Частотные преобразования - Активный RC-фильтр с индикацией на выходе

А). Преобразование типа НЧ > ВЧ

Технические требования к фильтрам верхних частот задаются так, как качественно изображено на рис. 7.27. Показаны как реальная, так и нормированная оси частот, и, как обычно, частота нормирования Щr была выбрана равной граничной частоте полосы пропускания Щс, т. е. Щr = щс. Передаточную функцию фильтра верхних частот Tвч(s) можно определить исходя из нормированной функции Tнч(s) фильтра нижних частот, производя подстановку

При проектировании фильтра верхних частот потребуется также и обратная процедура, т. е. должны быть найдены заданные в приведенных на рис. 7.27 определениях технические требования к фильтру верхних частот и соответствующие нормированные.

Рис, 7.27. Технические требования к фильтру верхних частот.

Amin, Amax, Щs и Щr, сначала получим соответствующие характеристики нормированного фильтра нижних частот Amin, Amax, Щc=1 и из соотношения (7.52)

Из этих нормированных требований к фильтру нижних частот можно сформировать соответствующую передаточную функцию Tнч(s), а затем, используя частотное преобразование (7.52), получить функцию Tвч(s) в определяемом уравнением (7.53) виде.

Б). Преобразование типа НЧ > ПП

На рис. 7.29 качественно изображены технические требования, предъявляемые к полосно-пропускающему фильтру. Предполагается, что его полоса пропускания геометрически симметрична, т. е.

Для получения геометрически симметричной функции полосно-пропускающего фильтра, соответствующей нормированной функции фильтра нижних частот, необходимо сделать подстановку

Параметр В представляет собой ширину полосы пропускания фильтра. Следовательно, передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Tпп(s) Находится из функции Tнч(s) при подстановке

Рис. 7.29. Технические требования к полосно-пропускающему фильтру.

На практике же характеристики полосно-пропускающего фильтра будут задаваться так, как показано на рис. 7.29, и их необходимо преобразовать в параметры соответствующей нормированной функции фильтра нижних частот. Получив это, можно использовать различные вспомогательные средства расчета нормированных фильтров нижних частот, которые приведены в этой главе, для нахождения соответствующих нормированных передаточных функций. Тогда соотношение (7.57) позволяет осуществить переход к полосно-пропускающей передаточной функции, удовлетворяющей исходным техническим требованиям.

Для того чтобы получить нормированную функцию фильтра нижних частот (см. рис. 7.26) на основе предъявленных на рис.7.29 технических требований к полосно-пропускающему фильтру, необходимо подставить

Таким образом, для заданного набора технических требований к геометрически симметричному полосно-пропускающему фильтру (рис. 7.29), т. е. Amах, Amin, Щs1, щв1, щs2, щв2, где соотношение (7.55) выполняется, найдем сначала соответствующие нормированные параметры фильтра нижних частот, а именно Amах, Amin, Щc=1, а исходя из соотношения (7.58), найдем Щs. После того как сформирована соответствующая нормированная функция фильтра нижних частот Tнч(s), сама функция полосно-пропускающего фильтра определяется по соотношению (7.57).

Рис. 7.30. Преобразование несимметричных технических требований к полосно-пропускающему фильтру в симметричные.

Если же исходные характеристики - полосно-пропускающего фильтра не соответствуют геометрически симметричному фильтру, то эти технические требования необходимо соответственно модифицировать. Затухание в полосе задерживания можно увеличить, а несимметричную граничную частоту полосы пропускания уменьшить, т. е. изменить их в сторону ужесточения требований к фильтру. Тогда результирующий геометрически симметричный фильтр с более жесткими требованиями будет гарантировать выполнение исходных технических требований на геометрически несимметричный фильтр. Следует отметить, что частотное преобразование типа НЧ > ПП удваивает порядок соответствующего знаменателя функции нижних частот n-го порядка и вводит член Sn в числитель. Это означает, что каждому полюсу функции нижних частот соответствуют два полюса в полосно-пропускающей функции. Необходимо также отметить, что добротности (т. е. Qp) вновь преобразованных полюсов полосно-пропускающей функции всегда больше, чем у исходных полюсов функции нижних частот.

Вместо использования процедуры подстановки на основе соотношений (7.59) -- (7.61) имеется возможность получить пары полюсов полосно-пропускающей функции, соответствующие отдельным полюсам функции нижних частот, графически1). Хотя результаты и получаются недостаточно точными для проектирования фильтров, они дают оценку первого порядка требуемых частот полюсов и, что более важно, их добротностей.

