Основы статистической обработки и представление петрофизических данных - Основные понятия и сведения о физических показателях горных пород

Петрофизические исследования проводятся с целью установления связей между физическими свойствами и геофизическими параметрами. Для количественной оценки выявленных закономерностей служит статистическая обработка, которая включает следующие этапы:

А) нахождение уравнения регрессии; Б) определение коэффициента r корреляции или корреляционного отношения и оценка достоверности.

Применение математических методов в петрофизике основано на представлении реальных геолого-геофизических объектов и процессов в виде математических моделей, которые учитывают специфические особенности этих исследуемых объектов. Правильный подход к математическому моделированию в петрофизике базируется на методах теории вероятности. Вероятностный характер петрофизических исследований обусловлен дискретностью наблюдений (от скважины к скважине; от пласта к пласту и т. п.), вследствие чего полученный фактический материал лишь выборочно характеризует исследуемый объект. Поэтому данные, полученные в петрофизике, представляют собой выборочную совокупность (или выборку) п значений случайной величины X (например пористости, проницаемости и т. п.). Такая выборочная совокупность создает представление о генеральной совокупности N значений изучаемой величины X. Генеральная совокупность значений случайной величины X изучаемого объекта состоит из всех возможных значений X в пределах этого объекта и по всему его объему. Так как достижение такой плотности наблюдений не реально, о генеральной совокупности судят по ограниченному объему данных, т. е. по выборочным совокупностям или выборке. Выборочная совокупность должна включать в себя определения по одному и тому же объекту, выполненные в одних и тех же условиях эксперимента.

Генеральную совокупность характеризуют: функция распределения F(x), математическое ожидание М[X], дисперсия

2 [X] и т. д.

Выборочная совокупность оценивается: рядом распределения; средним арифметическим значением Х, являющимся оценкой математического ожидания; выборочной дисперсией S2 [X] и т. д.

Увеличение числа наблюдений и объема случайной выборки способствует увеличению ее точности. При неограниченном возрастании случайной выборки все выборочные характеристики сходятся по вероятности (приближаются) к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.

Таким образом, выборочная совокупность представляет собой вероятностную модель реального геологического объекта или явления. Любые измеренные петрофизические величины можно представить в виде эмпирического (выборочного, статистического) ряда распределения, независимо от того, с какой случайной величиной (дискретной или непрерывной) имеет дело исследователь.

Наиболее простой формой выражения эмпирического распределения является таблица распределения. Для составления таблицы ряд наблюденных значений случайной величины разбивается на несколько интервалов (классов, разрядов), в каждом из которых определяют:

А) число попавших в него наблюдений (частоту) n;

Б) частость,

Где п -- общее число наблюдений;

В) накопленную частость Ni.

Сумма всех частостей равна 1. Единице равна и накопленная частость Ni в последнем интервале (табл. 6) для n = 79 определений.

Таблица 6

Пример составления вариационного ряда

Интервалы	Среднее значение величины	Частота Ni	Частость	Накопленная Частость Ni
1	2	3	4	5
4-6	5	3	0,0379	0,0379
6-8	7	5	0,0633	0,1012
8-10	9	6	0,0759	0,1771
10-12	11	10	0,1266	0,3037
12-14	13	14	0,1772	0,4809
14-16	15	17 -	0,2152	0,6961
16-18	17	15	0,1899	0,8860
18-20	19	7	0,0886	0,9746
20-22	21	2	0,2530	1,0000

Числовые значения таблицы распределения графически можно изобразить в виде гистограммы (вариационной кривой), полигона распределения и кумулятивной кривой (рис. 105).

Функция распределения является полной характеристикой случайной величины (как дискретной, так и непрерывной).

Основные характеристики распределения -- математическое ожидание и дисперсия.

вариационная кривая (1) и гистограмма (2) нормального распределения плотности пород (а) и кумулятивная (интегральная) кривая распределения плотности пород (б)

Рис. 105. Вариационная кривая (1) и гистограмма (2) нормального распределения плотности пород (а) и кумулятивная (интегральная) кривая распределения плотности пород (б)

Вариационные кривые строятся в арифметическом или логарифмическом масштабе и представляют собой кривые распределения физического параметра в пределах предварительно выделенной петрофизической группы, где каждому значению параметра х или интервалу его изменения х соответствует определенная повторяемость значений параметра (частота). Оптимальная ширина интервала может быть вычислена по формуле Стерджесса

Где xmax, xmin -- пределы распределения параметра;

П--число значений в распределении.

