Элементы теории графов. Сеть Петри. Конечный автомат


Вариант №8

Задача 1. Элементы теории графов

Связный ориентированный граф G(Х, Г) задан множеством вершин X={x1, x2, ..., xn} и отображением Гxi={x|Ik|, x|Il|}, i =1, 2,..., n. Здесь i - текущий номер вершины, n - количество вершин графа. Значение индексов n, k и l взять из табл. 1 в соответствии с номером варианта. Индексы k и l формируют значения индексов, , ... переменной x в отображении Гxi = {x, x, x,...}. Если значения индексов, , ... переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, то эта переменная не учитывается во множестве Гxi.

Выполнить следующие действия:

    А) определить исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами; Б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов; В) выделить в ориентированном графе два подграфа. Найти объединение, пересечение и разность подграфов; Г) описать систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и xj

i*j при i j;

Kij =

1/(p+1) при i<j.

Найти передачу между вершинами x1 и xn, используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы, определяемой топологией графа.

Таблица 1

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

N

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

K

2

3

4

1

1

1

3

5

2

4

2

3

4

5

6

L

1

1

1

2

3

4

2

1

3

3

1

1

1

1

1

№варианта

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

N

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

K

1

1

1

1

3

2

5

5

2

3

4

5

6

5

3

L

2

3

4

5

2

3

2

3

3

2

3

2

1

3

5

Решение:

Множество вершин X = {x1, x2, x3, x4, x5}, n = 5, k = 5, l = 1. Гxi={x|Ik|, x|Il|}.

А) определим исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами:

Определим граф аналитическим способом:

Гx1 = { x4, x2 };

Гx2 = { x3, x1 };

Гx3 = { x2, x4 };

Гx4 = { x1, x5, x3};

Гx5 = {x4}.

Ориентированный граф графическим способом:

Неориентированный граф графическим способом:

Ориентированный граф матричным способом:

RG - матрица смежности

X1

X2

X3

X4

X5

X1

0

1

0

1

0

X2

1

0

1

0

0

X3

0

1

0

1

0

X4

1

0

1

0

1

X5

0

0

0

1

0

AG - матрица инцидентности

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

V9

V10

X1

1

-1

0

0

0

0

0

0

1

-1

X2

-1

1

1

-1

0

0

0

0

0

0

X3

0

0

-1

1

1

-1

0

0

0

0

X4

0

0

0

0

-1

1

1

-1

-1

1

X5

0

0

0

0

0

0

-1

1

0

0

Неориентированный граф матричным способом:

RD - матрица смежности

X1

X2

X3

X4

X5

X1

0

2

0

2

0

X2

2

0

2

0

0

X3

0

2

0

2

0

X4

2

0

2

0

2

X5

0

0

0

2

0

AD - матрица инцидентности

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

V9

V10

X1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

X2

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

X3

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

X4

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

X5

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

Б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов:

- матрица отклонений; - вектор отклонения.

X1

X2

X3

X4

X5

X1

0

1

2

1

2

X2

1

0

1

2

3

X3

2

1

0

1

2

X4

1

2

1

0

1

X5

2

3

2

1

0

=>

Центры графа - это вершины с наименьшей удаленностью. Периферийные вершины - вершины с наибольшей удаленностью. В данном случае периферийными вершинами являются две вершины x2, x4, а центрами графа являются три вершины x1, x3, x5. Тогда радиус с(G) =2, а диаметр графа D(G) = 3.

в) выделим в ориентированном графе два подграфа и найдем объединение, пересечение и разность подграфов:

Выделяем два подграфа: G1 и G2

X1 - {x1, x2}, Г1х1 = { x2 }, Г1х2 = {x1},

X2 - {x1, x2, x3}, Г2х1 = {x2}, Г2х2 = {x3}, Г2х3 = {x2}.

Объединение графов:

,

, , , .

G

Пересечение,

, , .

G

Разностью графов G1(X1, Г1) и G2(X2, Г2) называется граф, где - дополнение по отображению графа G2 до насыщенного.

, где

.

Он имеет вид

;, .

Граф имеет вид:

G

Г) i*j при i j;

Kij = 1/(p+1) при i<j.

Сигнальный граф имеет вид

Система уравнений, соответствующая сигнальному графу имеет вид

X1 = 2 x2 + 4x4

X2 = x1 +6x3

X3 =x2 +12 x4

X4 = x1 +x3 +20x5

X5 =x4.

