Параметрическая оптимизация по критерию максимума отношения сигнал/шум, Параметрическая оптимизация по критерию минимума среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала - Оптимальные линейные системы

Рассмотрим обработку сигнала вида

На фоне "белого шума" , имеющего энергетический спектр вида

.

В качестве критерия оптимальности выберем критерий максимума отношения сигнала к шуму в некоторый момент времени на выходе линейной системы. Подобная задача возникает в случае, когда, например, важным является Обнаружение полезного сигнала, причем восстановление его формы (Воспроизведение Сигнала) не является необходимым.

Пусть и _ соответственно сигнал и шум на выходе рассматриваемой линейной системы. Тогда в момент :

.

Выберем в качестве примера линейную систему, имеющую импульсный отклик

Причем целью оптимизации является выбор значения, обеспечивающего максимальное значение величины

Полезный сигнал на выходе системы определяется выражением:

Подставляя импульсный отклик рассматриваемой линейной системы, получаем:

Итак,

при

С другой стороны, как было показано в 3.12.1,

Тогда в момент

.

После дифференцирования по получаем уравнение для определения :

,

Откуда

При этом

Или

Где

и _ энергия полезного сигнала.

Параметрическая оптимизация по критерию минимума среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала

Пусть теперь полезным сигналом является реализация некоторого случайного процесса. Это может быть реализация сообщения при передаче речи или изображения, реализация сигнала в системе телеметрии и т. п. В таких условиях важным является не факт обнаружения полезного сигнала, а его воспроизведение на выходе линейной системы с возможно более высокой точностью. Поэтому в качестве критерия оптимальности целесообразно выбрать критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО) воспроизведения полезного сигнала на выходе линейной системы.

Пусть энергетические спектры процессов и равны соответственно

Полная ошибка воспроизведения сигнала на выходе линейной системы описывается случайным процессом вида:

,

Где _ искажение сигнала в результате прохождения процесса через рассматриваемую линейную систему.

Среднеквадратическая ошибка, очевидно, равна:

Где _ энергетический спектр процесса. В свою очередь по определению (см. 3.4):

Где _ спектр отрезка (длительностью ) произвольной - ой реализации процесса. Очевидно,

Где и _ спектры отрезков (длительностью ) - ой реализации процессов и, а _ функция передачи рассматриваемой линейной системы в частотной области. Тогда

Выберем в качестве оптимизируемой линейной системы фильтр с характеристикой вида:

Тогда, очевидно,

Кроме того, с учетом 3.12.2 имеем:

.

Тогда полная СКО воспроизведения полезного сигнала:

Оптимальное значение параметра находим в результате решения уравнения:

Откуда

С целью выявления физического смысла полученной зависимости введем в рассмотрение отношение сигнал/шум на входе линейной системы. При этом средняя мощность полезного сигнала с учетом результатов 3.12.2 равна:

Среднюю мощность шума на входе линейной системы определим как среднюю мощность "белого шума" в некоторой полосе частот, занимаемой полезным сигналом:

Где определяется как половина ширины эквивалентного прямоугольника по формуле (см.3.6):

Подставляя рассматриваемую функцию, получаем

Таким образом,

Так что

Вычислим теперь величину минимальной СКО воспроизведения полезного сигнала, соответствующую оптимальному выбору полосы рассматриваемой линейной системы. В области имеем:

Тогда минимальная Относительная СКО воспроизведения полезного сигнала равна

Соответственно в области когда имеем:

Похожие статьи




Параметрическая оптимизация по критерию максимума отношения сигнал/шум, Параметрическая оптимизация по критерию минимума среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала - Оптимальные линейные системы

Предыдущая | Следующая