Альтернативный метод вывода - Моделирование сетей

Рассмотрим модифицированный алгоритм Байесовского вывода, используя индикаторные функции равенства. В классической логике, две значения могут быть либо равны друг другу, либо нет. Однако, существуют многозначные логики (например, нечеткая логика), в которых не всегда работает закон исключенного третьего. В данной работе мы опишем подход, позволяющий расширить механизм Байесовского вывода на более общий случай. Для этого нам потребуется немного изменить алгоритм операции сокращения факторов. Также необходимо, чтобы модифицированный алгоритм оставался полностью совместимым с классическим алгоритмом Байесовского вывода и давал в точности те же результаты.

Определим индикаторные функции равенства:

Далее переопределим операцию сокращения фактора следующим образом: вместо того, чтобы вычеркнуть ячейки, несовместимые со значением сокращаемой переменной, домножим соответствующие значения фактора на множитель - индикаторную функцию равенства значения переменной в данной строчке таблицы значению сокращаемой переменной, а затем маргинализуем данную переменную из фактора. В таблице показано сокращение переменной В=1 из фактора с последующей маргинализацией переменной В из получившегося фактора/

Очевидно, что получившийся результат полностью идентичен фактору, получившемуся в результате традиционного сокращения переменной В=1. Докажем, что это верно в общем случае:

Теорема: традиционный и модифицированный алгоритмы сокращения переменной всегда дают идентичные результаты для идентичных факторов и идентичных сокращаемых переменных.

Доказательство: допустим, существует фактор H(X), где Х - некий набор переменных. Мощность данного фактора равна В результате сокращения переменной традиционным способом был получен фактор K(X/xI). Мощность данного фактора равна. В результате сокращения той же переменной альтернативным способом был получен фактор L. Альтернативное сокращение состоит из двух шагов: домножения фактора на значение индикативной функции и маргинализации. На первом этапе область определения фактора не меняется, на втором шаге из нее исключается переменная xI. Таким образом, области определения факторов K и L, а, следовательно, и их мощности, и множества назначений, входящих в эти факторы, совпадают. Докажем, что значения факторов K и L совпадают для всех назначений, входящих в эти факторы. Обозначим прообразом назначения а im(a) множество назначений исходного фактора Н, соответствующих данному назначению a фактора K или L. Так как множества назначений этих факторов совпадают, то и прообразы соответствующих назначений также совпадают. Исходя из описания алгоритмов, значения факторов K и L для каждого назначения зависят только от значений прообраза данного назначения фактора H. Также, исходя из полноты множества назначений фактора, можно утверждать, что прообраз любого назначения факторов K или L содержит назначения всех возможных значений переменной xI, причем каждое из них по одному и только одному вхождению. Обозначим ядром (core) прообраза назначение (всегда существующее и единственное), в котором переменной xI назначено значение v. Индикаторная функция равенства для назначений будет принимать следующие значения в условиях классической логики:

Значением назначения а фактора K для любого а будет ядро прообраза назначения а: . Значением назначения а фактора L для любого а будет. то есть, . Что и требовалось доказать.

Похожие статьи




Альтернативный метод вывода - Моделирование сетей

Предыдущая | Следующая