Интегральные уравнения - Давид Гильберт

Зимой 1900 - 1901 гг. один студент из Швеции принес на семинар Гильберта недавно опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его соотечественнику Ивару Фредгольму.

Интегральные уравнения - это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твердого тела. Теория таких уравнений развивалась очень медленно. Однако теперь Фредгольм дал красивое и оригинальное решение одного класса таких уравнений, которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями.

Интегральные уравнения полностью захватили Гильберта. Отныне он говорил со своими студентами только об интегральных уравнениях. Начало его исследований напоминало прежний подход Гильберта к нерешенным задачам. В первой работе, опубликованной в виде сообщения Геттингенского научного общества, он предложил один простой и оригинальный вариант теории Фредгольма, который раскрывал ее основную идею более отчетливо, чем работа самого Фредгольма. В ней также можно было найти намеки на его будущие свежие и плодотворные идеи. Обладая интуитивным пониманием связей, лежащих в основе различных частей математики, а также между математикой и физикой, Гильберт пришел к выводу, что уравнения Фредгольма смогут приоткрыть завесу над целой серией ранее недоступных проблем анализа и математической физики. Теперь он поставил перед собой цель объединить на единообразной теоретической основе как можно больший круг вопросов, связанных с линейными задачами анализа.

В 1904 году Гильберт посылает второе сообщение научному обществу, в котором существенно развивает идею Фредгольма. В своей классической работе Фредгольм открыл аналогию между интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Гильберт пошел теперь дальше и нашел аналог приведения квадратичной формы от n переменных к главным осям. Используя связанную с этим комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии, он развил свою теорию собственных функций и собственных значений. Эта теория, как выяснилось позже, оказалась тесно связанной с физической теорией собственных колебаний.

Гильберт идет дальше и работает над теорией бесконечно многих переменных, которой суждено будет стать венцом его занятий анализом. Эта теория широко известна как теория гильбертова пространства. Из-за своей крайней общности проблема, которой он теперь занимался, казалась почти недоступной даже для Гильберта. Но он смело принялся за нее. В результате всех усилий через несколько лет Гильберт представил Германскому научному обществу свою теорию бесконечно многих переменных. В ней он последовательно развивает общую теорию таких пространств, а также доказывает одну из самых великих своих теорем - спектральную. Эта теорема, подобно теореме о приведении квадратичной формы к сумме квадратов в конечномерных пространствах, позволяет классифицировать так называемые самосопряженные операторы в бесконечномерных пространствах.

Похожие статьи




Интегральные уравнения - Давид Гильберт

Предыдущая | Следующая