Возмущающие ускорения, действующие на МКА - Исследование движения центра масс малого космического аппарата (МКА)

1) Возмущающееся ускорение, вызванное нецентральностью гравитационного поля Земли.

Рассмотрим потенциал поля притяжения Земли. При точном расчете параметров орбиты спутников, в качестве хорошего приближения к действительной поверхности Земли принимают геоид. Геоид - это гипотетическая уравненная поверхность, совпадающая с поверхностью спокойного океана и продолженная под материком.

Иногда в баллистике под геоидом понимают не поверхность, а тело, которое ограничено поверхностью мирового океана при некотором среднем уровне воды, свободной от возмущений. Во всех точках геоида потенциал притяжения имеет одно и то же значение.

Потенциал притяжения Земли можно представить в виде разложения по сферическим функциям.

Составляющие типа (mZ/r)(r0/r)NCN0PN0(sinj) - называют зональными гармониками n-порядка. Т. к. полином Лежандра n-го порядка имеет n действительных корней, функция PN0(sinj) будет менять знак на n широтах, сфера делится на n+1 широтную зону, где эти составляющие имеют попеременно "+" или "-" значения. Поэтому их называют зональными гармониками.

Составляющие типа

    (mZ/r)(r0/r)NCNmCos(mL)PNm(sinj) и (mZ/r)(r0/r)NDNmSin(mL)PNm(sinj) - называют тессеральными гармониками n-порядка и степени m. Они обращаются в 0 на 2m меридианах, где cos(mL) = 0 и sin(mL) = 0 и на n-m параллелях, где PNm(sinj) = 0 или dMPNm(sinj)/d(sinj)M = 0, сфера делится на n+m+1 трапецию, где эти составляющие сохраняют знак.

Составляющие типа и

    (mZ/r)(r0/r)NCNnCos(nL)PNn(sinj) и (mZ/r)(r0/r)NDNnSin(nL)PNn(sinj) - называют секториальными гармониками n-порядка и степени m. Эти составляющие меняю знак только на меридианах, cos(nL) = 0 и sin(nL) = 0, на сфере выделяют 2n меридиональных секторов, где эти составляющие сохраняют знак.

Многочлен Лежандра степени n находится по следующей формуле:

PN0(z) = 1/(2NN!)г(dN(z2 - 1)N/dzN)

Присоединенная функция Лежандра порядка n и степени m находится по следующей формуле:

PNm(z) = (1-z2)M/2ГdMPN0(z)/dzM

Возмущающая часть гравитационного потенциала Земли равна

UВ = U' + DU' = (U - mZ/r) + DU'

Где DU' - потенциал аномалий силы тяготения Земли.

U' - часть потенциала Земли, которая учитывает несферичность Земли.

Следовательно,

Первая зональная гармоника в разложении потенциала учитывает полярное сжатие Земли.

Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармоники, где n-m нечетное число - учитывают ассиметрию Земли относительно плоскости экватора.

Секториальные и тессеральные гармоники - учитывают ассиметрию Земли относительно оси вращения.

Первая зональная гармоника имеет порядок 10-3, а все остальные - порядок 10-6 И выше. Поэтому будем учитывать в разложении потенциала притяжения только зональную гармонику (n=2, m=0) и секторальную гармонику (n=2, m=2). Также не будем учитывать потенциал аномалий силы тяготения Земли DU'.

Таким образом,

UВ = (mZ/r)(r0/r)2[c20P20(sinj) + (c22Cos(2L) + d22Sin(2L))P22(sinj)],

Где c20 = - 0,00109808,

C22 = 0,00000574,

D22 = - 0,00000158.

P20(x) = 1/222!гd2(x2 - 1)2/dx2.

Следовательно

P20(x) = (3x2 - 1)/2.

Так как sinj = z/r, следовательно P20(sinj) = (3(z/r)2 - 1)/2.

P22(x) = (1 - x2)2/2Гd2P20(x)/dx2 = 1/2г(1 - x2)гd2(3x2 - 1)/dx2

Следовательно

P22(x) = 3(1 - x2).

