Задача об устойчивости движения спутника - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Рассмотрим сначала промежуточное движение. Мы видели, что промежуточное движение спутника происходит в области, ограниченной двумя эллипсоидами и двумя гиперболоидами. Орбита спутника, как легко показать, касается одного эллипсоида, затем гиперболоида, второго эллипсоида и второго гиперболоида и. т. д. Согласно [2] движение спутника будет условно-периодическим с тремя периодами. Введем эти периоды.
Назовем аномалистическим периодом Т1 промежуток времени между двумя последовательными касаниями внешнего (внутреннего) ограничивающего эллипсоида. Очевидно, этому промежутку времени соответствует изменение от некоторого до. Драконическим периодом Т2 Назовем промежуток времени между двумя последовательными пересечениями спутником плоскости z = с, например, с юга на север. Как легко видеть, этому промежутку времени будет соответствовать изменение от до. Так как плоскость z = с отстоит от экваториальнойплоскости на 7,5 км, то драконический период практически будет совпадать с промежутком времени между двумя последовательными пересечениями спутником плоскости экватора. Назовем, наконец, сидерическим периодом Т3 Промежуток времени, в течение которого долгота w0 возрастает на 2 радиан. В соответствии с этим введем среднее аномалистическое движение, среднее драконическое движение п2 и среднее сидерическое движение п3 по формулам
(4.2.1)
Ясно, что все три периода изменяются от оборота к обороту, подвергаясь периодическим (и, вообще говоря, малым) колебаниям. Однако если пренебречь этими малыми колебаниями, то мы получим некоторые средние значения для этих периодов, которые и будут характеризовать движение спутника на больших промежутках времени.
Обращаясь к уравнениям, мы видим, что при изменении на 2 время t изменяется (в среднем) на величину, равную. Поэтому
Аналогичным образом находим, что
С принятой точностью, таким образом, будем иметь
(4.2.2)
Отсюда следует, что средние движения исоответственно три периода отличаются друг от друга величинами порядка.
Очевидно, что п1, П2, и п3 представляют собой средние скорости изменения переменных, и, а периоды Т1, Т2 и Тз показывают, за какое время эти переменные изменяются (в среднем) на 2л.
Величины п1, п2 и п3 в известной степени определяют характер движения спутника. Если п1, П2, п3 несоизмеримы, то орбита спутника не будет замкнутой кривой.
В этом случае какую бы точку тороидального пространства, где происходит движение спутника, мы ни взяли, всегда найдется такой момент времени, когда спутник будет сколь угодно близко от этой точки. Другими словами, траектория спутника будет всюду плотно заполнять область возможности движения. Картина изменяется, если отношения этих постоянных являются рациональными числами. В этом случае орбита спутника будет замкнутой кривой, а его движение -- периодическим. Два условия периодичности будут связывать три элемента, а, е, i, от которых зависят постоянные п1, П2, п3. Один из этих элементов можно выбрать произвольно, а два других будут принимать счетное множество значений. Три угловых элемента будут произвольными. Таким образом, уравнения промежуточного движения допускают периодических движений, период которых в общем случае является весьма большой величиной. [15]
Перейдем теперь к рассмотрению возмущенного движения. Предположим сначала, что на спутник действуют только силы гравитационной природы. Для определенности будем считать, что спутник подвержен возмущениям от зональных, тессеральных и секториальных гармоник потенциала притяжения Земли, а также влиянию Луны и Солнца. Тогда согласно 2.1 возмущающая функция R будет даваться формулой
Используя равенства, мы можем представить функцию R в виде следующего ряда:
(4.2.3)
Где
(4.2.4)
Причем -- малый параметр,
K1,K2, . . . , s3 -- целые числа;
-- угловая скорость вращения Земли;
и -- средние движения Луны и Солнца;
D0 -- постоянная, а коэффициенты А суть функции элементов а, е, i или L, G, Н.
Будем рассматривать такую область пространства, чтобы функция R имела порядок. Тогда отношения частот п' и п"к п будут иметь порядок.
