Проектирование активных фильтров n-го порядка, Передаточная функция n-го порядка - Активный RC-фильтр с индикацией на выходе

Передаточная функция n-го порядка

Так называемая задача аппроксимации представляет собой одну из наиболее существенных проблем при проектировании активных фильтров. С точки зрения проектирования активного фильтра и рассмотренных в гл. 2 основных понятий ее решение связано с нахождением рациональной передаточной функции n-го порядка следующего вида:

Здесь при S = jщ

Представляют собой заданные соответственно амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики. Полюсы функции T(s), т. е. корни полинома D(s), как правило, являются комплексно-сопряженными числами. Используя введенные в гл. 2 обозначения, саму передаточную функцию общего вида можно поэтому представить в виде произведения передаточных функций второго порядка, а именно

Где предполагается, что Dj(s) -- это четная функция с комплексно-сопряженными корнями, а корни полинома Nj(s), если являются конечными, то будут располагаться либо на оси Jщ, либо симметрично полюсам в правой половине S-плоскости. В общем случае функция Tj(s) имеет следующий вид:

Если же N представляет собой нечетное число, то само произведение (7.3) домножается на член первого порядка общего вида

Либо в случае функции нижних частот

Полагая, что показатель N является четным числом, заданную соотношением (7.3) передаточную функцию T(s) можно реализовать с помощью каскадного соединения N/2 функциональных узлов фильтров второго порядка. Это изображено на рис. 7.1,а).

Рис. 7.1. Каскадное соединение фильтровых Функциональных Узлов второго порядка.

Выходной сигнал каждого функционального узла снимается с выходного контакта ОУ, который обладает очень низким выходным полным сопротивлением. В результате этого отдельные функциональные узлы изолированы один от другого и могут соединяться каскадно в любой последовательности. Однако, может существовать такая последовательность их соединения, которая позволяет получить максимальный динамический диапазон у результирующего фильтра N-го порядка. Если же n-нечетное число, то необходимо использовать звено первого порядка (разновидность которого показана на рис. 7.1,6) для того, чтобы реализовать заданную соотношением (7.5а) функцию Tа(s) общего вида. Тогда, исходя из этого соотношения, получаем, что

Как следует из уравнения (7.5,6), в схеме звена нижних частот первого порядка требуются только резистор R1 и конденсатор С2 (см. рис 7.1,б), где

Звено верхних частот первого порядка легко получить, если в приведенной на рис. 7.1,б) схеме оставить только конденсатор С1 и резистор R2.

Из вышеприведенного рассуждения следует, что после того, как получена функция T(s), саму процедуру конструирования фильтра можно легко реализовать на основе каскадного соединения функциональных узлов второго (или третьего) порядка. Функция T(s), заданная в основном через ее полюсы и нули, разлагается на пары полюс--нуль (разд. 7.7), каждая из которых описывает функцию второго порядка Tj(s) вида (7.4). Каждая эта функция Tj(s) реализуется на основе перечня схем. Затем результирующие функциональные узлы соединяются каскадно, как показано на рис. 7.1, с тем чтобы обеспечивалась желаемая функция T(s) N-го порядка.

Если же функция T(s) первоначально задана в виде отношения полиномов, т. е. аналогично выражению (7.1), то сначала необходимо вычислить корни полиномов N(s) и D(s) с тем, чтобы представить функцию T(s) в требуемом виде (7.3). Вопрос о том, какая пара комплексно-сопряженных полюсов объединяется с какой парой нулей для формирования каждой функции Tj(s. Хотя теоретически каждая из (n/2)! возможных комбинаций пары полюс -- нуль и приводит к той же самой передаточной функции T(s) общего вида, можно показать, что существует их оптимальный выбор, обеспечивающий максимальный динамический диапазон и минимальный уровень шума. Однако сначала необходимо сосредоточить свое внимание на центральном вопросе, оставшемся в этом разделе, а именно как найти наиболее подходящую передаточную функцию T(s), способную обеспечить заданные амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики.

Похожие статьи




Проектирование активных фильтров n-го порядка, Передаточная функция n-го порядка - Активный RC-фильтр с индикацией на выходе

Предыдущая | Следующая