Так как sinj = z/r, следовательно P22(sinj) = 3(1 - (z/r)2).

Значит

Чтобы найти возмущающее ускорение от нецентральности поля тяготения Земли в проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ, надо взять производные от возмущающего потенциала UВ по координатам X, Y, Z, причем

R = Ц(x2 + y2 + z2).

Следовательно,

2) Возмущающее ускорение, вызванное сопротивлением атмосферы.

При движении в атмосфере на КА действует сила аэродинамического ускорения RX, направленная против вектора скорости КА относительно атмосферы:

Где CX = 2 - коэффициент аэродинамического сопротивления.

SМ = 2,5 м2 - площадь миделевого сечения - проекция КА на плоскость, перпендикулярную направлению скорости полета.

V - скорость КА.

R - плотность атмосферы в рассматриваемой точке орбиты.

Так как исследуемая орбита - круговая с высотой Н = 574 км, будем считать, что плотность атмосферы одинакова во всех точках орбиты и равна плотности атмосферы на высоте 574 км. Из таблицы стандартной атмосферы находим плотность наиболее близкую к высоте Н = 574 км. Для высоты Н = 580 км r = 5,098г10-13 кг/м3.

Сила аэродинамического ускорения создает возмущающее касательное ускорение aA:

Найдем проекции аэродинамического ускорения на оси абсолютной системы координат aXa, aYa, aZa:

AA направлено против скорости КА, следовательно единичный вектор направления имеет вид

EA = [VX/|V|, VY|V|, VZ/|V|], |V| = Ц(VX2+VY2 +VZ2)

3) Возмущающее ускорение, вызванное давлением солнечного света.

Давление солнечного света учитывается как добавок к постоянной тяготения Солнца - DmC. Эта величина вычисляется следующим образом:

DmC = pSМA2/m

Где p = 4,64г10-6 Н/м2 - давление солнечного света на расстоянии в одну астрономическую единицу А.

A = 1,496г1011 м - 1 астрономическая единица.

M - масса КА.

SМ = 8 м2 - площадь миделевого сечения - проекция КА на плоскость, перпендикулярную направления солнечных лучей.

Таким образом,

DmC = 1,39154г1015 м3/c2.

4) Возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Солнца.

Уравнение движения КА в абсолютной системе координат OXYZ относительно Земли при воздействии Солнца:

Где mZ - постоянная тяготения Земли.

MC - постоянная тяготения Солнца.

R - радиус-вектор от Земли до КА.

RC - радиус-вектор от Земли до Солнца.

Таким образом, возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Солнца:

Здесь первое слагаемое есть ускорение, которое получил бы КА, если он был непритягивающим, а Земля отсутствовала.

Второе слагаемое есть ускорение, которое сообщает Солнце Земле, как непритягивающему телу.

Следовательно, возмущающее ускорение, которое получает КА при движении относительно Земли - это разность двух слагаемых.

Так как rC>>r, то в первом слагаемом можно пренебречь r. Следовательно

| rC - r| = Ц((xC-x)2+(yC-y)2+(zC-z)2)

Где xC, yC, zC - проекции радиуса-вектора Солнца на оси абсолютной системы координат.

Моделирование движения Солнца проводилось следующим образом: за некоторый промежуток времени t Солнце относительно Земли сместится на угол

J = JН + wCT,

Где JН = W + (90 - D) - начальное положение Солнца в эклиптической системе координат.

W = 28,1° - долгота восходящего узла первого витка КА.

D = 30° - угол между восходящим узлом орбиты КА и терминатором.

WC - угловая скорость Солнца относительно Земли.