Нормированный вариант частотного преобразования (7.56) имеет вид

Где S представляет собой нормированную комплексную частоту нижних частот, нормированную относительно Щr. В полярных координатах она задается следующим образом:

Комплексная частота полосно-пропускающего фильтра, нормированная относительно щr, равна р. В полярных координатах

Наконец, параметр B представляет собой нормированную относительно частоты Щr ширину полосы пропускания В, т. е. из соотношения (7.56б) получаем

Добротности полюсов функций фильтров нижних частот и полосно-пропускающего соответственно равны

Для нахождения пар полюсов полосно-пропускающего фильтра, соответствующих отдельным полюсам фильтра нижних частот, можно теперь использовать приведенный на рис. 7.31 график частотного преобразования. Полюс фильтра нижних частот Si характеризуется параметрами Ai и QLi где

Полюсы полосно-пропускающего фильтра Pм, н, находятся тогда из этого графика при считывании с него показателя качества Qв и пары коэффициентов Mм и Mн, где

Заметим, что график приведенный на рис. 7.31, позволяет быстро оценить добротности полюсов сомножителей полосно-пропускающей функции, поскольку известны полюсы нормированного фильтра нижних частот. Качественно это преобразование, выполняемое в данном примере, изображено на рис. 7.32. Он демонстрирует, как низкие добротности сомножителей функции фильтра нижних частот третьего порядка значительно увеличиваются в соответствующем полосно-пропускающем фильтре шестого порядка. В типовом случае ступенчато-настроенный полосно-пропускающий фильтр состоит из трех полосно-пропускающих фильтров второго порядка, где добротности первого и третьего звеньев равны и больше, чем у центрального звена.

В). Преобразование типа НЧ > ПЗ

На рис. 7.33 качественно изображены предъявляемые к полосно-заграждающему фильтру технические требования. Полосно-заграждающий фильтр представляет собой инверсный аналог полосно-пропускающего фильтра в том смысле, что их полосы пропускания и задерживания поменялись местами. Вспомним, что из подобных рассуждений мы установили, что фильтр верхних частот является также инверсным аналогом фильтра нижних частот (полосы пропускания и задерживания поменялись местами) и формируется из прототипа нижних частот при подстановке 1/S вместо S.

Рис. 7.33. Технические требования к полосно-заграждающему фильтру.

Соответственно характеристику полосно-заграждающего фильтра можно получить при инвертировании частотного преобразования НЧ > ПП. Исходя из уравнения (7.56а), находим

Параметр В описывает ширину полосы задерживания, а уравнение (7.66в) подразумевает геометрическую симметрию. Таким образом, передаточная функция Tпз(s) полосно-заграждающего фильтра получается из нормированной функции Tнч(s) фильтра нижних частот при подстановке

На практике же заданную на рис. 7.33 полосно-пропускающую характеристику необходимо сначала преобразовать в характеристику нормированной функции нижних частот. Задав параметры полосно-заграждающего фильтра Amах, Amin, Щc1, Щs1, Щs2 и Щc2, где предполагается геометрическая симметрия [см. уравнение (7.66 в)], находим следующие параметры соответствующего фильтра нижних частот: Amах, Amin, Щс = 1 и

На основе этих параметров можно определить желаемую передаточную функцию Tнч(s) фильтра нижних частот, используя таблицы и другие средства проектирования, приведенные в этой главе. При подстановке S = Bs/(s2 + щr2) в выражение для функции Tнч(s) получается соответствующая функция TПЗ(s) полосно-заграждающего фильтра [см. уравнение (7.67)]. Из-за прямой аналогии между формированием полосно-пропускающей и полосно-заграждающей передаточных функций нет необходимости продолжать здесь дальнейшее рассмотрение полосно-заграждающего фильтра. Следует отметить, что в случае геометрически несимметричных технических требований к полосно-заграждающему фильтру их необходимо модифицировать, т. е. получить более жесткие, но геометрически симметричные требования, как было уже сделано для полосно-пропускающего фильтра. Тогда результирующий геометрически симметричный полосно-заграждающий фильтр будет надежно удовлетворять требованиям, предъявляемым к заданному несимметричному фильтру.

Похожие статьи




Частотные преобразования - Активный RC-фильтр с индикацией на выходе

Предыдущая | Следующая