Обслуживание с ожиданием - Теория систем массового обслуживания
Постановка задачи
СМО с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на 2 большие группы - Разомкнутые и Замкнутые. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком.
К Замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на подналадку.
В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.
Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются Разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Мы рассмотрим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена К. Эрлангом. На n одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности. Если в момент поступления имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь прибывшее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживанию очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент времени не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается, что при x0.
Где - постоянная.
Только что описанная задача представляет значительный прикладной интерес, и результаты, с которыми мы познакомимся, широко используются для практических целей. Реальных ситуаций, в которых возникают подобные вопросы, исключительно много. Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов, возникших к тому времени в телефонном деле.
Выбор распределения (1) для описания длительности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точностью описывает ход интересующего нас процесса. Распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим его свойством:
При показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.
Действительно, пусть означает вероятность того, что обслуживание, которое ужо продолжается время А, продлится еще не менее чем. В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, . Далее ясно, что и. А так как всегда и, и, следовательно,
Требуемое доказано.
Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требовании нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое Распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой
Где >0, a K-- целое положительное число.
Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k - независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).
Обозначим для случая распределения (1) через время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна
Это равенство даст нам cпособ оценки параметра по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна
Процесс обслуживания как марковский случайный процесс
В указанных нами предположениях о потоке требований и о длительности обслуживания задачи теории массового обслуживания приобретают некоторые черты, облегчающие проведение исследований. Мы отмечали уже вычислительную простоту. Теперь отметим более принципиальное соображение, которое станем развивать применительно к изучаемой задаче.
В каждый момент рассматриваемая система может находиться в одном из следующих состоянии: в момент T в системе находятся K требовании (k=0, 1, 2, ...). Если Krn, то в системе находятся и обслуживаются k требований, а m-k - приборов свободны. Если km, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Обозначим через состояние, когда в системе находятся K требований. Таким образом, система может находиться в состояниях ... Обозначим через -- вероятность того, что система в момент T окажется в состоянии .
Сформулируем, в чем заключается особенность изучаемых нами задач в сделанных предположениях. Пусть в некоторый момент наша система находилась и состоянии. Докажем, что последующее течение процесса обслуживания не зависит в смысле теории вероятностей от того, что происходило до момента . Действительно, дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:
Моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент ;
Моментами появления новых требований;
Длительностью обслуживания требований, поступивших после .
В силу особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента. Так как поток требований простейший, то прошлое не влияет на то, как много требований появится после момента . Наконец длительность обслуживания требований, появившихся после, никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента.
Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом, называются Процессами Маркова или же Процессами без последействия. Итак, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Это обстоятельство облегчает дальнейшие рассуждении.
Составление уравнений.
Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности. Одно из уравнения очевидно, a именно, для каждого T
(
Найдем сначала вероятность того, что и момент t.+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:
В момент T все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;
В момент T один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время H обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.
Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них біла закончена - имеют вероятность о(h), как легко в этом убедится.
Вероятность первого из указанных событий равна
,
Вероятность второго события
.
Таким образом
.
Отсюда очевидным образом приходим уравнению
Перейдем теперь к составлению уравнений для при 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 и. Пусть в начале 1. Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние в момент t+h. Эти состояния таковы:
В момент t система находилась в состоянии, за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна:
В момент t система находилась в состоянии, за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна
В момент t система находилась в состоянии, за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна
Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние за промежуток времени h имеют вероятность, равную о(h).
Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:
Несложные преобразования приводят от этого равенства к такому уравнению для 1;
(4)
Подобные же рассуждения для приводят к уравнению
(5)
Для определения вероятностей получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Ее решение представляет несомненные технические трудности.
Определение стационарного решения
В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения. Заметим дополнительно, что при .
Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4), (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:
(6)
При 1
(7)
При
(8)
К этим уравнениям добавляется нормирующее условие
(9)
Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения: при 1
При
Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принимает такой вид:
при
Отсюда заключаем, что при всех
Т. е. при 1
(10)
И при
(11)
Введем для удобства записи обозначение
.
Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1
(12)
При из (11) находим, что
И, следовательно, при
(13)
Остается найти. Для этого в (9) подставляем выражения из (12) и (13). В результате
Так как бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, сходится только при условии, что
(14)
То при этом предположении находим равенство
(15)
Если условие (14) не выполнено, т. е. если, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения , Расходится и, значит, должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех оказывается.
Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при с течением времени очередь стремится к по вероятности.
Поясним полученный результат на нескольких практических примерах, которые покажут, что обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам.
