Геометрия Евклида - Архимед и геометрия Евклида
Евклид и его книга "Начала" (планиметрия и стереометрия), являвшаяся в течение многих веков содержанием школьного курса геометрии, и послужила поводом для создания новых теорий в области геометрии. Следует отметить, что геометры в течение двух тысяч лет, относясь к "Началам" Евклида с большим уважением, подвергали их критике, указывали на те или иные недостатки и рекомендовали способы "очищения Евклида от пятен", именно в такой критике рождались новые идеи и наработки в области геометрии
Евклид (около 365- 300 до н. э) работал в Александрии при Птолемее I и возглавлял основанный в то время крупнейший научный центр древности - александрийский Музей. "Начала" Евклида представляют собой обработку ряда греческих сочинений IV в. до н. э. - "Начал", приписываемых Гиппократу Хиосскому (I-IV и XI книги), арифметических сочинений пифагорейцев (VIII-IX книги), сочинений Евдокса о теории отношений и подобии, и о методе исчерпывания. Его книге "Началам" предпосланы 23 определения, многие из которых носят следы древних традиций. Приведя традиционные определения точки, линии и поверхности, а также прямой линии и плоскости, Евклид приводит определение плоской фигуры, угла, треугольника, круга и его частей и дает классификацию треугольников и четырехугольников. О традиционности этих определений свидетельствует то, что Евклид дает определение ромба и "ромбомоида" (параллелограмма, не являющегося ромбом), которым он нигде не пользуется, а в тексте Евклид применяет только термин "параллелограмм". В последнем определении дается определение параллельных линий.
Далее следует пять постулатов (допущений). Первые три постулата Евклида - аксиомы геометрических построений с помощью идеальной линейки и идеального циркуля.
Книги Евклида состоят из "предложений" - теорем и задач на построение, изложение теорем. В 1-ой книге доказываются основные теоремы планиметрии до теоремы Пифагора и обратной ей. Евклид в своих доказательствах старается избегать движения и наложения. Наложением он пользуется только в теореме о равенстве треугольника, а далее ссылается на эти теоремы. Во 2-й книге изложена геометрическая алгебра и, в частности, решены задачи, равносильные решению квадратного уравнения, и задача о квадратуре прямоугольника. В 3-ей книге изложена геометрия окружности, в 4-ой - построение правильных многоугольников, в 5 - ой книге - теория отношений геометрических величин. Далее, в следующих книгах изложены также: теория подобия, основы стереометрии, теоремы об объемах пирамид и об отношении кругов и круглых тел, основанные "на методе исчерпывания", который играл у древних греков роль нашей теории пределов, построение правильных многогранников.
Критика геометров относилась к пятому постулату, значительно более сложному, чем все остальные, который пытались доказать как теорему. Доказывая этот постулат от противного, математики нашли много следствий, которые имели бы место при отказе от этого постулата.
Только в XIX веке Н. И. Лобачевский и другие математики пришли к мысли, что эти следствия образуют непротиворечивую геометрию, которую мы в настоящее время называем геометрией Лобачевского, и 5-й постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида. Критика теории отношений Евклида, которая у него была оторвана от теории числовых отношений, состояла в предложении объединить эти две теории в единую теорию, для чего следовало рассматривать геометрические величины как числа нового типа, мы в настоящее время называем эти числа действительными, или вещественными (Евклид знал только натуральные числа). Также подвергалось критике стремление Евклида избегать движения и наложения, к которому призывал Аристотель, эта установка Евклида критиковалась многими последующими геометрами, которые в своих трудах пользовались движением. Но все же, Евклид кое-где применял движение, следуя за своими предшественниками.
Создание и разработка геометрии Лобачевского поставили вопрос об исследовании всей структуры системы аксиом, как евклидовой геометрии, так и других возникших к этому времени геометрий и выяснения независимости этих аксиом друг от друга.
Первым такую задачу поставил Мориц Паш. В его "Лекциях о новой геометрии" была выработана новая система аксиом трехмерного евклидова пространства.
Также можно отметить, что эти учения и наработки в области геометрии во многом послужили бурному развитию математики в первые века нашей эры (Евклидова геометрия). Что, в свою очередь, послужило дальнейшему развертыванию и развитию научно-технического прогресса. И привело к созданию целых направлений в области геометрии (XIX в), которые занимались и занимаются в наше время различными исследованиями в данной области.
