Алгебраические критерии устойчивости - Критерии устойчивости линейных систем

В настоящее время известно несколько критериев, различающихся больше по форме, чем по содержанию. В основе большинства из этих критериев лежит критерий устойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.

Пусть линейное однородное уравнение для цепи с постоянными параметрами задано в форме :

Где x - ток, напряжение и так далее., а постоянные коэффициенты - действительные числа, зависящие от параметров цепи.

Решение этого уравнения имеет вид :

Где Ai - постоянные, а pi - корни характеристического уравнения

Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные токи и напряжения были затухающими. А это означает, что корни уравнения (1) должны быть либо отрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем :

"Cистема устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны."

Это фундаментальное положение было основано А. М.Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости. В связи с этим приведенный выше критерий называют Критерием Ляпунова.

Заметим, что левая часть характеристического уравнения (1) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции цепи записанной в форме

Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточной функции К(р) этой цепи.

Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных корней равносильны следующему утверждению : для устойчивости цепи необходимо, чтобы передаточная функция К(р) не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р.

В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Однако ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих коэффициентов. Это можно сделать с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения c действительными

Коэффициентами и b0>0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители 1, 2, ..., m, составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме :

И т. д.

Сформулированный алгебраический критерий устойчи-вости называют Критерием Рауса - Гурвица.

При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения заменяют нулями.

Пример

Для уравнения четвертой степени получаются следующие определители :

В результате несложно видеть, что выполняется равенство

Отсюда по теореме Гурвица следуют условия устойчивости (в виде следующих неравенств):

Так, для характеристического уравнения второй степени

Критерий Рауса - Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами: вычисления относительно просты. Недостатком этого критерия является ограниченность применения: область применения критерия ограничена цепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается через многочлены. Кроме этого этот критерий не дает ясных указаний на то, как из неустойчивой цепи сделать устойчивую.

Похожие статьи




Алгебраические критерии устойчивости - Критерии устойчивости линейных систем

Предыдущая | Следующая