Вычислим теперь следующий определитель:
Где
Тогда получим
Сделанные предположения относительно функции R и тот факт, что, дают нам возможность воспользоваться теоремой В. И. Арнольда [3] об устойчивости канонических систем. Из этой теоремы следует, что для всех начальных условий израссматриваемой области, за исключением, быть может, некоторого множества малой вместе с меры, элементы L, G, Н можно представить сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, почти для всех начальных условий элементы L, G, Н будут изменяться в ограниченных пределах и тем самым почти все орбиты спутника будут устойчивыми по Лагранжу, ибо область пространства, где происходит движение спутника, полностью определяется элементами L, G, Н. Эта область, ограниченная двумя эллипсоидами и гиперболоидами, будет лишь пульсировать со временем, а не расширяться или сужаться вековым образом.
Заметим, однако, что возмущения от сопротивления атмосферы, приведут к тому, что расстояния между поверхностью Земли и ограничивающими эллипсоидами будут непрерывно сокращаться, и спутник рано или поздно упадет на Землю.
Похожие статьи
-
4.1 Введение В предыдущих главах было подробно изучено промежуточное движение искусственного спутника. Была рассмотрена качественная картина движения,...
-
Влияние электромагнитных сил - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Пусть спутник обладает электрическим зарядом, равным Q. Тогда при движении в магнитном поле Земли на него будет действовать сила F, определяемая формулой...
-
Введение В предыдущих главах были рассмотрены возмущения элементов орбиты спутника, вызываемые зональными и тессеральными гармониками геопотенциала и...
-
2.1 Дифференциальные уравнения движения искусственного спутника Мы ввели подвижную, жестко связанную с Землей, систему координат и соответствующие ей...
-
В предыдущих главах были выведены формулы, позволяющие вычислять положение спутника в пространстве для любого момента времени, если известны численные...
-
Из дифференциальных уравнений и формул видно, что элементы L, G, Н, а следовательно, и а, е, i, не имеют (по крайней мере в первом приближении) вековых...
-
Представим возмущающую функцию в следующем виде: (6.2.1) Где (6.2.2) (6.2.3) В формулах (6.2.1) и (6.2.2) первые строчки соответствуют четным h -- q, а...
-
Возмущающая функция В этой главе мы рассмотрим возмущения элементов орбиты спутника, обусловленные зональными гармониками потенциала притяжения Земли....
-
Полученные дифференциальные уравнения для элементов промежуточной орбиты позволяют довольно просто построить аналитическую теорию движения спутника со...
-
Замечания - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Представление потенциала притяжения Земли в виде ряда по сферическим функциям стало классическим. В силу простоты сферических функций оно очень удобно...
-
ВВЕДЕНИЕ - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Изучение движения искусственных спутников Земли представляет интерес не только для специалистов по астродинамике, занимающихся прогнозированием движения...
-
Сила сопротивления атмосферы - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
При изучении поступательного движения спутника принимают во внимание лишь ту компоненту аэродинамических сил, направление которой противоположно вектору...
-
Введение Помимо несферичности Земли, притяжения Луны и Солнца, сопротивления атмосферы и светового давления на движение спутника действует целый ряд...
-
Плотность атмосферы - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Плотность воздуха верхней атмосферы определяется как непосредственно, при помощи аппаратуры, установленной на спутниках и ракетах, так и косвенным путем,...
-
Рассмотрим, наконец, общую схему вычисления возмущенных координат спутника. Элементы орбиты. Примем за основную систему произвольных постоянных теории...
-
В этой части мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения промежуточной орбиты...
-
Постановка задачи Долготная часть потенциала земного притяжения дается следующей формулой: (6.1.1) Где r -- радиус-вектор; -- геоцентрическая широта; --...
-
Постановка задачи В этой главе мы рассмотрим возмущения в движении спутника, обусловленные притяжением Луны и Солнца. Пусть, как и раньше, Оxyz --...
-
Сводка формул для возмущений - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Приведем окончательные формулы для возмущений элементов промежуточной орбиты. Поскольку v отличается от только периодическими членами порядка и, то с...