Определить передачу k15 по правилу Мезона. Формула Мезона имеет вид

PS - передача пути,

DS - алгебраическое дополнение,

D - определитель.

Пути из х1 в х5:

.

Контура:

;

; ;

; .

;

Пары несоприкасающихся контуров L1L3, L1L4, L2L4, L2L5.

Отсюда

(L1L3+ L1L4+ L2L4+ L2L5).

D1 = 1- L2

D2 = 1.

.

Структура кинематической системы представлена на рисунке

Задача 2. Задача о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости

На рисунке приведена транспортная сеть в виде ориентированного графа. На каждом из ребер через черту проставлены значения пропускной способности С() ребра и стоимость транспортировки единицы потока d() по этому ребру. Для заданной сети определить:

Максимальный поток max транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую -- стоком.

Стоимость доставки груза по путям, формирующим максимальный поток в сети.

Решение:

Найдем максимальный поток max транспортировки груза между вершинами х1 и х8.

Первый шаг. 1. Находим какой-либо путь из х1 в х8 с положительной пропускной способностью.

Таблица 1

X1

X2(1)

X3(2)

X4(2)

X5(1)

X6(2)

X7(6)

X8(2)

X1

3-

15

X2

0+

4

7

18

2

9-

X3

0

5

X4

0

15

X5

0

0

10

4

X6

0

0

0

11

11

X7

0

3

X8

0+

0

0

0

В результате получен путь l1 = (x1,x2,x8). Элементы этого пути Cij помечаем знаком минус, а симметричные элементы Cji - знаком плюс.

Определяем пропускную способность найденного пути, которая равна наименьшей из пропускных способностей дуг:

Определяем остаточные пропускные способности дуг найденного пути и симметричных ему дуг. Для этого из элементов табл. 1 вычитаем C1, а к элементам прибавляем C1. В результате получим новую табл. 2 с измененными пропускными способностями.

Tаблица 2

X1

X2

X3

X4

X5(1)

X6(5)

X7(6)

X8(5)

X1

0

15-

X2

3

4

7

18

2

6

X3

0

5

X4

0

15

X5

0+

0

10

4-

X6

0

0

0

11

11

X7

0

3

X8

3

0+

0

0

Второй шаг. 1. Помечаем столбцы табл. 2, находим второй путь l2 = (x1, x5, x8) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l2

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С2 в табл. 3.

Tаблица 3

X1

X2

X3

X4

X5(1)

X6(5)

X7(6)

X8(6)

X1

0

11-

X2

3

4

7

18

2

6

X3

0

5

X4

0

15

X5

4+

0

10-

0

X6

0

0

0+

11

11-

X7

0

3

X8

3

4

0+

0

Третий шаг. 1. Помечаем столбцы табл. 3, находим третий путь l3 = (x1, x5, x6, x8) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l2

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С3 в табл. 4.

Tаблица 4

X1

X2

X3

X4

X5(1)

X6

X7

X8

X1

0

1

X2

3

4

7

18

2

6

X3

0

5

X4

0

15

X5

14

0

0

0

X6

0

0

10

11

1

X7

0

3

X8

3

4

10

0

Четвертый шаг. Просматривая строки, убеждаемся в том, что больше не существует ни одного пути с положительной пропускной способностью из вершины x1 в вершину x8. Подмножество R образуют помеченные вершины х1, х5, а подмножество - остальные непомеченные вершины х2, х3, х4, х6, х7, х8. Разрез с минимальной пропускной способностью образуют дуги, начальные вершины которых принадлежат подмножеству R, а конечные - . Таким образом, разрез с минимальной пропускной способностью. Удалив дуги этого разреза, блокируем все пути из источника в сток. Пропускная способность разреза

Заключительный шаг. Вычитая из элементов табл.1 соответствующие элементы табл.4, получим табл.5

Tаблица 5

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X1

3

14

X2

-3

0

0

0

0

3

X3

0

0

X4

0

0

X5

-14

0

10

4

X6

0

0

-10

0

10

X7

0

0

X8

-3

-4

-10

0

Величина максимального потока равна сумме элементов x1-й строки табл. 5 или сумме элементов x8-го столбца

Максимальный поток равен.

Положительные элементы табл.5 характеризуют величины дуговых потоков:

; ;; ; ;.

Стоимость доставки груза определяется по формуле:

.

.

.