В заключение хотелось бы сказать, что именно критика Евклидовой геометрии его теорий и предположений явила миру имена новых выдающихся математиков, также внесших большой вклад в мировую науку, и бесспорно вела к совершенствованию, как самой геометрии, так и других наук. И способствовала ее формированию до образа той геометрии, которая изучается и используется сейчас, вобравшей в себя лучшие исследования и теории в этой области последних веков.
Похожие статьи
-
Архимед и его законы - Архимед и геометрия Евклида
Несомненно, Архимед (около 287--212 до н. э.) -- самый гениальный ученый Древней Греции. Он стоит в одном ряду с Ньютоном, Гауссом, Эйлером, Лобачевским...
-
Неевклидовы геометрии - Космологические модели Вселенной
Мы привыкли, что в двухмерном пространстве, то есть на плоскости, есть своя, присущая только плоскости геометрия. Так, сумма углов в любом треугольнике...
-
1.1 Физическое пространство Вселенной вещественно 1.2 Физическое пространство Вселенной не имеет выделенных подпространств 1.3 Физические и...
-
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - Основные понятия сферической геометрии
1/ Сфера - тело, ограниченное поверхностью, все точки которой одинаково удалены от одной точки называемой центром. 2/ Большой круг /Б. К./ - след от...
-
Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения положения КА, скорости КА, а также величину и направление...
-
"Движение" пробных тел. Что такое "движение" пробного тела? - Геометрия физического пространства
Конечно, это не перемещение подпространства, описывающего данное, пробное тело, в пространстве событий относительно подпространства пробного тела или...
-
Кварк, Слабые фермионы (бозоны) - Геометрия физического пространства
2.1.3.4. Поле кварка: 2.1.3.4 (X 1) 2 - (Х) 2 + (X 3) 2 + (X 4) 2 = 0 4.3.4.1 - x 2 - y 2 + e 2 - 1 = 0 4.3.4.1 * - x 2 - y 2 - e 2 + 1 = 0 Хорошо...
-
Виды полей (частиц) - Геометрия физического пространства
Уравнения 2.1.3.1...2.1.3.7 в зависимости от их сигнатуры делятся на два больших класса: 4.3.1 Фермионы - с одной временеподобной координатой : 2.1.3.6....
-
3.1 Физическое пространство Вселенной есть овальные гиперповерхности четного порядка 6-мерного проективного пространства над полем комплексных чисел. 3.2...
-
ВЫВОД - Основные понятия сферической геометрии
Наблюдатель, находясь в точке на поверхности Земли с определенными географическими координатами и в один момент времени сможет наблюдать часть Н. С. с...
-
Введение - Геометрия физического пространства
Объективные, естественные, а не писаные нами, законы Природы просты до гениальности. Но их действие столь повсеместно и столь неотвратимо, что эта...
-
Поведение физических объектов - Геометрия физического пространства
Любой реальный физический объект имеет ненулевые физические (значит -- геометрические) инварианты, следовательно представить только множеством точек с...
-
Некоторые возможные варианты межпространственного (по обоим подпространствам физического пространства) прохождения мировой линии частицы. Вариант 1. Одно...
-
Вселенная как Большая Система - Геометрия физического пространства
С предыдущим вопросом тесно связана и другая тема. Открытость, не изолированность и взаимное перекрытие "квантов пространства-времени" дальнодействующими...
-
Квант пространства-времени - Геометрия физического пространства
Физическое пространство по своим свойствам делится как бы на три этажа. Глобально, на мега уровне, пространство событий имеет геометрию, весьма близкую к...
-
Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения положения КА, скорости КА, а также величину и направление...
-
"Движение" в пространстве событий, "Движение" тела отсчета - Геометрия физического пространства
"Движение" тела отсчета "Движение" тела отсчета -- перемещение начала (нулевой точки) системы координат, связанной с телом отсчета, по мировой линии...
-
Приложение, Изменение геометрии релятивистских тел - Геометрия физического пространства
Возможно, есть смысл еще раз напомнить об особенностях гиперболических пространств. Все действительные и мнимые "парадоксы" околосветовых скоростей, к...
-
Взаимодействия больших энергий - Геометрия физического пространства
Не все так гладко, как это мы пытались изобразить в предыдущей главе. Внимательный читатель тут же отметит, что такая, если можно так сказать,...