WC = 2p/T = 2p/365,2422г24г3600 = 1,991г10-7 рад/c = 1,14г10-5 °/c

Таким образом, в эклиптической системе координат проекции составляют:

XCE = rCCosJ

YCE = rCSinJ

ZCE = 0

RC = 1,496г1011 м (1 астрономическая единица) - расстояние от Земли до Солнца

Плоскость эклиптики наклонена к плоскости экватора на угол e = 23,45°, проекции rC на оси абсолютной системы координат можно найти как

XC = xCE = rCCosJ

YCE = yCECose = rCCosJcose

ZCE = rCSinJsine

Таким образом, проекции возмущающего ускорения на оси абсолютной системы координат:

AXc = - mCX/(Ц((xC-x)2+(yC-y)2+(zC-z)2))3

AYc = - mCY/(Ц((xC-x)2+(yC-y)2+(zC-z)2))3

AZc = - mCZ/(Ц((xC-x)2+(yC-y)2+(zC-z)2))3

С учетом солнечного давления

AXc = - (mC-DmC)x/(Ц((xC-x)2+(yC-y)2+(zC-z)2))3

AYc = - (mC-DmC)y/(Ц((xC-x)2+(yC-y)2+(zC-z)2))3

AZc = - (mC-DmC)z/(Ц((xC-x)2+(yC-y)2+(zC-z)2))3

5) Возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Луны.

Уравнение движения КА в абсолютной системе координат OXYZ относительно Земли при воздействии Луны:

Где mЛ = 4,902г106 м3/c2- постоянная тяготения Луны.

RЛ - радиус-вектор от Земли до Луны.

Таким образом, возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Луны:

Так как rЛ>>r, то в первом слагаемом можно пренебречь r. Следовательно

|rЛ - r| = Ц((xЛ-x)2+(yЛ-y)2+(zЛ-z)2)

Где xЛ, yЛ, zЛ - проекции радиуса-вектора Луны на оси абсолютной системы координат.

Движение Луны учитывается следующим образом: положение Луны в каждый момент времени рассчитывается в соответствии с данными астрономического ежегодника. Все данные заносятся в массив, и далее этот массив считается программой моделирования движения КА. В первом приближении принимается:

    - орбита Луны - круговая. - угол наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики i = 5,15°. - период обращения линии пересечения плоскостей лунной орбиты и эклиптики (по ходу часовой стрелки, если смотреть с северного полюса) = 18,6 года.

Угол между плоскостями экватора Земли и орбиты Луны можно найти по формуле

Cos(hЛ) = cos(e)cos(i) - sin(e)sin(i)cos(WЛ)

Где WЛ - долгота восходящего узла лунной орбиты, отсчитывается от направления на точку весеннего равноденствия.

E - угол между плоскостями эклиптики и экватора Земли.

Величина hЛ колеблется с периодом 18,6 лет между минимумом при hЛ = e - i = 18°18' и максимумом при hЛ = e + i = 28°36' при W = 0.

Долгота восходящего узла лунной орбиты WЛ изменяется с течением времени t на величину WЛ = tг360/18,6г365,2422г24г3600.

Положение Луны на орбите во время t определяется углом

J л = tг360/27,32г24г3600.

По формулам перехода найдем проекции вектора положения Луны на оси абсолютной системы координат:

XЛ = rЛ(cosJЛCosWЛ - coshЛSinJЛSinWЛ)

YЛ = rЛ(cosJЛSinWЛ + coshЛSinJЛCosWЛ)

ZЛ = rЛSinhЛSinJЛ

RЛ = 3,844г108 м - среднее расстояние от Земли до Луны

Таким образом, проекции возмущающего ускорения на оси абсолютной системы координат:

AXл = - mЛX/(Ц((xЛ!-x)2+(yЛ-y)2+(zЛ-z)2))3

AYл = - mЛY/(Ц((xЛ!-x)2+(yЛ-y)2+(zЛ-z)2))3

AZл = - mЛZ/(Ц((xЛ!-x)2+(yЛ-y)2+(zЛ-z)2))3

Уравнения возмущенного движения при действии корректирующего ускорения имеют вид:

Или

D2X/dt2 = - (mZ/r2)x + aXu + aXa + aXc + aXл + aXк

D2Y/dt2 = - (mZ/r2)y + aYu + aYa + aYc + aYл + aYк

D2Z/dt2 = - (mZ/r2)z + aZu + aZa + aZc + aZл + aZк

Похожие статьи




Возмущающие ускорения, действующие на МКА - Исследование движения центра масс малого космического аппарата (МКА)

Предыдущая | Следующая