Оптимизация по критерию минимума среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала - Оптимальные линейные системы

Рассмотрим задачу воспроизведения полезного сигнала, представленного реализацией случайного процесса, на фоне шума. По-прежнему энергетические спектры этих процессов обозначим соответственно и, однако, в отличие от 4.1.2, эти функции могут иметь произвольный вид, причем вид характеристики анализируемой линейной системы также заранее не известен.

С учетом результатов 4.1.2 в общем случае имеем:

,

Так что суммарная СКО воспроизведения полезного сигнала:

.

Представим полученное выражение в форме:

Представим сумму вещественных функций как некоторую вспомогательную вещественную функцию :

Тогда:

В полученном интеграле оба слагаемые подынтегрального выражения неотрицательны, причем лишь первое из них зависит от вида функции. Поэтому можно считать, что величина достигает своего минимального значения, если выполняется соотношение:

.

Следовательно, оптимальный вид функции определяется выражением:

.

При этом величина СКО воспроизведения полезного сигнала, очевидно, вычисляется по формуле:

.

Заметим, что в случае, когда энергетические спектры процессов и не перекрываются, величина оказывается равной нулю, что и следовало ожидать. Далее, в условиях, т. е. при отсутствии шума получаем, что также имеет ясный физический смысл. В то же время в общем случае величина принимает наименьшее значение на тех частотах, где величина максимальна. В этом смысле механизм оптимальной фильтрации по критерию минимума СКО воспроизведения полезного сигнала подобен механизму оптимальной фильтрации по критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе системы (см. 4.2).

Сравним теперь величину потенциально допустимой относительной СКО в рассмотренном случае с результатом параметрической оптимизации, полученным в 4.1.2. Итак, пусть

Тогда

Вычисляя интеграл и учитывая, что (см. 4.1.2) и, получаем:

,

Откуда окончательно минимальная относительная СКО воспроизведения полезного сигнала равна:

.

Полученный результат иллюстрируется на рисунке ниже. Здесь же пунктиром приведен соответствующий результат параметрической оптимизации в рассмотренном в 4.1.2 частном случае использования фильтра с прямоугольной функцией передачи в частотной области.

Как видно из приведенных выше зависимостей, полная оптимизация позволяет получить реальный выигрыш в величине СКО воспроизведения полезного сигнала в сравнении с параметрической оптимизацией.

Похожие статьи




Оптимизация по критерию минимума среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала - Оптимальные линейные системы

Предыдущая | Следующая