-
Модель Пуанкаре в единичном круге - Геометрия физического пространства
Смещение излучения пробных тел: 5.1 (для круга Пуанкаре) 5.2 -- В линейных размерах физического пространства, где r -- расстояние до наблюдаемого тела....
-
Абсолютная система отсчета (эфир) - Геометрия физического пространства
Как ни странно, но подтвердив, что с любым материальным телом можно связать лишь относительную систему отсчета, система уравнений п. 2., тем не менее,...
-
Лирика - Геометрия физического пространства
Итак, попытаемся разобраться, что же у нас получилось. Наличие ненаблюдаемых координат приводит к существенному ограничению восприятия окружающего нас...
-
Заключение - Геометрия физического пространства
Будем надеяться, что Читатель в работе увидел большее, чем "школьное" изложение физических основ космологии. Это вообще не работа по космологии и даже не...
-
Подробности - Геометрия физического пространства
8.1 "Пустое" гиперболическое пространство =A/Btg B=A/tg =2A/(1-Atg 2) A=th(x A /R v) 1-A 2 =1- th 2 x=sch 2 x=1/ch 2 x B= (1- A 2 )/2=1/2ch 2 x= sch 2...
-
ВИДИМОЕ СУТОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ СВЕТИЛ - Основные понятия сферической геометрии
При суточном вращении небосвода взаимное расположение звезд не меняется, и наблюдателю кажется, что звезды находятся на внутренней стороне огромной...
-
Фотон, Глюон, Электрон - Геометрия физического пространства
Электромагнитное поле достаточно хорошо изучено. Мы живем в электромагнитном мире. Практически вся принимаемая нами информация поступает через...
-
Самоорганизация - Геометрия физического пространства
То, что размещено под заголовком "Подобия" должно входить в более общее понятие самоорганизации. Самоорганизация не есть первичное, самостоятельное, ни...
-
Особенности подпространств, Гравитон - Геометрия физического пространства
Хотя каждое из подпространств физического пространства, в соответствии с аксиомой 1.2, не является особым, выделенным, но одновременно и не идентичным...
-
ВИДИМОЕ СОБСТВЕННОЕ ГОДОВОЕ ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА - Основные понятия сферической геометрии
В отличие от звезд, экваториальные координаты которых остаются неизменными на протяжении многих месяцев и даже лет, есть светила, и которых быстро...
-
СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ СВЕТИЛ - Основные понятия сферической геометрии
Горизонтная система координат. Находящийся на Земле наблюдатель всегда может с помощью отвеса определить направление отвесной /вертикальной/ линии. Эта...
-
Заключение - Происхождение Вселенной
Итак, Вселенная произошла посредством Большого Взрыва и этому есть множество доказательств. Теория же "Стабильного Состояния" уже почти полностью...
-
Черная дырам - область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть ее не могут даже объекты, движущиеся со...
-
Оценка качества научного исследования
Не нарушая общности рассуждений, оценку качества научного знания предлагается провести на основе таких составляющих познавательного аспекта, как...
-
Введение - Понятие о черной дыре
Термин "черная дыра" появился совсем недавно. Его ввел в обиход в 1969 г. американский ученый Джон Уилер как метафорическое выражение представления,...
-
Заключение - Математическое моделирование движения небесных тел
Небесная механика на протяжении всей истории ее становления была источником новых идей, методов и даже новых направлений в математике, традиционно...
-
Рекомендуется любая прическа с закрытыми ушами. Если в силу каких-либо причин это невозможно сделать, приходится прибегать к другим приемам. Один из них...
-
Плененный свет - Современные представления астрофизики. Физика черных дыр
Давайте поставим себя на место второй бабочки и рассмотрим черную дыру с точки зрения теоретической физики. Согласно простейшему определению, черная дыра...
-
Современные теории - Возникновение Солнечной системы
Среди последующих космогонических теорий можно найти и теорию "катастроф", согласно которой наша Земля обязана своим образованием некоему вмешательству...
-
Земли. - Возникновение Солнечной системы
Еще совсем недавно многие высказывали сомнение в том, что эдиакарские находки действительно имеют протерозойское происхождение. Новые радиометрические...
-
Модели будущего вселенной - Эволюция Вселенной
Каково же будущее Вселенной? Многие выдающиеся ученые ХХ века неоднократно задавались этим вопросом. В 1917г. А. Эйнштейн выступил с гипотезой о...
Геометрия Евклида - Архимед и геометрия Евклида