-
Притяжение объемного тела - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки Р единичной массы некоторым телом М. Будем предполагать, что тело имеет произвольную форму, а плотность...
-
Запуск первого искусственного спутника Земли - История развития космонавтики
4 октября 1957 г. весь мир потрясло известие о том, что на околоземную орбиту выведен первый советский искусственный спутник Земли "Спутник-1". Так был...
-
Давление света В этом главе мы выведем формулу для возмущающего ускорения, вызываемого действием светового давления на спутник. Сначала мы предположим,...
-
Эллиптические функции Якоби В предыдущей главе были найдены первые интегралы уравнений промежуточного движения, позволяющие записать общий интеграл...
-
Рассмотрим распределение силы тяжести на уровенной поверхности. Ускорение силы тяжести gдается формулой (1.2.1) Где Так как второе слагаемое правой части...
-
Запуск второго искусственного спутника Земли - История развития космонавтики
Работы по созданию второго искусственного спутника Земли начались сразу после запуска первого, и уже 12 октября 1957 г. было принято официальное решение...
-
Нецентральность гравитационного поля Земли - Возмущенное движение космического аппарата
Возмущенный движение гравитационный орбита При решении ограниченной задачи двух тел Земля представляется шаром со сферическим распределением плотности. В...
-
В формулы для возмущений элементов помимо масс и больших полуосей возмущающих тел входят также наклоны, долготы узлов и перигеев Луны и Солнца,...
-
Рельеф лунной поверхности, Движение луны - Луна как спутник Земли
Граница дня и ночи на Луне называется терминатором, в это время лучше всего изучать рельеф Луны, потому что все неровности отбрасывают тень и их легко...
-
В 1955 году (задолго до летных испытаний ракеты Р-7) С. П. Королев, М. В. Келдыш, М. К. Тихонравов вышли в правительство с предложением о выведении в...
-
Орбиты спутников Траектория движения искусственного спутника Земли называется его орбитой. При выключенных маршевых реактивных двигателях свободное...
-
Заключение - Луна как спутник Земли
Луна могла бы стать прекрасной площадкой для проведения самых сложных наблюдений по всем разделам астрономии. Поэтому астрономы, скорее всего, станут...
-
Приведем наглядный пример с автомобилем, который то увеличивает, то уменьшает скорость. Это позволяет нам провести некоторую аналогию с изменением...
-
" Наука не является, и никогда не будет являться законченной книгой " - эти слова Эйнштейна как нельзя лучше предваряют нашу первую главу. В свое время...
-
Лунные затмения - Луна как спутник Земли
Когда при движении вокруг Земли Луна попадает в конус земной тени, которую отбрасывает освещаемый Солнцем земной шар, происходит полное лунное затмение....
-
Интересные факты - Первый спутник Земли
* Расчеты траектории вывода на орбиту Спутника-1 сначала проводились на электромеханических счетных машинах, по устройству аналогичных арифмометрам....
-
Погода на завтра - что может быть актуальнее для каждого из нас. Мы можем без особого внимания прослушать программу новостей, но как только начинают...
-
Устройство выглядит так: на корпусе 1 установлен двигатель 2, который работает от электричества и управляется пультом 3. Пульт 3 выполняет функцию...
-
Научные результаты полета ПС-1 - Первый спутник Земли
Цели запуска: * проверка расчетов и основных технических решений, принятых для запуска; * ионосферные исследования прохождения радиоволн, излучаемых...
-
Значение полета - Первый спутник Земли
Рэй Брэдбери. "Первый блик бессмертия..." (сборник "Первая космическая", 2007 г.): В ту ночь, когда Спутник впервые прочертил небо, я (...) глядел вверх...
-
Поверхность луны - Луна как спутник Земли
Поверхность Луны довольно темная, ее альбедо равно 0.073, то есть она отражает в среднем лишь 7.3 % световых лучей Солнца. Визуальная звездная величина...
Задача об устойчивости движения спутника - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения