Оптимизация по критерию максимума отношения сигнал/шум - Оптимальные линейные системы

Рассмотрим, аналогично 4.1.1, обработку сигнала на фоне "белого шума" , по-прежнему используя в качестве критерия оптимальности критерий максимума отношения квадрата мгновенного значения сигнала к средней мощности шума на выходе системы. В отличие от 4.1.1, будем полагать форму сигнала произвольной, а характеристику соответствующей линейной системы неизвестной. С учетом результатов 4.1.1 и 3.12.1 имеем:

В силу неравенства Коши получаем:

Так что

Легко видеть, что отношение достигает своего предельного значения, если

Линейная система с таким импульсным откликом называется Фильтром, Согласованным с сигналом . При этом действительно

Выбирая, где _ момент окончания сигнала, имеем

Так что

Где _ энергия сигнала.

Сравнивая полученный результат с отношением сигнал/шум на выходе линейной системы, рассмотренной в 4.1.1, легко видеть, что полная оптимизация в данном случае обеспечивает выигрыш в достигаемом значении отношения сигнал/шум, равный дБ.

Функция передачи согласованного фильтра в частотной области имеет вид:

Где, при, _ функция, комплексно сопряженная со спектром сигнала. В частности, , откуда становится ясным физический смысл полученного результата: при мешающем воздействии в виде "белого шума" согласованный фильтр подавляет в большей степени относительно малые по амплитуде частотные составляющие сигнала, в определенном смысле "жертвуя" ими в целях более эффективного подавления "белого шума".

Рассмотрим теперь ситуацию, когда шум на входе оптимизируемой системы не является "белым", т. е. является "окрашенным", или Коррелированным, когда функция имеет произвольный вид, отличный от - функции.

Представим характеристику рассматриваемой линейной системы в виде произведения

Что соответствует каскадному соединению двух соответствующих линейных систем.

Выберем характеристику так, чтобы она удовлетворяла соотношению:

Тогда на выходе первого каскада имеется сигнал со спектром и шум с энергетическим спектром. Итак, рассматриваемая задача сводится к задаче оптимального приема сигнала на фоне "белого шума" с энергетическим спектром. Следовательно, оптимальная характеристика должна соответствовать характеристике фильтра, согласованного с сигналом :

Где величина определяется длительностью сигнала. Таким образом, характеристика искомой оптимальной системы имеет вид:

.

В частности,

.

Как видно из полученного соотношения, механизм оптимальной обработки сигнала в данном случае подобен механизму работы согласованного фильтра, однако, в дополнение к этому, оптимальная система подавляет в большей степени те частотные составляющие входного воздействия, которые соответствуют относительно большим составляющим энергетического спектра помехи.

Похожие статьи




Оптимизация по критерию максимума отношения сигнал/шум - Оптимальные линейные системы

Предыдущая | Следующая