Построение математической модели при исследовании объекта - Производительность машины СМ-35

На основании задания выбираем диапазон варьирования каждого фактора:

Xi min ?Xi ? Xi max.

Варьируемыми факторами являются:

    1 - время загрузки дерева в установку, с; 2 - время разгрузки хлыста, с; 3 - время обработки одного дерева, м/с; 4 ? ? 15; 1,5 ? ?3,5; 1,8 ? ? 4,7.

Определяем верхний, нижний и основной уровни в натуральных и нормализованных обозначениях и интервалы варьирования факторов

Верхние уровни факторов:

=15;

=3,5;

=4,7.

Нижние уровни факторов:

=4;

=1,5;

=1,8.

Основной уровень фактора:

Х= (Xi min+ Xi max)/2;

;

;

Интервал варьирования фактора:

= Xi max - Х= Х - Xi min.

1=15 - 9,5=5,5;

2=3,5 - 2,5 =1;

3=4,7- 3,25=1.45.

Записываем в явном виде формулы, связывающие нормализованные и натуральные обозначения факторов

;

;

;

.

Строим матрицу базисных функций ПФП с 3-мя факторами (таблица 1) в нормализованных обозначениях, имея в виду получение модели, учитывающей наряду с линейными членами все парные взаимодействия:

= b0+ b1х1+ b2х2+ b3х3 +b12х1х2+ b13х1х3+ b23х2х3.

Таблица 1 Матрица базисных функций ПФП 23

№ опыта

x0

х1

Х2

Х3

Х1х2

х1х3

Х2 х3

У
    1 2 3 4 5 6 7 8

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

-

+

-

+

-

+
    - -

+

+

    - -

+

+
    - -
    - -

+

+

+

+

+

    - -

+

+

    - -

+

+

-

+

    - -

+

-

+

+ +

    - -
    - -

+ +

У1

У2

У3

У4

У5

У6

У7

У8

Определяем значения выходной величины для каждого опыта, получаем ПФП с 3-мя факторами в натуральных обозначениях (Таблица 2).

Таблица ПФП для трех факторов в натуральных обозначениях

№ опыта

Х1

Х2

Х3

Y(П), м3

1

4

1,5

1,8

1102,4

2

15

1,5

1,8

439,8

3

4

3,5

1,8

865,35

4

15

3,5

1,8

396,44

5

4

1,5

4,7

789

6

15

1,5

4,7

379,61

7

4

3,5

4,7

659,65

8

15

3,5

4,7

356,89

Вычисляем значение производительности для 8-и опытов:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Построим математическую модель в нормализованных обозначениях, рассчитав коэффициенты регрессии по формулам:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

=1137-299,7х1-34,4х2+61,7х3+16,9х12-30,4х13-4,1х23.

С помощью формул, связывающих нормализованные и натуральные обозначения факторов, получить уравнение регрессии в натуральных значениях факторов.

Преобразовав выражение, получаем:

.

Проведем обработку результатов в следующей последовательности:

1) Вычисляем оценку дисперсии, характеризующую ошибку эксперимента, и связанное с ней число степеней свободы fу.

=

Где

M - некоторое число дублированных опытов.

Имеем результаты 5 дублированных опытов:

;

;

;

;

;

;

;

Величина fу=(m-1)=4 является в данном случае числом степеней свободы, связанным с.

2) В полученное уравнение регрессии в нормализованных обозначениях факторов подставляют значения факторов x1, x2,..., xk, соответствующие условиям 1-го, 2-го, ..., N-го опытов. Таким образом вычисляются значения выходной величины 1, 2, ... N, предсказанные уравнением регрессии для каждого из опытов.

=1137,7-299,7(-1)-34,4(-1)+61,7(-1)+16,9(+1)-30,4(+1)-4,1(+1)=1392,5;

=1137,7-299,7(+1)-34,4(-1)+61,7(-1)+16,9(-1)-30,4(-1)-4,1(+1)=820,1;

=1137,7-299,7(-1)-34,4(+1)+61,7(-1)+16,9(-1)-30,4(+1)-4,1(-1)=1298,1;

=1137,7-299,7(+1)-34,4(+1)+61,7(-1)+16,9(+1)-30,4(-1)-4,1(-1)=793,3;

=1137,7-299,7(-1)-34,4(-1)+61,7(+1)+16,9(+1)-30,4(-1)-4,1(-1)=1584,9;

=1137,7-299,7(+1)-34,4(-1)+61,7(+1)+16,9(-1)-30,4(+1)4,1(-1)=890,9;

=1137,7-299,7(-1)-34,4(+1)+61,7(+1)+16,9(-1)-30,4(-1)-4,1(+1)=1474,1;

=1137,7-299,7(+1)-34,4(+1)+61,7(+1)+16,9(+1)-30,4(+1)4,1(+1)=847,7;

3) Вычисление дисперсий коэффициентов регрессии по формуле:

;

.

4) Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Оценка значимости коэффициентов регрессии проводится с помощью

T - критерия Стьюдента в следующем порядке:

А) для каждого коэффициента регрессии bi вычисляется расчетное t-отношение по формуле:

Tрасч i=,

Где - среднеквадратическое отклонение коэффициента bi, равное корню из его дисперсии.

Tрасч1=;

Tрасч2=;

Tрасч3=;

Tрасч12=;

Tрасч13=;

Tрасч23=.

Б) из таблиц t-распределения [2] по величине fу=4 для уровня значимости q=0,05 берется табличное t-отношение tтабл..

Tтабл. =2,78 (q=0,05; fу=4).

В) проверяем условие tрасч?tтабл.. Коэффициенты регрессии, для которых это условие выполняется, являются незначимым.

В моем случае коэффициент является незначимым, т. к

Tрасч23 tтабл.. Этот коэффициент можно не включать в уравнение регрессии.

Проверяем адекватность полученной математической модели.

1) Вычисляется сумма квадратов, характеризующая адекватность модели Sад по формуле:

Sад=(1390-1392,5)2+(822,9-820,1)2+(1300,6-1298,1)2+(760,6-793,3)2+

+(1584,4-1584,9)2+(888,1-890,9)2+(1471,5-1474,1)2+(850,6-847,7)2=56,89.

2) Вычисляем число степеней свободы fаб, связанное с дисперсией адекватности. При равномерном дублировании и при отсутствии дублированных опытов оно равно:

Fад=N-p,

Где N - число основных опытов плана;

P - число оцениваемых коэффициентов регрессии (при N=p адекватность модели проверить невозможно).

Fад=8-7=1.

3) Вычисляется дисперсия адекватности по формуле

S=Sад/fад;

S=56,89/1=56,89.

4) С помощью F-критерия Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяется однородность двух дисперсий: дисперсии адекватности S(с числом степеней свободы fад) и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента (с числом степеней свободы fy).

Вычисляется расчетное F-отношение Фишера по формуле:

Fрасч= S/;

Fрасч= 56,89/83,3=0,68.

Далее по таблицам распределения Фишера [2] находим величину Fтабл.

Fтабл=7,71

Так как Fрасч Fтабл, то можно принять гипотезу об однородности дисперсий и найденную математическую модель объекта можно считать адекватной.

Похожие статьи




Построение математической модели при исследовании объекта - Производительность машины СМ-35

Предыдущая | Следующая