ЗАДАЧА О ПОРТФЕЛЕ ЦЕННЫХ БУМАГ - Ценные бумаги

Портфель ценных бумаг -- это совокупность ценных бумаг, принадлежащих юридическому или физическому лицу.

Основными характеристиками портфеля ценных бумаг являются:

    - количество и общая стоимость; - виды и категории; - ликвидность; - риски, присущие им, и др.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Предваряя точные математические постановки, констатируем очевидную общую цель инвестора -- вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля -- это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р' то (Р' -- Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. То есть доходность портфеля -- это доходность на единицу его стоимости.

Пусть ХI -- доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть dI -- доходность в процентах годовых ценных бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля dP. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1 + dP, с другой -- стоимость бумаг i-го вида увеличится с х до xI +dI XI так что суммарная стоимость портфеля будет:

Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем:

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (15).

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть mI , -- средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т. е. -- математическое ожидание доходности и, где VIi -- вариация или дисперсия i-ой доходности. Будем называть mI , rI соответственно эффективностью и риском i-ой ценной бумаги. Через обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i-го и j-го видов (или корреляционный момент ).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть

Обозначим его через.

Дисперсия доходности портфеля есть:

Так же, как и для и ценных бумаг, назовем эффективностью портфеля, а величину - риском портфеля Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией.

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации.

Пример 1: Портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг второго вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля?

Решение: Оба термина -- доходность и эффективность -- специально упомянуты вместе.

Ответ:

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку "нельзя поймать двух зайцев сразу", необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оценивается по двум характеристикам -- эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1- й портфель с эффективностью е1 и риском r1 доминирует, 2-й с е2 , r2, если и, и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето, такие портфели называют еще эффективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях. Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нанести их характеристики - риск и эффективность на плоскость риск-доходность. То типичное множество эффективных портфелей выглядит. Как кривая DAC на рис.1.

Главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в рискованные ценные бумаги целесообразно делать вложения не в один их вид, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которого случаен, но случайные отклонения независимы.

Рис.1

Однако в реальности большого разнообразия достичь трудно, поскольку гипотеза независимости эффектов в достаточной степени условна и ограничивает возможности подобного расширения: технологическая сопряженность и экономическая взаимозависимость хозяйствующих субъектов естественным образом проявляются в статистическом взаимодействии случайных эффективностей ценных бумаг.

С практической точки зрения выгоды от масштабной диверсификации далеко не бесспорны: ее экономически обоснованные размеры ограничиваются влиянием трансакционных издержек. С ростом числа сделок эти издержки делают включение в портфель малых партий большого числа активов неоправданно дорогим занятием.

Пример 2: Рассмотрим условную ситуацию, когда инвестор может формировать портфель из различных видов ценных бумаг, эффективности которых взаимно некоррелированны.

Ожидаемые значения эффективностей и их среднеквадратичных отклонений приведены в таблице:

J

1

2

3

4

5

6

MJ

11

10

9

8

7

6

УJ

4

3

1

0,8

0,7

0,7

Решение: Если инвестор вложит свой капитал поровну в ценные бумаги только первых двух видов, то ожидаемая эффективность портфеля

окажется чуть меньше, чем покупка только 1-го вида, но зато среднеквадратичное отклонение портфеля = 2.5 окажется меньшим, чем у наименее "рискового" из этих двух видов

В следующей таблице показаны ожидаемые эффективности и среднеквадратичные отклонения портфелей, составленных поровну из первых двух, трех и т. д. ценных бумаг, с характеристиками из первой таблицы.

N

2

3

4

5

6

MP

10,5

10

9,5

9

8,5

УP

2,5

1,7

1,23

1,04

0,87

Ясно, что диверсификация позволила снизит риск почти в трое при потери ожидаемой эффективности, всего на 20%.

Пример 3: Инвестор рассматривает возможность формирования портфеля из трех ценных бумаг, доходность которых и вероятность каждого сценария представлена в таблице. При этом планируемая доля акций Компании А в портфеле составляет 35%, акций Компании Б 50% и акций Компании В 15%.

Акции Компании А

Акции Компании Б

Акции Компании В

1

2

3

1

2

3

1

2

3

KI (%)

-3

12

21

-7

8

25

-15

23

41

PI

0,25

0,5

0,25

0,3

0,4

0,3

0,2

0,5

0,3

Решение: Поскольку известен полный набор вероятностей, то есть заранее известные вероятности всех возможных сценариев развития событий, ожидаемая доходность акций Компании А составит 11%, акций Компании Б 8,5% и акций Компании В 20,8%.

DА = -3*0,25+12*0,5+21*0,25 = 11%

DБ = -7*0,3+8*0,4+25*0,3 = 8,5%

DВ = -15*0,2+23*0,5+41*0,3 = 20,8%.

Таким образом, ожидаемая доходность портфеля составит 11,22%.

DP = 0,35*11+0,5*8,5+0,15*20,8 = 11,22%.

Пример 4: Предположим, что инвестор сформировал портфель из трех акций, данные об исторической доходности которых представлены в таблице:

Доходность акций Компании А (%)

Доходность акций Компании Б (%)

Доходность акций Компании В (%)

1

5,94

-8,37

-1,89

2

6,75

24,03

3,24

3

6,21

0,54

6,48

4

25,65

17,82

1,35

5

-9,72

27,27

-2,97

6

-26,19

-22,95

-19,71

7

20,52

-1,35

12,15

8

-12,15

-15,66

-13,23

9

16,47

15,12

-1,08

10

-1,08

-11,61

-5,13

При этом доля акций Компании А в портфеле составляет 30%, акций Компании Б - 40/% и акций Компании В - 30%.

Чтобы рассчитать ожидаемую доходность портфеля необходимо рассчитать ожидаемую доходность каждой из ценных бумаг, входящих в него. Для акций Компании А она составит 3,24%, акций Компании Б 2,48% и акций Компании В -2,08%.

DА = (5,94+6,75+6,21+25,65-9,72-26,19+20,52-12,15+16,47-1,08) /10 = 3,24%

DБ = (-8,37+24,03+0,54+17,82+27,27-22,95-1,35-15,66+15,12-11,61) /10 = 2,48%

DВ = (-1,89+3,24+6,48+1,35-2,97-19,71+12,15-13,23-1,08-5,13) /10 = -2,08%

Подставив полученные данные в формулу, получим ожидаемую доходность портфеля равную 1,34%.

DP = 0,3*3,24+0,4*2,48+0,3*(-2,08) = 1,34%.

Похожие статьи




ЗАДАЧА О ПОРТФЕЛЕ ЦЕННЫХ БУМАГ - Ценные бумаги

Предыдущая | Следующая