Геометрические критерии устойчивости - Критерии устойчивости линейных систем

Требование, чтобы передаточная функция

Не имела полюсов в правой полуплоскости р = i, т. е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса R и осью i (см. рисунок), равносильно условию, что знаменатель выражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция не должна

(*)

Обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.

Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношение напряжения на зажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутой системе, как это показано на рисунке 2.

Для дальнейшего анализа перейдем от комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость Н(р)=u+i (см. рисунок 3).

При этом каждой точке р плоскости соответствует определенное значение Н на плоскости u, iv. И любой замкнутый контур на плоскости перейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости Н.

Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1, то соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н(p).

Показанный на рисунке 1 контур можно разбить на два участка : прямую iw от до - и полуокружность бесконечно большого радиуса R. На первом участке, где р=, функция H(p) обращается в функцию H(). В соответствии с выражением (*) этот участок преобразуется на плоскости H в линию, определяемую следующим cоотношением

Откуда

В этих выражениях аргументы передаточных функций цУ и цОс соответственно четырехполюсников

На втором рисунке контура (см. рисунок 1) при Rфункция H(p)0. Это вытекает из общего выражения

Которое при p можно представить в виде (под В подразумевается постоянный коэффициент, а p0i и pПi - соответственно нули и полюсы функции К(р)).

Совершенно аналогично и функцию Н(р) при p можно представить в форме H(p) = ApN-m где n и m - числа соответственно нулей и полюсов функции Н(р).

При n < m и p модуль функции H(p) на полуокружности R равен нулю. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н(р) на оси iw, то есть знать АЧХ и ФЧХ цепи KY(iw),KOc(iw).

Обходу контура на рисунке 1 в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от до -, т. е. также против часовой стрелки (см. рисунок 3).

Следовательно, если годограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0 , то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.

Это условие называют Критерием устойчивости Найквиста, а годограф H(iw) - диаграммой Найквиста.

Показанная на рисунке 3 диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1,i0. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0<w<, а штриховой - часть контура, соответствующая отрицательным частотам. Так как функция u(w) четная, а v(w) нечетная относительно w, то оба годографа симметричны относительно действительной оси.

Рисунок 3 был построен для случая, когда при w = 0 передаточная функция Н(iw) отлична от нуля эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы).

Пример диаграммы Найквиста для неустойчивой системы приведена на рисунке 4.

Рисунок 4

Основное преимущество данного метода: удобство оперирования с АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи.

Следует отметить, что при сложной схеме устройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по ней сложно судить о попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений годографом оси UН(w) на участке 1,.

Для устойчивости системы тогда необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (так, как показано на рисунке 4), либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях.

Справедливости ради необходимо заметить, что известны и другие геометрические методы исследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например критерий Михайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе систем автоматического регулирования. Но мы не будем рассматривать их в данной работе, а при необходимости, с ними можно познакомиться в книге : Котельников В. А., Николаев А. М. "Основы радиоэлектроники"

Похожие статьи




Геометрические критерии устойчивости - Критерии устойчивости линейных систем

Предыдущая | Следующая