Сумма векторов - Обработка векторных данных средствами языка программирования Visual Basic

Чтобы сложить два вектора, нужно от конца одного из них отложить второй вектор; тогда сумма - это вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора: . Это правило называется правилом треугольника.

Если векторы неколлинеарны, то можно воспользоваться правилом параллелограмма: отложить векторы от одной точки и достроить полученные два отрезка AB и AC до параллелограмма ABDC; тогда вектор, идущий по диагонали параллелограмма равен сумме данных векторов.

Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых; например, на плоскости: (X; Y) + (X1; Y1) = (X +X1; Y + Y1).

Пусть даны два вектора А = OA> и B = OB> (рис. 5).

От точки А отложим отрезок АС такой, что AС> = B. Тогда, вектор С =OС> называется суммой векторов А и B и обозначается А + B.

Таким образом, OA> + AС> = OС>. Это равенство называют правилом треугольникасложения двух векторов.

Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, А + 0 = А.

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. Свойство коммутативности (перестановочности): для любых векторов а и b

А + B = B + а.

    2. Свойство ассоциативности (сочетательности): для любых векторов а, b и с (А + B) + С = А + (B + с). 1. Пусть a = OA>, b = OB>. Рассмотрим случай, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой. На отрезках ОА и ОВ построим параллелограмм ОАСВ (рис. 8).

Тогда |ОА| = |ВС|, (ОА) || (ВС) и |ОВ| = |АС|, (ОВ) || (АС), как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, А = OA>= BC>, B = OB> = AC>, и поэтому А + B = OA>+ AC> = OC>, B + а = OB> + BC> = OC> ,что и доказывает равенство(1).

Для случая, когда точки О, А, В лежат на одной прямой, доказательство равенства (1) проведите самостоятельно.

2. От некоторой точки О отложим вектор OA> = а, от точки А отложим вектор AB> =b и, наконец, от точки В отложим вектор BC> = с (рис. 9, 10).

Соединим точки О и С отрезком ОС. Тогда, с одной стороны (см. рис. 9),

(А + B) + С = (OA> + AB>) + BC> = OB> + BC>= OC>

И, с другой стороны (см. рис. 10),

А + (B + с) = OA> + (AB>+ BC>) = OA> + AC> = OC>,

Что и доказывает равенство (2).

Из риc. 8 видно, что сумма векторов А = OA> и B = OB> равна направленной диагонали OC> параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ, т. е.

OA> + OB> = OC>.

Это равенство называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.

Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без скобок. Например, вместо (А + b) + С или А + ( B + с ) пишут А + b + с.

Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.

Пусть даны векторы А, b, с, d и требуется найти их сумму.

Выберем некоторую точку О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что OA> = А,

Затем построим отрезок АВ такой, что AB> = B, и т. д.

Построение продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок OD>, замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.

Похожие статьи




Сумма векторов - Обработка векторных данных средствами языка программирования Visual Basic

Предыдущая | Следующая