Расчет емкости методом конформных преобразований. Особенности метода - Проектирование цифровых микросхем и печатных плат

Метод построен на конформных преобразованиях (раздел теории функции комплексного переменного). Суть метода заключается в существовании двух систем координат, определенным образом связанных между собой. Эта связь определяется некоторой функцией преобразования F. Если такая функция имеется, то мы всегда можем сопоставить некоторую точку в одной системе координат некоторой точке в другой системе координат.

Для этого достаточно выполнить условие, что точка может быть описана радиус-вектором, и в новой системе этот радиус-вектор будет иметь другой модуль и другой угол.

Используя представление радиус-вектора (см. ТФКП), можно менять модуль радиуса, угол поворота радиуса по определенным законам.

Таким образом, исходная фигура в системе координат XY преобразуется к некоторой другой фигуре (подобной) в другой системе координат--h--z.

Важное свойство конформных преобразований! При конформных преобразованиях изменяется конфигурация линий, их размер, ориентировка, НО УГЛЫ между пересекающимися линиями ОСТАЮТСЯ НЕИЗМЕННЫМИ.

Изобразим на рисунке фрагмент электрического поля: эквипотенциали (обозначены зеленым цветом), по нормали к которым ориентированы силовые линии (вектора электрического поля - показаны красным цветом). Некоторым образом, с помощью функции F преобразуем исходную систему. Однако в любом случае ортогональность будет соблюдаться. Это важное свойство позволяет сделать следующий вывод.

Параметры электрического поля при конформных преобразованиях не изменяются (изменяется только внешний вид)! Поэтому электрическое поле некоторой системы электродов полностью сохраняет свои интегральные показатели после конформных преобразований, но конфигурация электродов и, соответственно, поля видоизменяются.

Этот вывод позволяет наметить определенную стратегию решения задачи. Метод расчета сводится к следующему:

    1. Формируется некоторое число базовых систем электродов, для которых известна формула расчета емкости (например две параллельные пластины). 2. Для произвольной исходной системы, подлежащей расчету, ищется функция преобразования, которая сводит эту исходную систему к базовой системе. 3. На основании функции преобразования находят выражения для пересчета параметров исходной системы в параметры базовой системы. 4. Производят расчет базовой системы с новыми параметрами; полученный результат является искомым.

Особенности метода:

    1. Задача может быть решена в случае, если известна функция преобразования (из справочной литературы). 2. Метод применим только для решения электростатических задач. Для этого необходимо провести электродинамическую оценку задачи (см. условия существования Т-волны). 3. Метод применим только для однородных диэлектрических сред. Кусочно-однородные среды могут быть рассчитаны только в отдельных частных случаях. 4. Метод конформных преобразований как правило оперирует с пластинами (бесконечно тонкими элементами), поэтому исходная система электродов должна быть представлена в виде некоторой модели, содержащей бесконечно тонкие элементы.

Наличие диэлектрика и воздуха - это дополнительная трудность для расчета, ибо нарушаются условия однородности среды. Поэтому первым делом избавляемся от кусочно-однородной среды. Помещаем пластины в однородную среду и при этом оговариваем параметры среды путем задания ее эффективной диэлектрической проницаемости: eЭф = F (er1, er2). Поскольку метод оперирует бесконечно тонкими пластинами, приводим наш конденсатор к виду, где толщина пластин равна нулю (HФ = 0). Теперь есть надежда на расчет данной емкости методом конформных преобразований. Формулы для расчета приведены в упомянутой выше литературе.

Замечание: рассчитываются наиболее успешно фрагменты, имеющие хотя бы одну ось симметрии.

Похожие статьи




Расчет емкости методом конформных преобразований. Особенности метода - Проектирование цифровых микросхем и печатных плат

Предыдущая | Следующая