Интервальные оценки параметров сигналов - Измерения параметров сигнала

Как известно, точечные оценки параметров сигналов не позволяют оценить степень близости полученной оценки к истинному значению оцениваемого параметра. Более содержательна процедура оценки параметра, связанная с построением интервала, который "перекрывает" оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Например, пусть оценка среднего значения вычислена с помощью метода среднего арифметического по N независимым наблюдениям случайной величины X. Представляет интерес оценить в пределах некоторого интервала, в который попадает с заданной степенью достоверности. Такие интервалы можно построить, если известны выборочные распределения ошибок рассматриваемой оценки, где.

Если плотность вероятности известна, то можно определить вероятность того, что погрешность будет заключена в некоторых границах, по формуле

Вероятность называется доверительной вероятностью и характеризует надежность оценки. Интервал от -А до +А называется доверительным интервалом и характеризует точность полученной оценки. Весьма часто производятся измерения, при которых достаточно хорошо описывается нормальным законом. В этом случае

Где - смещение оценки M* (систематическая погрешность). Тогда

Приведем правую часть выражения (11) к виду

Для этого сделаем в (11) замену переменной

Теперь оно примет вид

Но формула

Является табулированной функцией, называемой функцией Лапласа и обладающей, в частности, свойством

Обозначив пределы интегрирования в выражении

;

И учитывая формулы (12) и (13), получим

,

Где ; .

Доверительная вероятность может быть определена путем интегрирования плотности вероятности оценки в пределах доверительного интервала.

Анализ зависимостей, приведенных на рис. 2 и построенных с помощью таблицы значений функции Лапласа, позволяет сделать следующие выводы. Доверительная вероятность для заданного Q имеет максимальное значение при смещении оценки, равном нулю; при увеличении модуля смещения оценки доверительная вероятность уменьшается и не зависит от знака смещения оценки.

Следует отметить, что доверительная вероятность, определяемая по формулам (12) и (13), является, по существу, условной доверительной вероятностью, т. е. доверительной вероятностью, полученной при условии, что смещение оценки имеет определенное значение.

Если известен интервал возможных значений нормированного смещения оценки M, то по формуле (12) или по графикам, приведенным на рис. 2, можно определить интервал возможных значений доверительной вероятности при заданном нормированном доверительном интервале. Используя графики, приведенные на рис. 2, можно решать и обратную задачу, а именно определять пределы изменения ширины нормированного доверительного интервала при заданной доверительной вероятности.

Рис. 2

Если известно значение смещения оценки, то его следует исключить из величины оценки и определить доверительную вероятность (доверительный интервал), полагая смещение оценки равным нулю.

Похожие статьи




Интервальные оценки параметров сигналов - Измерения параметров сигнала

Предыдущая | Следующая