Пусть врач успевает удовлетворительно осмотреть больного и заполнить его историю болезни в среднем за 15 минут. Планирующие органы из этого обычно делают вывод: за четырехчасовый рабочий день врач должен принимать 16 человек. Однако больные приходят в случайные моменты времени. В результате при таком подсчете пропускной способности врача к нему неизбежно скапливается очередь, так как при проведенном подсчете принимается равным 1. Те же заключения относятся и к расчету числа коек в больницах, числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т. д. К сожалению, некоторые экономисты совершают такую же ошибку и при расчете погрузочных средств в карьерах, числе приемщиков на элеваторах, числе причалов в морских портах и пр.
Во всем дальнейшем мы предполагаем, что условие (14) выполнено.
Некоторые подготовительные результаты.
Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой. Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через вероятность неравенства, указанного в скобке при условии, что в момент поступления требования, для которого подсчитывается длительность ожидания, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство
(16)
Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для использования, приготовим некоторые необходимые для дальнейшего сведения. Прежде всего, для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для . Несложные преобразования приводят к таким равенствам: при M=1
=1-,(17)
А при m=2
(18)
Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна
(19)
Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:
(20)
При m=2
(21)
В формуле (19) может принимать любое значение от 0 до M (исключительно). Так что в формуле (20) < 1, а в (21) <2.
Определение функции распределения длительности ожидания.
Если в момент поступления требования в очереди уже находились K-m требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены K-m+1 требований. Пусть означает вероятность того, что за промежуток времени длительности T после поступления интересующего требования закончилось обслуживание ровно s требований. Ясно, что при имеет место равенство
Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и не зависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т. е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна
Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия -- стационарность, отсутствие последействия и ординарность -- выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени T ровно S приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)
Итак,
И, следовательно,
Но вероятности известны:
Поэтому
Очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду
=
.
Из формул (18) и (19) следует, что поэтому при m0
(22)
Само собой разумеется, что при t0
Функция имеет в точке t=1 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.
Средняя длительность ожидания
Формула (22) позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна
Несложные вычисления приводят к формуле
(23)
Дисперсия величины равна
Формула (23) дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает требований и среднем; общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна
(24)
Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины. При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения Т: т=1 и Т=2.
При Т=1 в силу (20)
При р=0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение А приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100.
При m=2 в силу (24)
При =0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение А приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.
Приведенные данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчете загрузки оборудования в системах массового обслуживания.
Похожие статьи
-
Традиционная методология: системы массового обслуживания Традиционной методологией применяемой для изучения процессов происходящих в территориально...
-
Техническое обслуживание и ремонт подвижного состава, систем электроснабжения и путевого хозяйства На электротранспортных предприятиях Украины...
-
Судно оснащено подруливающим устройством мощностью 200 кв с реверсивным винтом фиксированного шага. Оно служит как вспомогательное устройство, когда есть...
-
Типовые дискретные звенья - Теория дискретных систем
Сложную передаточную функцию дискретной системы удобно представлять в виде произведения передаточных функций типовых звеньев не выше второго порядка, как...
-
Основные положения теории ЧС - Корпоративная система связи с использованием сетевой телефонии
Техносфера, которая создана человеком для защиты от внешних опасностей по мере эволюции производства, сама становится источником опасности. Необходимо...
-
Схема технологического процесса на зоне представлена на рисунке 2. Основные маршруты Возможные маршруты Маршруты выборочного диагностирования Рисунок 2 -...
-
7. Несение вахтенной службы - Теория, устройство судна и техническое обслуживание
Организация наблюдения за окружающей обстановкой в дневное и ночное время при несении вахты. Надлежащее наблюдение должно постоянно вестись в...
-
А) первому уровню оплаты труда по ТСР Б) по второму уровню В) по третьему уровню Г) по четвертому уровню При применении сдельно-премиальной системы...
-
Неисправности тормозной системы - Техническое обслуживание и ремонт тормозной системы
Перечень работ выполняемых при техническом обслуживаний тормозной системы Техническое обслуживание карбюраторов является профилактическим мероприятием,...
-
Система технического обслуживания и ремонта силовых агрегатов и трансмиссии
Система технического обслуживания и ремонта силовых агрегатов и трансмиссии Для поддержания работоспособности автомобилей большое число воздействии,...
-
При объединении счетчиков с помощью линий связи появляется возможность построить АСКУЭ. Для работы в АСКУЭ счетчики серии Альфа имеют как цифровые (ИРПС...
-
При техническом обслуживании выполняются работы, предусматриваемые видами ТО. При ежедневном обслуживании проверяют действие тормозов в начале движения...
-
Органолептический контроль. Органолептический контроль включает контроль технического состояния элементов тормозного привода и тормозных механизмов...
-
Особенности процессов в дискретных системах - Теория дискретных систем
В дискретных системах осуществляется преобразование информации, заданной в виде дискретных процессов, квантованных по времени или по времени и уровню...
