Новый Курс" Рузвельта
Одной из важнейших задач первого периода "нового курса" в 1933 г. была задача сохранения и по возможности укрепления финансово-экономической системы...
-
Развитие России в 20-е годы XIX века
После окончания гражданской войны в Советской России начался острейший социально-политический кризис, вызванный недовольством крестьян политикой...
Основания математики - Давид Гильберт