Интерполяция геологических параметров горных пород на регулярную сеть - Геоинформатика

Одной из основных задач региональной инженерной геологии являются изучение пространственной изменчивости свойств грунтов методом математического моделирования на ПЭВМ.

Под моделью обычно понимают "мысленно представляемую, материально реализованную систему, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте (Штрофф, 1966).

Математическая модель представляет собой некоторое выражение, записанное с помощью математических символов или в графической форме (график, поверхность регрессии в изозонах, система изолиний) (Бондарик, Горальчук, Сироткин, 1976).

Математико-картографические модели в изолиниях служат общепринятым и наглядным способом изображения поведения показателей инженерно-геологических свойств грунтов, заданных численными значениями в точках некоторой области каждой конкретной области.

Число заданных точек может быть различным, а их расположение в большинстве случаев носит случайный характер. Кроме того, значения показателя свойств грунтов в экспериментальных точках обычно имеют различную точность. Очевидно, что процесс построения карт свойств грунтов вручную чрезвычайно трудоемок и свободен от субъективных ошибок лишь в случае большого количества экспериментальных точек, густо расположенных в исследуемом районе. Но даже в том случае, если точность определений показателя свойств грунтов различна для каждой точки, процесс построения карт в изолиниях и их вид субъективен. Отсюда ясно, что построение карт показателей свойств грунтов с применением математических методов и ЭВМ, является очень важной задачей. Математическое решение (карт) полученно на ЭВМ, значительно точнее карт, построенных от руки, его можно получить при меньшем или большем количестве исходных данных, т. е. внедрение ЭВМ в практику инженерно-геологических исследований облегчает реализацию задачи и позволяет использовать для ее решения математические методы.

До настоящего времени применяется метод полиномиальной аппроксимации (Бондарик, Горальчук, Сироткин, 1976). При изучении закономерностей пространственной изменчивости показателей свойств грунтов в среднем и мелком масштабах, при построении моделей полей этот метод даст удовлетворительные результаты.

В качестве аппроксимирующего полинома используются: алгеброический полином k-го степени, гармоническая функция, тригонометрический - двухмерные ряды Фурье, EXP(р(х, у)) - экспонисальный полином, сплайн - аппроксимация и др.

При крупномасштабных региональных исследованиях если поля показатей свойств грунтов имеют сложную структуру, использование метода ограничивается. Применения метода полиноминальной аппраксимации требует также наличия большого количества эксперементальных данных и регулярность сети, что, естественно, увеличивается затраты на проведение изыскательных и лабораторных работ. Кроме того, при инженерно-геологических исследованиях в условиях сложного геологического строения территории не удается получить данные измерений по регулярной сети, поэтому необходим, позволяющий использовать данные измерений показателя свойств грунтов в точках, размещенных нерегулярно.

В настоящее время существует ряд методов моделирования геологических полей в условиях нерегулярной сети опробования, одним из них является метод модельной автокорреляционной функции (МАКФ) (Сидоркина, 1978).

Метод МАКФ позволяет учесть нерегулярность сети опробования и не требует ни предварительной обработки результатов измерений показателей с целью построения равномерной экспериментальной основы, ни сглаживания экспериментального материала для упрощения структуры изучаемого поля. Метод позволяет получить более детальное изображение структуры поля, поскольку выделяется высокочастотные компоненты.

Моделирование методом МАКФ состоит из четырех этапов: подготовка информации и выполнение предварительного анализа геологического поля; определение статистической структуры исследуемого поля - его пространственной модельной автокорреляционной функции (МАКФ);

Построение интерполяционного поля изучаемого показателя, в двух вариантах: либо в узлах регулярной сети, либо в точке, где измерение признака отсутствует; контрольная оценка качества модели и ее геологической интерпритации.

При моделировании геологических полей можно использовать и метод многошаговой вероятностной оценки, разработанный Ф. Б.Абуталиевым и Ю. К.Ахатовым (1971,1978).

Этот метод тоже не требует регулярной сети опробования, большого количества экспериментальных данных и предварительной обработки результатов измерений параметров с целью построения равномерной экспериментальной основы. Применение его при моделировании также позволяет получить оценку геологического признака в любой точке поля: в узлах регулярной сети или в точке, где измерение параметров отсутствует.

Моделирование геологических полей начинают с установления целей моделирования, выбора нужного для решения поставленных задач масштаба моделирования и комплекса показателей свойств грунтов, по которым это моделирование желательно проводить. После этого проводят сбор инженерно-геологической информации о свойствах грунтов для построения модели инженерно-геологического поля и составляют экспериментальную основу модели. Под экспериментальной основой понимается система ориентированных в пространстве экспериментальных точек, каждой из которых поставлены в соответствие некоторое значение изучаемого параметра, мера его рассеяния (Бондарик, Горальчук, Сироткие, 1976). Оценки показателя свойств грунтов в экспериментальных точках могут быть единичными определениями показателя, оценками среднего значения, дисперсии и др.