Построение вариационных кривых начинается с построения гистограмм распределения физических свойств по интервалам. На оси абсцисс откладывают в выбранном масштабе интервалы (обычно 7-10), а по оси ординат - плотности частот или частостей в каждом интервале.

График гистограммы представлен на рис. 105,а. График полигонов распределения значений частот или частостей в каждом интервале приурочен к его середине и представляет ломаную линию. Кумулятивная кривая изображает графически накопленные частости, значения которых откладываются на правом конце каждого интервала (рис. 105, б). Гистограммы и полигоны распределения могут принимать различную форму: симметричную и асимметричную, с острой и плоской вершинами, с одной и несколькими вершинами.

Особенности формы зависят от распределения изучаемых величин и определяются неравномерным выносом керна и неоднородностью изучаемых объектов, как по площади, так и по разрезу. Поэтому выбор теоретической модели, наилучшим образом описывающей эмпирическое распределение, является важной задачей. Это делается путем проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения той или иной теоретической функции распределения с помощью критерия согласия.

Алгоритм статистической обработки петрофизических данных, таким образом, строится в следующей последовательности.

- генезис породы; - тип породы; - состав породы; - степень преобразования.

Форма вариационной кривой служит одним из качественных критериев правильности выбора петрофизической группы. Распределение в пределах правильно выделенных групп пород, как правило, подчиняется нормальному или логнормальному законам, описываемым функцией

Где xi - значение параметра или его логарифм;

- среднее арифметическое значение параметра или его логарифма;

S - стандарт (среднеквадратическое отклонение) распределения параметра или его логарифма.

Степень однородности петрофизической группы пород определяется по одно - или двумодальности нормальной вариационной кривой распределения физического параметра (рис. 106).

Рис. 106. Форма одно - (а) и двумодальных (б) вариационных кривых

Двумодальная вариационная кривая - простейшая форма бимодальных или полимодальных вариационных кривых (рис.107).

Рис. 107. Форма нечетко выраженной (а) и асимметрической (б) вариационных кривых

После группирования пород приступают к построениям корреляционных зависимостей, петрофизических разрезов, карт и, в конечном счете, петрофизической классификации.

Для каждого параметра принято приводить следующие статические показатели:

1) - среднеарифметическое величина,

Где xi - значение одного измерения, N - количество измерений;

2) - модальное (наиболее часто встречающееся) значение,

Где 0 - начало модального интервала, - ширина интервала, N1, N2, N3 - частоты значений предмодального, модального и послемодального интервалов;

3) - дисперсия или стандарт (среднеквадратическое отклонение), отражающее диапазон вариаций параметра;

4) - погрешность определения среднего значения;

5) - мера асимметрии.

В случае нормального распределения параметра значение M0 и равны и А = 0, притом, что эти значения и показатель S можно оценить на графике вариационной кривой (рис. 108).

Рис. 108. Вариационная кривая, соответствующая нормальному закону распределения

Связи различных физических характеристик друг с другом или с другими геологическими показателями (минеральным или химическим составами и пр.) обычно носят вероятностный характер. Для его оценки строят корреляционные графики и составляют (находят) уравнения регрессии. Линейная связь оценивается коэффициентом корреляции k, а нелинейная - корреляционным отношением. Чем больше показатели приближаются к единице, тем сильнее связь между взаимокоррелируемыми величинами. Форма линейной и нелинейной связей при k = 0,91 и = 0,86 приведены на рис. 109.

Рис. 109. Пример формы линейной (а) и нелинейной (б) связей между изучаемыми петрофизическими показателями

Таким образом, важным моментом при изучении петрофизических характеристик является установление тесных связей между изучаемыми величинами путем расчета коэффициента корреляции или корреляционного отношения. Для нахождения математического описания связей разработано множество алгоритмов и программ, использующих методы регрессионного анализа. Они реализуются с применением компьютерных технологий.

Нахождение и оценка достоверности петрофизических связей

В математическом анализе зависимость между двумя или несколькими величинами выражается понятием функции y=f(x1 х2, ...). Здесь каждому набору значений xi соответствует строго определенное одно или несколько значений у. Такая зависимость называется функциональной. На практике функциональная зависимость реализуется редко, вследствие того, что на каждое значение у оказывает влияние не одно, а несколько значений х, в результате чего данному набору значений х может соответствовать некоторое множество значений у. Среднее из них называют условным средним уср.

Если с изменением х закономерно изменяется уср, то имеет место корреляционная (стохастическая) зависимость

Уср = f(х1, х2, ...), (21)

Т. е. корреляционная зависимость - это функциональная зависимость условного среднего уср от х.

Уравнение (21), выражающее корреляционную зависимость, называется уравнением регрессии у от х, а описываемая им линия (поверхность) - линией (поверхностью) регрессии. Аналогично получают уравнение регрессии х от у.

Xсp = (y1, у2 ...)

Первая задача корреляционного анализа - установление формы корреляционной связи, т. е. вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т. д.). Если обе функции f(x) и (y) линейны, то корреляцию y = f(x) и х = (у) называют линейной, в противном случае - нелинейной. При линейной корреляции обе линии регрессии представляют прямые с уравнениями регрессии

У=а0+а1х; x=b0+b1y.

Получить уравнение регрессии, это значит найти его коэффициенты а0 и а1 или b0 и b1 в случае двухмерной связи. В случае многомерных связей число неизвестных коэффициентов возрастает и для их определения с использованием компьютеров необходимы аналитические методы. Среди последних наиболее распространенным является метод наименьших квадратов, предложенный Гауссом. Метод основан на том, что выражение минимально, если с = у есть среднеарифметическое значение yi, то есть

Где n - число определений.

В справедливости этого легко убедиться, рассмотрев выражение как функцию аргумента с. Эта функция дифференцируема, ее минимум достигается при таком значении с, при котором производная равна нулю:

Следовательно,

Таким образом, удовлетворив условию, обеспечивается проведение линии (поверхности) регрессии через точки, максимально приближенные к условным средним.

При нахождении уравнения парной линейной регрессии

Y = a0 + a1x, значения коэффициентов а0 и а1, определенные по методу наименьших квадратов путем решения системы нормальных линейных уравнений, будут

При решении системы уравнений с помощью компьютерных программ существуют стандартные решения, для обращения к которым необходимо составить матрицу, которая в случае парной зависимости имеет вид

А в случае многомерной регрессии вид

У = а0 + а1f1(x) + а2f2(x) + ... + арfр(x),

Где х = {x1,x2,...} - совокупность параметров x.

Петрофизические модели и петрофизическое районирование

Для отображения изучаемого объекта создается модель, т. е. материальный или абстрактный образ, описание которого необходимо и достаточно для решения поставленной задачи.

Современные компьютерные программы позволяют формировать кластерные, дискретные, факторные и др. численные модели для выполнения соответствующих видов статистического анализа.

Петрофизическое обеспечение комплексной интерпретации геофизических материалов включает:

1) наличие петрофизических связей между параметрами геофизических исследований и литологическими показателями; 2) установление "петрофизического образца" породы, т. е. граничных значений различных физических параметров, определяющих диапазон изменения данного параметра для каждого типа породы.

По способу измерения петрофизических зависимостей различают следующие виды парных связей:

- Керн-керн (К-К); - Геофизика-керн (Г-К); - Геофизика - геофизика(Г-Г) и др.

Связь (К-К) получают в результате лабораторных исследований, например и Сгл (связь плотности и глинистости).

Связь (Г-К) получают в результате лабораторных исследований на образцах и интерпретации геофизических данных. Эта связь возможна только при точной привязке точек отбора проб к геофизическим наблюдениям (при скважинных исследований должен быть 100% выход керна или его предварительное профилирование).

Связь (Г-Г) получают путем вычислений данных по двум и более геофизическим методам. Такие связи необходимы при комплексной интерпретации геофизических данных.

Петрофизические разрезы, как форма петрофизических моделей, дают представления об изменении физических свойств горных пород с глубиной залегания. Их строят по скважинам в виде колонок по профилям геологоразведочных скважин. При этом извлекаемая петрофизическая характеристика позволяет уточнять:

1) границы раздела между литологическими и стратиграфическими комплексами (избыточная плотность, удельное электрическое сопротивление и др.); 2) основные геофизические реперы; 3) условия, затрудняющие применение методов ГИС и интерпретации их результатов, а также предопределяет комплекс ГИС при исследовании перспективности района на нефть, газ и другие полезные ископаемые. При совокупном анализе разрезов соседних скважин изучается латеральное распределение физических показателей, послойная зональность, степень эпигенетических изменений отдельных пластов, наличие экранирующих горизонтов и т. д.

Петрофизические разрезы при поисковых работах строят по данным изучения образцов керна и материалам ГИС. Разрезы дополняются петрофизическими картами, построенными по тому же принципу выделения петрофизических групп пород. Границы между петрофизическими группами пород проводят преимущественно по диаграммам ГИС.

Петрофизические разрезы средних и мелких масштабов составляют по данным интерпретации материалов ГИС, петрофизической характеристики горных пород и изменения физических свойств пород с глубиной.

Отличием петрофизических разрезов от геолого-геофизических является использование характеристики для уточнения петрофизических, фациальных, структурных и текстурных изменений горных пород в вертикальном и латеральном направлениях.

Параметрические разрезы отдельных типов осадочных пород и их комплексов, аналитическое выражение выявленных закономерностей распределения параметров по разрезу даются на основе графоаналитического метода. Примером может служить физико-геологическая модель полигона твердых отходов производства и потребления (ТОПП), изученного комплексом геофизических и атмогеохимических методов (рис. 110). Основным элементом моделей является их верхняя часть, представленная техногенным грунтом, как источником экологической опасности. В этой части выделены три структурно-вещественных комплекса, границы которых условны при небольшой толще отходов (1-3 м) и достаточно контрастны при значительных мощностях (10 м и более). Для первых двух комплексов характерно повышенное содержание биогаза, для третьего комплекса - фильтрата, который увеличивает его мощность, насыщая подстилающие породы.

Рис. 110. Геологическая (а) и петрофизическая (б) модели полигона ТОПП.

1 - слои мусора, содержащие фильтрат и биогаз; 2 - глина; 3 - суглинок; 4 - песок; 5 - области складирования отходов строительства и литейного производства; 6 - уровень грунтовых вод; 7 - направления миграции фильтрата и биогаза; 8 - графики физических показателей: с - удельное электрическое сопротивление, Vp - скорость распространения продольных волн, д - плотность, t - температура, CH4 - содержание метана, к - магнитная восприимчивость;

I-III - структурно-вещественные комплексы (I - поверхностно-рекультивационный, II - погребенный, III - техногенно-загрязненный)

Нейтрон горный порода электропроводимость

Обобщение результатов исследований физических свойств пород путем построения петрофизических разрезов и карт позволяет производить петрофизическое районирование территорий, которое основывается на геологическом районировании территории, базируется на геотектоническом положении того или иного региона с учетом литологических и фациальных особенностей отложений, палеогеологической обстановки их формирования, закономерностей распределения полезных ископаемых.

Заключение

Настоящее учебное пособие отражает требования существующих учебно-методических комплексов по направлению прикладная геология для подготовки специалистов, бакалавров и магистров соответствующих специальностей и основывается на имеющейся обширной учебной и научной литературе по разведочной геофизике. Пособие включает только основные понятия и сведения о физических показателях горных пород, необходимые для успешного освоения как специальных геолого-технических, так и геофизических дисциплин. В то же время автор преследовал цель изложить в краткой конспективной форме и тенденции изменения этих физических свойств, закономерности которых специфичны на каждом отдельном месторождении или в том или ином геолого-промышленном районе (бассейне). Помимо этого, автор счел необходимым привести и раскрыть сущность методов определения физических свойств, что должно способствовать облегчению проведения практических и лабораторных работ, успешному освоению студентами практических навыков работы с геофизическими приборами и оборудованием, выполнению метрологического контроля, оценке достоверности измерений.

Основы статистической обработки и представление петрофизических данных - Основные понятия и сведения о физических показателях горных пород

Похожие статьи