-
Эффективность действия тормозных систем автомобиля может проверяться с помощью специальных измерителей -- деселерометров или деселерографов. Такие...
-
При въезде автомобиля на тормозной стенд производится измерение массы оси, если имеется взвешивающее устройство; при его отсутствии масса оси может...
-
Основными компонентами таких стендов обычно являются: два взаимонезависимых комплекта роликов, размещенных в опорно-воспринимающем устройстве...
-
Посты ожидания - это посты, на которых автомобиля, нуждающиеся в том или ином виде ТО и ТР, ожидают очереди для перехода на соответствующий пост или...
-
Способы личного выживания При оставлении судна, т. е. при объявлении тревоги необходимо явится к месту расположения шлюпки, к которой приписан член...
-
Централизованная порейсовая система: регистрация пассажиров производится в центральном зале, где каждая стойка закреплена за отдельным рейсом....
-
Рис. 4.2.1. Временная диаграмма работы системы с РОС-ОЖ Расчет параметров систем с ОС и ожиданием 4.3.1 Построить временные диаграммы для системы с...
-
Значение и сущность технического обслуживания и ремонта автомобилей Чтобы обеспечить работоспособность автомобиля в течение всего периода эксплуатации,...
-
Для пневмопривода тормозных систем автомобилей конструкций прошлых лет (ЗиЛ, МАЗ, КрАЗ, КамАЗ) регулировку зазора производят изменением положения 28...
-
Классификация дискретных систем - Теория дискретных систем
Рассмотрим системы автоматического управления, в которых передача, обработка и преобразование информации осуществляются только в определенные моменты...
-
Введение - Теория дискретных систем
Дискретная система (или цифровой фильтр) - системы обработки цифрового сигнала заданного вектором x, называемого воздействием, преобразующая его в...
-
Определение по тяговой характеристике максимальной силы тяги локомотива Чтобы определить силу тяги локомотива при различных скоростях движения,...
-
Введение - Система технического обслуживания и ремонта локомотивов
Система технического обслуживания и ремонта локомотивов (СТОР) устанавливается в целях обеспечения устойчивой работы локомотивного парка, поддержания его...
-
Замена тормозной жидкости - Диагностирование и техническое обслуживание тормозной системы
Через 2 года эксплуатации или через каждые 45 тыс. км пробега заменяют тормозную жидкость. Если тормозная система используется с большой нагрузкой,...
-
Введение - Техническое обслуживание и ремонт тормозной системы
Я, Зарипов Денис, представляю свою дипломную работу по теме тормозная система. В данной дипломной работе мне удалось отразить все необходимое для...
-
Рис. 4.2.1. Временная диаграмма работы системы с РОС-ОЖ Расчет параметров систем с ОС и ожиданием 4.3.1 Построить временные диаграммы для системы с...
-
9. Судовые работы - Теория, устройство судна и техническое обслуживание
Защита металла от коррозии будет достаточно надежной только в том случае, если слой краски наносится на совершенно чистую поверхность, не имеющую...
-
N - число попаданий за четыре часа, TОб - время оборота подвижной единицы, ч, TОбср-среднее время оборота за час, ч. Таблица 10 Среднее время оборота...
-
Тормозная система, ТО - Устройство и техническое обслуживание Мерседес 123
Система ножного гидравлического тормоза состоит из главного тормозного цилиндра, усилителя тормозов SEWOD и дисковых тормозов на передних и задних...
-
Система смазки дизеля, ТО - Устройство и техническое обслуживание Мерседес 123
Масляный насос 1 - всасывает масло из поддона и нагнетает его в главный масляный фильтр. Между нагнетающей стороной насоса и смазочной магистралью...
-
Система технического обслуживания и ремонта электровозов Для поддержания электровозов в работоспособном состоянии и обеспечения надежной и безопасной их...
-
Снятие и установка Для снятия масляного насоса: -- поставьте автомобиль на смотровую канаву или подъемник, отсоедините провода от аккумуляторной батареи...
-
Разделить обслуживаемую территорию на макро-зоны можно двумя способами: статистическим, основанным на измерении статистических параметров распространения...
-
Общее диагностирование тормозных систем в АТО, организациях автосервиса (OA) или контроль при прохождении государственного технического осмотра включает:...
-
Выбрать и обосновать структурную схему устройства. Выбрать и обосновать принципиальную схему устройства. Определить основные характеристики устройства и...
-
Проверка крепления карбюратора. 1.2 Очистка приборов системы питания от грязи и пыли. 1.3 Проверка герметичности карбюратора. ТО-1=ЕО+п 2.1...2.2...
Обслуживание с ожиданием - Теория систем массового обслуживания