Расчет скорости заполняющего трубу потока для сверхтекучей жидкости - Гидравлический удар

Выяснив, что жидкость ускоряется вне трубы, а внутри нее скорость потока одинакова, можно переходить к расчетам скорости.

Сначала рассмотрим внезапное заполнение абсолютно пустой трубы. Условно разобьем непрерывный поток на маленькие порции, мысленно нарезав его поперек движения на тоненькие "ломтики".

В соответствии с уравнением Бернулли, когда первая порция жидкости ринется в трубу, при разгоне жидкости с неизменным гравитационным потенциалом (в горизонтальной трубе) все давление должно будет перейти в скоростной напор:

С - v2 / 2 = -ДP (11),

Где С -- удельная плотность жидкости; V -- скорость потока; -ДP -- потери давления, перешедшие в скоростной напор.

При этом со стороны трубы жидкости ничего не препятствует -- труба пуста, поэтому первая порция набирает максимальную скорость практически мгновенно. За ней устремляется следующая порция, на которую сзади действует такое же давление, и спереди ее также ничто не сдерживает -- ведь первая порция уже унеслась вперед с максимально возможной скоростью! Поэтому и вторая порция на входе в трубу набирает максимально возможную скорость. То же самое происходит и с третьей, и с последующими порциями. Конечно, в реальности они ускоряются более плавно, чем самое начало потока, но все это ускорение, как мы выяснили чуть выше, происходит перед входом в трубу, внутри же трубы, начиная от самого ее входа, заполняющий поток движется с максимально возможной скоростью, определяемой давлением на входе в трубу:

VМ = v(2 - P0 / с) (12),

Где VМ -- максимальная скорость потока; v -- операция извлечения квадратного корня; С -- удельная плотность жидкости; P0 -- давление возле входа в трубу. Мы получили вариант известной формулы Торричелли для определения скорости свободно истекающей жидкости.

Теперь предположим, что в трубе возле входа уже было некоторое количество жидкости, которая, к тому же, уже двигалась с некоторой скоростью. Тогда по закону Бернулли со стороны жидкости вне трубы на нее будет действовать сила

F = (P0 ± с - v2 / 2) / (р - R2) (13),

Где F -- сила от внешнего давления, воздействующая на жидость в трубе; P0 -- внешнее давление возле входа в трубу; С -- удельная плотность жидкости; V -- скорость жидкости в трубе; R -- внутренний радиус трубы; ± -- определяется направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно -- складывать.

Соответственно, ускорение жидкости будет определяться этой силой и массой жидкости в трубе:

A = F / m = ((P0 ± с - v2 / 2) / (р - R2)) / (с / (x - р - R2)) = (P0 / с ± v2 / 2) / x (14),

Где A -- ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления; P0 -- внешнее давление (возле входа в трубу); С -- удельная плотность жидкости; V -- скорость жидкости в трубе; R -- внутренний радиус трубы; X -- текущее заполнение трубы, т. е. расстояние от начала потока до входа в трубу; ± -- векторное сложение давления и скоростного напора, определяемое направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно -- складывать.

Проанализируем только что полученную формулу для ускорения.

    - Если жидкость движется навстречу внешнему давлению, внешнее давление тормозит ее, суммируя свое воздействие со скоростным напором жидкости. Эта ситуация имеет место во время обратного хода жидкости при отбое гидроудара в фазах 5 -- 7 (пока обратное движение не остановится). - Если жидкость в трубе покоится или движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но скорость ее меньше максимальной VM (12), внешнее давление ускоряет ее движение внутрь трубы и тем сильнее, чем медленнее движется жидкость. Эта ситуация соответствует фазе 1 при повторных циклах сильного гидроудара (с отрывом). - Если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, со скоростью, равной максимальной VM (12), ускорение отсутствует. Эта ситуация соответствует рассмотренному чуть выше заполнению пустой трубы, когда скорость заполнения неизменна и максимальна. - Наконец, если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но ее скорость превышает VM (12), внешнее давление не может ускорить жидкость в трубе, а новая жидкость заполняет трубу как пустую со скоростью VM. Впрочем, для создания такой ситуации надо приложить особые усилия и проявить немало изобретательности.

В соответствии с формулой (14) скорость потока при заполнении трубы на расстояние X от входа в трубу будет равна

V(x) = LX? a(x) dx = LX? ((P0 / с ± v(x)2 / 2) / x) dx (15),

Где V(x) -- скорость жидкости в трубе с учетом заполнения трубы; L -- начальное заполнение трубы от ее входа; X -- текущее заполнение трубы от ее входа; A(x) -- ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления с учетом заполнения трубы; P0 -- внешнее давление (возле входа в трубу); С -- удельная плотность жидкости.

Итак, при попытке рассчитать скорость аналитическими методами мы сталкиваемся с необходимостью брать интеграл функции от самой себя. Это обусловлено тем, что разгон жидкости в трубе относится к неустановившимся ("нестационарным") процессам, развитие которых прямо определяется состоянием их важнейших параметров на предыдущем этапе. Теперь понятно, почему теория гидравлического удара так долго находилась лишь на уровне качественного описания явления, а практические расчеты выполнялись на основании опытных данных и эмпирических формул, подходящих только для узкого диапазона условий. Однако получившаяся ситуация не является препятствием для численных методов решения задач, а с учетом возможностей современных компьютеров использование численных методов не представляет проблемы. К тому же для приближения к реальности необходимо учесть и гидравлическое трение, расчет которого в аналитической форме, мягко говоря, весьма затруднителен...

Похожие статьи




Расчет скорости заполняющего трубу потока для сверхтекучей жидкости - Гидравлический удар

Предыдущая | Следующая