Основные формулы комбинаторики - Основные положения теории вероятностей

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

PN = n!,

Где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

AMN = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С MN = n! / (m! (n - m)!).

Пример перестановок. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Р е ш е н и е. Искомое число трехзначных чисел

P3 = 3! = 1 * 2 * 3 = 6.

Пример размещений. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Р е ш е н и е. Искомое число сигналов

А26 = 6 * 5 = 30.

Пример сочетаний. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Р е ш е н и е. Искомое число способов

С 210 = 10! / (2! 8!) = 45.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

AMN = PMC MN.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Похожие статьи




Основные формулы комбинаторики - Основные положения теории вероятностей

Предыдущая | Следующая