Задача 3. Анализ сетей Петри

Сеть Петри задана графически (рис. 23...30). В табл. 1 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети.

Выполнить следующие действия:

Описать сеть аналитическим и матричным способами.

Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований.

Построить дерево достижимости заданной сети.

Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Таблица 1

№

Варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0

1

0

1

1

1

1

2

2

0

1

3

0

1

1

2

1

2

2

2

3

1

2

2

1

2

3

1

1

2

0

3

2

3

1

0

1

1

1

3

2

1

0

1

2

3

3

4

3

1

3

4

0

2

1

1

0

1

1

2

1

1

2

5

1

2

5

1

2

2

3

0

3

3

2

0

3

2

1

№ рисунка

Рис. 23

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Решение:

Опишем сеть аналитическим и матричным способами. Приведем графическое представление сети Петри, в которой позиции P = {p1, p2, p3, p4, p5} и переходы T = {t1, t2, t3, t4, t5}. Начальная маркировка сети обозначается вектором м0 [м1,м2,м3,м4,м5], м0 [2 2 3 1 0]. Отсюда получим:

При аналитическом способе задания сеть Петри задается как C = (P, T,F, H,м0), где, кроме множеств позиций Р и переходов Т, задаются входная F и выходная Н функции. Через F(tj) обозначается множество входных позиций, а через H(tj) - множество выходных позиций перехода tj; м0 - начальная маркировка сети.

F(t1) = {p1}, H(t1) = {p2, p3 },

F(t2) = {p2}, H(t2) = {p4},

F(t3) = {p3}, H(t3) = {p5 },

F(t4) = {p4, p5}, H(t4) = {p1},

F(t5) = {p4, p5}, H(t5) = {p2, p3}.

М0 [2 2 3 1 0]

Матричная форма определения сети Петри эквивалентна аналитическому способу задания C = (P, T,D-,D+,м0). Здесь D - и D+ - матрицы входных и выходных инциденций соответственно размером m Ч n, где m - число переходов и n - число позиций.

Элемент dij - матрицы D - равен кратности дуг, входящих в i-й переход из j-й позиции.

Элемент dij+ матрицы D+ равен кратности дуг, выходящих из i-ro перехода в j-ю позицию.

Для рассматриваемой сети Петри

Матрица D = D+ - D - называется матрицей инцидентности сети Петри,

2. Найдем переходы, которые разрешены при начальной маркировке м0 [2 2 3 1 0] сети Петри.

Переход t1

[м0] ? [10000]* D - = [10000] - ; [2 2 3 1 0] ? [1 0 0 0 0] - условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t1 определяется следующим образом:

.

Переход t2

[м0] ? [01000]* D - = [01000] ; [2 2 3 1 0] ? [0 1 0 0 0] - условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t2 определяется следующим образом:

.

Переход t3

[м0] ? [00100]* D - = [00100] ; [2 2 3 1 0] ? [0 0 1 0 0] - условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t3 равна:

.

Переход t4

[м0] ? [00010]* D - = [00010] ; [2 2 3 1 0] ? [0 0 0 1 1] - условие не выполняется, переход запрещен.

Переход t5

[м0] ? [00001]* D - = [00001] ; [2 2 3 1 0] ? [0 0 0 1 1] - условие не выполняется, переход запрещен.

Построим дерево достижимости заданной сети.

Проверим, является ли достижимой одна из маркировок, полученных на пятом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Уравнение принимает вид

Перенесем в левую часть и выполним умножение, тогда

Приравняем составляющие векторов

Система имеет решение x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 1; x5 = 1.

Это значит, что исследуемая маркировка достижима и в последовательности срабатываний переходы t2, t4, t5 срабатывают по одному разу, переход t3 срабатывает два раза, переход t1 не срабатывает ни разу.

Задача 4. Элементы математической логики и теории автоматов

Граф сеть петри конечный

Конечный автомат задан графом, определенным в задаче 1 контрольной работы № 1. Вершины графа отождествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q1, q2 ,..., qn}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x1, x2, x3, x4}. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставить произвольно.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y1, y2, y3}:

Y1 - переход из состояния qi в состояние qi (петля);

Y2 - переход из состояния qi в qj при i<j;

Y3 - переход из состояния qi в qj при i>j.

Осуществить структурный синтез конечного автомата. Реализацию осуществить на элементах, указанных в табл. 1, в соответствии с номером варианта. Обязательной является минимизация реализуемых функций.