Построение экспериментальной основы начинают с набора экспериментальных точек, определения объемов оптимальной выборки и расчета статистических оценок показателя свойств грунтов в каждой точке.

При моделировании поля показателя свойств грунтов с применением выше указанных методов получим теоретические значения показателя в узлах точки по регулярной сети опробования, или в некоторых случиях получим функциональный модель показателя в виде:

Z=F(X, Y),

(где Z - моделируемый параметр, Х и Y координаты расположения точек на плоскости), что позволяет построить карту в изолиниях значений моделируемого показателя.

Рассмотрим алгоритмы некоторых методов аппроксимации. Алгоритмы полиномиальной аппроксимации данных показателей свойств грунтов по регулярной сети опробования заключаются в следующем.

Дана функция F(Х, У), значения которой известны в конечном числе точек области на плоскости (Х, У): (х1,у1), (х2,у2),...,(хn, уn).

Ставится задача построения многочлена F(Х, У), являющегося наи лучшим для данных F(Х, У). Под наилучшим надо понимать многочлен, для которого

N

¦ F(xi, yi) - F(xi, yi) ¦2 = min

I=1

И который имеет наименьшую возможную степень n.

Для решения задачи построим элементы наилучшего приближения. Пусть g1(х, у), g2(х, у),..., gk(х, у) - какая-то система линейно независимых функций на плоскости (Х, У), k < n. Найдем F(Х, У) - полином, составленный из этих функций так, чтобы

N

¦ F(xi, yi) - F(xi, yi) ¦2 = min.

I=1

Для построения элемента наилучшего приближения рассмотрим множество Q всевозможных функций, заданных в области плоскости (X, У).

Определим скалярное произведение для F, F1, E Q:

N

(F, F1) = F(xi, yi) F1(xi, yi)

I=1

И норму элемента

¦ F ¦ = F2 (xi, yi).

Всевозможные линейные комбинации функции g1(х, у), g2(х, у), ..., gk(х, у) образуют линейные k - мерные подмножества Q. На основании общей теории в этом подмножестве найдется элемент наилучшего приближения для F E Q в смысле введенной метрики. Построим полином наилучшего приближения. В качестве линейной независимых функций g1(х, у), g2(х, у),..., gk (х, у) возьмем функции 1, Х, У, Х, ХУ, У2,Х2...............,УК. Тогда полином наилучшего приближения имеет вид:

F(X, У) = a1 + a2 X + a3 У + а4 Х2 + а5 ХУ + а6 У2 +... +ak УК

Где k = (n+1)(n+2)/2.

Для нахождения коэффициентов а1, а2,..., аk необходимо решить систему из k - уравнений. Это довольно трудоемкий процесс и его можно избежать, если найти систему ортогональных полиномов, а именно определенное выше скалярное произведение.

Система ортогональных полиномов зависит только от расположения точек.

Систему ортогональных полиномов ф1(Х, У), ф2(Х, У),..., фk(Х, У) строим так, чтобы элементы ее были бы линейными комбинациями элементов системы g1(Х, У), g2(Х, У),..., g(Х, У).

Ортогональную систему полиномов построим по следующей схеме:

Фi = gi + dij фj,(i=1,k).

Если вместо gi(Х, У) - возьмем 1, Х, У, Х2, ХУ, У2, Х3,..., УN,

Системы ортогональных полиномов имеют вид:

Ф1 = 1

Ф2 = У + d21 ф1

............................

Фk = У + dkk-1 фk-1 + dk1 ф1

Коэффициенты dij - находим из условия попарной ортогональности полиномов

Фi(Х, У) (i=1,k): dij = (gi, фj)/(фj, фj).

Когда ортогональная система полиномов

Фi(Х, У) (i=1,k)

Построена, получаем полином наилучшего приближения

F(Х, У) = C1 ф1(Х, У) +.... + Ck фk(Х, У)

Где коэффициенты Cm из условия

Min ¦ F(xi, yi) - F(xi, yi) ¦ 2

Можно записать следующим образом:

Cm = (F, фm)/(фm, фm), (m=1,k).

При этом величина наилучшего приближения

2= ¦F(X, У) - F(X, У)¦2

Определяется по формуле: K

2 = (F, F) - Cm2 (фm, фm)

Если вместо Фi(i=1,k) используем 1, Х, У, Х2, ХУ, У2, Х3,..., уN,то получим

F(X, У) = a1 + a2 X + a3 У + а4 Х2 + а5 ХУ + а6 У2 +... +ak УN

Этот полином позволяет построить математико-картографические модели полей показателей инженерно-геологических свойств грунтов.

Похожие статьи




Интерполяция геологических параметров горных пород на регулярную сеть - Геоинформатика

Предыдущая | Следующая