Таблица 1

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Типэлементов

И

НЕ

И

ИЛИ

НЕ

ИЛИ

НЕ

И

ИЛИ

НЕ

И

НЕ

ИЛИ

НЕ

ИЛИ

НЕ

И

ИЛИ

НЕ

И

НЕ

ИЛИ

НЕ

Типтриггера

RS

JK

T

RS

JK

D

RS

T

D

RS

Решение:

Множество вершин X = {x1, x2, x3, x4, x5}.

Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q1, q2, q3, q4, q5}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x1, x2, x3, x4}. Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y1, y2, y3}. Так как в графе нет петель, выходной сигнал y1 будет отсутствовать.

На основании аналитического описания ориентированного графа из задания № 1 запишем закон отображения состояний автомата:

Гq1 = { q2(x1/y2), q4(x2/y2)},

Гq2 = {q1(x3/y3), q3(x4/y2)},

Гq3 = {q2(x1/y3), q4(x2/y2)},

Гq4 = {q1(x3/y3), q5(x4/y2), q3(x1/y3)},

Гq5 = {q4(x2/y3)}.

Обобщенная таблица переходов и выходов соответствующего конечного автомата представлена в табл. 2.

Таблица 2

X

Q

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

X1

Q2/y2

-

Q2/y3

Q3/y3

-

X2

Q4/y2

-

Q4/y2

-

Q4/y3

X3

-

Q1/y3

-

Q1/y3

-

X4

-

Q3/y2

-

Q5/y2

-

Осуществим структурный синтез автомата, заданного табл. 1. В качестве элементов памяти используем T-триггеры, в качестве элементной базы используем логические элементы И ИЛИ НЕ.

N = 4 p ? log2 n = log2 4 = 2;

M = 3 e ? log2 m = log2 3 = 2;

R = 5 z ? log2 r = log2 5 = 3.

Приступаем к кодированию:

U

U1

U2

X1

0

0

3

X2

0

1

3

X3

1

0

2

X4

1

1

2

V

Y2

1

5

Y3

0

5

Q

W

W1

W2

W3

Q1

1

0

0

2

Q2

0

0

1

2

Q3

0

1

0

2

Q4

0

0

0

3

Q5

1

1

0

1

На основании результатов кодирования строим обобщенную таблицу переходов и выходов структурного автомата (табл.3), заменяя состояния, входные и выходные переменные их кодами.

Таблица 3

U1u2

W1w2w3

100

001

010

000

110

00

001/1

-

001/0

010/0

-

01

000/1

-

000/1

-

000/0

10

-

100/0

-

100/0

-

11

-

010/1

-

110/1

-

Используя таблицу переходов T-триггера и данные предыдущей таблицы, составим обобщенную таблицу функционирования структурного автомата (табл.4). Функции возбуждения трех триггеров обозначены через T1, T2, T3 соответственно.

Таблица 4

U1

U2

W1(t)

W2(t)

W3(t)

W1

(t+1)

W2

(t+1)

W3

(t+1)

V

T1

T2

T3

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

*

*

*

*

*

*

*

1

1

1

0

0

*

*

*

*

*

*

*

0

0

0

0

1

*

*

*

*

*

*

*

0

1

0

0

1

*

*

*

*

*

*

*

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

*

*

*

*

*

*

*

1

1

0

1

0

*

*

*

*

*

*

*

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

*

*

*

*

*

*

*

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

*

*

*

*

*

*

*

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

*

*

*

*

*

*

*

1

1

1

1

0

*

*

*

*

*

*

*

По этой таблице запишем СДНФ выходной функции V и функций возбуждения триггеров T1, T2, T3, зависящих от набора переменных u1, u2, w1(t), w2(t), w3(t). В результате получим систему логических функций для построения комбинационной части автомата:

.

.

.

.

Минимизируем функции согласно картам Карно:

Функциональная схема структурного автомата:

Список используемой литературы

А. В. Павлова Контрольные задания по курсу "Математические основы теории систем", для студентов специальности "Информационные технологии и управление в технических системах". Часть 1.- Мн.: 2006. - 17 с.

А. В. Павлова Математические основы теории систем: Конспект лекций для студентов специальности "Информационные технологии и управление в технических системах". Часть 1.- Мн.:БГУИР, 2004. - 84 с.

Похожие статьи




Элементы теории графов. Сеть Петри. Конечный автомат

Предыдущая | Следующая